第１問
xy平面における2つの放物線C： y=(x-a)2+b、 D： y=-x2を考える。
(１) CとDが2点で交わり、その2交点のx座標の差が1となるように実数
a、bが動くとき、Cの頂点(a，b)の軌跡を図示せよ。
(２) 実数a、bが(１)の条件を満たすとき、CとDの2交点を結ぶ直線は、
放物線y=-x2-$\small\sf{\frac{1}{4}}$ に接することを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\left(x-a\right)^2+b=-x^2}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ 2x^2-2ax+a^2+b=0}$ ･･･・･･･(*)
これが異なる2つの実数解を持てばよいので、判別式を考えると
$\scriptsize\sf{a^2-2\left(a^2+b\right)\geq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ b\lt -\frac{1}{2}a^2}$ ･･･・･･･①
ここで、(*)の2解をp，p+1とおくと、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p+\left(p+1\right)=a\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{a-1}{2} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\left(p+1\right)=\frac{a^2+b}{2} \end{align*}}$
これらからpを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{a-1}{2}\left(\frac{a-1}{2}+1\right)=\frac{a^2+b}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ b=-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2} \end{align*}}$
となり、これは①を満たす。
よって、題意を満たす点(a，b)の軌跡は下図のようになる。
(２)
CとDの2交点を(p，-p2)、(p+1，-(p+1)2)とし、これらを通る直線をLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L:\ y-\left(-p^2\right)=\frac{-\left(p+1\right)^2+p^2}{\left(p+1\right)-p}\left(x-p\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\left(2p+1\right)x+p^2+p \end{align*}}$
これと $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=-x^2-\frac{1}{4}\end{align*}}$ （Eとする）を連立させると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\left(2p+1\right)x+p^2+p=-x^2-\frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-\left(2p+1\right)x+p^2+p+\frac{1}{4}=0 \end{align*}}$
となり、これの判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\left(2p+1\right)^2-4\left(p^2+p+\frac{1}{4}\right)=0}$
となるので、LはEに接する。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/04/16(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 文系 2018
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第２問
nを2以上、aを1以上の整数とする。箱の中に、1からnまでの番号札が
それぞれ1枚ずつ、合計n枚入っている。この箱から、1枚の札を無作為
に取り出して元に戻す、という試行をa回繰り返す。ちょうどa回目の試行
でそれまでに取り出した札に書かれた数の和がはじめてn以上となる確率
をp(a)とする。
(１) p(1)とp(n)を求めよ。
(２) p(2)を求めよ。
(３) p(n-1)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
k回目に取り出した札の数をxkとおき、
s(k)=x1+x2+･･･+xkとおく。
(１)
s(1)≧nとなるのは、x1=nのときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\left(1\right)=\underline{\frac{1}{n}} \end{align*}}$
s(n-1)＜nかつs(n)≧nとなるのは、
x1=x2=･･･=x-n1=1 かつ xn≧1のときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\left(n\right)=\underline{\left(\frac{1}{n}\right)^{n-1}} \end{align*}}$
(２)
s(1)＜nかつs(2)≧nとなるのは、
x1≦n-1 かつ x2≧n-x1のときなので、
x1=k （k=1，2，･･･，n-1）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\left(2\right)&=\sf \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n}\cdot\frac{k+1}{n} \\ &=\sf \frac{1}{n^2}\left\{\frac{1}{2}n\left(n-1\right)+\left(n-1\right)\right\}\\ &=\sf \underline{\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{2n^2}}\end{align*}}$
(３)
s(n-2)＜nかつs(n-1)≧nとなるのは、次の2つの場合がある
(ⅰ) x1=x2=･･･=xn-2=1 かつ xn-1≧2のとき
(ⅱ) x1，x2，･･･，xn-2のうち1つだけが2で、それ以外すべて1
かつ xn-1≧1のとき
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\left(n-1\right)&=\sf \left(\frac{1}{n}\right)^{n-2}\cdot\frac{n-1}{n}+\left(\frac{1}{n}\right)^{n-2}\left(n-2\right) \\ &=\sf \underline{\frac{n^2-n-1}{n^{n-1}}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/04/17(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 文系 2018
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第３問
実数aは0＜a＜4を満たすとする。xy平面の直線L ：y=axと曲線
C： y=-x2+4x （x＜4のとき）
y=9a(x-4) （x≧4のとき）
を考える。CとLで囲まれた図形の面積をS(a)とおく。
(１) CとLの交点の座標を求めよ。
(２) S(a)を求めよ。
(３) S(a)の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
x＜4のとき
$\scriptsize\sf{-x^2+4x=ax\ \ \Leftrightarrow\ \ x\left(x+a-4\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0,4-a}$
