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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018大阪市立大 文系数学1



第1問

  自然数nに対して
        $\small\sf{n\ !=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\cdot\cdots 3\cdot 2\cdot 1}$
  とおく。また、
        $\small\sf{\begin{eqnarray}\sf n\ !!=\begin{cases} \sf n\left(n-2\right)\left(n-4\right)\cdots\cdots 5\cdot 3\cdot 1\ \ \ &\left(nが奇数のとき\right)\\ \sf n\left(n-2\right)\left(n-4\right)\cdots\cdots 6\cdot 4\cdot 2\ \ \ &\left(nが偶数のとき\right)\end{cases}\end{eqnarray}}$
  とおく。次の問いに答えよ。

 (1) 1000! を素因数分解したときにあらわれる素因数3の個数を求めよ。

 (2) 1000!! を素因数分解したときにあらわれる素因数3の個数を求めよ。

 (3) 999!! を素因数分解したときにあらわれる素因数3の個数を求めよ。




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  1. 2018/04/26(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2018
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2018大阪市立大 文系数学2



第2問

  m、tを正の実数とし、mt>1とする。xy平面上に2点A(1,0)、B(0,t)
  をとる。原点をO(0,0)とする。また、2直線
        $\small\sf{L_1:\ y=-\frac{1}{m}x+t}$
        $\small\sf{L_2:\ y=m\left(x-1\right)}$
  の交点をPとする。このとき次の問いに答えよ。

 (1) 点Pの座標をmとtを用いて表せ。

 (2) 三角形OAPの外接円の直径をmとtを用いて表せ。

 (3) tを固定したとき、∠OPAの大きさはmによらず一定であることを示せ。




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  1. 2018/04/27(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2018
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2018大阪市立大 文系数学3



第3問

   pを正の実数、qを-2p3<q<2p3をみたす実数とする。
       f(x)=x3-3p2x+q
   とおくとき、次の問いに答えよ。

 (1) xが実数全体を動くとき、f(x)が極値をとるxとそのときの極値を
    すべて求めよ。

 (2) 方程式f(x)=0は相異なる3つの実数解を持つことを示せ。

 (3) (2)の3つの解は、すべて-2p<x<2pをみたすことを示せ。

 (4) (2)の3つの解のうちの1つを0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ である$\small\sf{\theta}$ を用いて2pcos$\small\sf{\theta}$ と表したとき、
      $\small\sf{2pcos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)\ ,\ \ 2pcos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)}$
    も解となることを示せ。




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  1. 2018/04/28(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2018
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2018大阪市立大 文系数学4



第4問

  0<k<1とする。平面上の凸四角形ABCDに対して、
  点P、Q、R、Sを関係式
        $\small\sf{\overrightarrow{\sf AP}=k\overrightarrow{\sf AB}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf BQ}=k\overrightarrow{\sf BC}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf CR}=k\overrightarrow{\sf CD}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf DS}=k\overrightarrow{\sf DA}}$
  によって定めるとき、次の問いに答えよ。

 (1) 原点をOとする。等式
        $\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}=\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OQ}+\overrightarrow{\sf OR}+\overrightarrow{\sf OS}}$
    が成り立つことを示せ。

 (2) 比の値
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{(六角形PBQRDSの面積)}{(四角形 ABCD の面積)} \end{align*}}$
    をkを用いて表せ。

 (3) 比の値
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{(四角形PQRSの面積)}{(四角形 ABCD の面積)} \end{align*}}$
    をkを用いて表せ。

 (4) 0<k<1の範囲でkを動かすとき、(3)の比の値の最小値と
    そのときのkを求めよ。



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  1. 2018/04/29(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2018
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