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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018大阪市立大 理系数学1



第1問

  自然数nに対して
        $\small\sf{\begin{align*}\sf S_n=\sum_{k=1}^n\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k}\ ,\ \ T_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k} \end{align*}}$
  とおくとき、次の問いに答えよ。

 (1) すべての自然数nに対してS2n=Tnが成り立つことを示せ。

 (2) 極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}S_{2n} \end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}S_{2n-1} \end{align*}}$ を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/04/30(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2018
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2018大阪市立大 理系数学2



第2問

  nを自然数とする。0≦ak≦1をみたす数列{ak} に対して
        $\small\sf{\begin{align*}\sf b_n=\sum_{k=1}^na_k\end{align*}}$
  とおく。実数xに対して
        $\small\sf{\rm I_{\sf n}\sf\left(x\right)=b_n\left(1-a_1x\right)\left(1-a_2x\right)\cdots\left(1-a_nx\right)}$
  と定めるとき、次の問いに答えよ。

 (1) a≧0とする。x≧0に対して不等式1-ax≦e-ax が成り立つことを示せ。

 (2) 不等式$\small\sf{\int_0^1\rm I_{\sf n}\sf\left(x\right)dx\leq 1}$ を示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{n}-1 \end{align*}}$ が成り立つとき、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^1\rm I_{\sf n}\sf\left(x\right)dx=1\end{align*}}$
    となることを示せ。




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  1. 2018/05/01(火) 23:57:00|
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2018大阪市立大 理系数学3



第3問

  次の問いに答えよ。ただし、eは自然対数の底とする。

 (1) 定積分
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1e^{\sqrt{x}}dx+\int_1^e\left(log\ y\right)^2dy\end{align*}}$
    の値を求めよ。

 (2) f(x)=tanxとする。関数y=f(x)は$\small\sf{-\frac{\pi}{2}}$ <x<$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ の範囲で
    逆関数x=f-1(y)を持つ。定積分
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\frac{\pi}{4}}tan\ x\ dx+\int_0^1f^{-1}\left(y\right)dy\end{align*}}$  および $\small\sf{\begin{align*}\sf\int_0^1f^{-1}\left(y\right)dy\end{align*}}$
    の値を求めよ。

 (3) 定積分
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1e^{x^2}dx+\int_1^e\sqrt{log\ y}\ dy\end{align*}}$
    の値を求めよ。




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  1. 2018/05/02(水) 23:57:00|
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2018大阪市立大 理系数学4



第4問

   nを2以上の自然数とし、原点Oを中心とする単位円周上に2⁢n+1個の
  相異なる点
        $\small\sf{\begin{align*}\sf P_k\left(cos\frac{2\pi\ k}{2n+1},sin\frac{2\pi k}{2n+1}\right)\ \ \ \ \left(k=0,1,\cdots ,2n\right) \end{align*}}$
  をとる。また整数jに対して、jを2n+1で割った余りがk=0,1,・・・,2n
  のとき、P$\small\sf{_j}$ =Pkと約束する。この記法の下で、

  線分PkPk+nと線分Pk+1Pk+1-nとの交点をQk(k=0,1,・・・,2n)

  とおく。点P0、Q0、P1、Q1、・・・、P2n、Q2n、P0を順に結んでできる
  折れ線が囲む図形をKnとし、その面積をAnとする。このとき次の問いに答えよ。

 (1) ∠OP0Q0および∠P0OQ0の値をnを用いて表せ。

 (2) (1)∠OP0Q0の値を$\small\sf{\theta}$nとおく。三角形OP0Q0の面積を$\small\sf{\theta}$nを用いて表せ.

 (3) 極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}A_n\end{align*}}$ を求めよ。

          2018大阪市大07




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  1. 2018/05/03(木) 23:57:00|
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