4≦xのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 9a\left(x-4\right)=ax\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{9}{2}\end{align*}}$
よって、LとCの交点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(0,0\right)\ ,\ \left(4-a,a\left(4-a\right)\right)\ ,\ \left(\frac{9}{2},\frac{9}{2}a\right)} \end{align*}}$
(２)
CとLの位置関係は下図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(a\right)&=\sf \int_0^{4-a}\left\{\left(-x^2+4x\right)-ax\right\}dx+\int_{4-a} ^4\left\{ax-\left(-x^2+4x\right)\right\}dx+\int_4^{\frac{9}{2}}\left\{ax-9a\left(x-4\right)\right\}dx\\ &=\sf \frac{1}{6}\left(4-a\right)^3+\left[\frac{x^3}{3}+\frac{a}{2}x^2-4ax\right]_{4-a}^4+\bigg[-4ax^2+36ax\bigg]_4^{\frac{9}{2}}\\ &=\sf \underline{-\frac{1}{3}a^3+4a^2-7a+\frac{32}{3}}\end{align*}}$
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\ '\left(a\right)&=\sf -a^2+8a-7 \\ &=\sf -\left(a-1\right)\left(a-7\right) \end{align*}}$
なので、0＜a＜4におけるS(a)の増減は次のようになる。
よって、S(a)の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(a\right)_{min}=S\left(1\right)=\underline{\frac{22}{3}} \end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/04/18(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 文系 2018
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第４問
空間内に四面体ABCDがある。辺ABの中点をM、辺CDの中点をNとする。
tを0でない実数とし、点Gを
$\small\sf{\overrightarrow{\sf GA}+\overrightarrow{\sf GB}+\left(t-2\right)\overrightarrow{\sf GC}+t\overrightarrow{\sf GD}=\overrightarrow{\sf 0}}$
を満たす点とする。
(１) $\small\sf{\overrightarrow{\sf DG}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf DA}\ ,\ \overrightarrow{\sf DB}\ ,\ \overrightarrow{\sf DC}}$ で表せ。
(２) 点Gは点Nと一致しないことを示せ。
(３) 直線NGと直線MCは平行であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
与式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\overrightarrow{\sf DA}-\overrightarrow{\sf DG}\right)+\left(\overrightarrow{\sf DB}-\overrightarrow{\sf DG}\right)+\left(t-2\right)\left(\overrightarrow{\sf DC}-\overrightarrow{\sf DG}\right)-t\overrightarrow{\sf DG}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf DG}=\underline{\frac{1}{2t}\overrightarrow{\sf DA}+\frac{1}{2t}\overrightarrow{\sf DB}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{t}\right)\overrightarrow{\sf DC}}\ \ \ \left(\because\ t\ne 0\right) \end{align*}}$
(２)
GとNが一致すると仮定すると、NはCDの中点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf DG}=\overrightarrow{\sf DN} \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2t}\overrightarrow{\sf DA}+\frac{1}{2t}\overrightarrow{\sf DB}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{t}\right)\overrightarrow{\sf DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf DC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf DA}\ ,\ \overrightarrow{\sf DB}\ ,\ \overrightarrow{\sf DC}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2t}=0\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}-\frac{1}{t}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
これを満たす実数tは存在しない。
よって、GとNは一致しない。
(３)
MはABの中点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf MC}=\overrightarrow{\sf DC}-\overrightarrow{\sf DM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf DA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf DB}+\overrightarrow{\sf DC} \end{align*}}$
また、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf NG}&=\sf \overrightarrow{\sf DG}-\overrightarrow{\sf DN} \\ &=\sf \frac{1}{2t}\overrightarrow{\sf DA}+\frac{1}{2t}\overrightarrow{\sf DB}-\frac{1}{t}\overrightarrow{\sf DC}\\ &=\sf -\frac{1}{t}\overrightarrow{\sf MC}\end{align*}}$
よって、直線NGと直線MCは平行である。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/04/19(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 文系 2018
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
