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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018東北大 理系数学1



第1問

  xy平面における2つの放物線C: y=(x-a)2+b、 D: y=-x2を考える。

 (1) CとDが2点で交わり、その2交点のx座標の差が1となるように実数
    a、bが動くとき、Cの頂点(a,b)の軌跡を図示せよ。

 (2) 実数a、bが(1)の条件を満たしながら動くとき、CとDの2交点を結ぶ
    直線が通過する範囲を求め、図示せよ。



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  1. 2018/04/20(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2018
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2018東北大 理系数学2



第2問

  nを2以上、aを1以上の整数とする。箱の中に、1からnまでの番号札が
  それぞれ1枚ずつ、合計n枚入っている。この箱から、1枚の札を無作為
  に取り出して元に戻す、という試行をa回繰り返す。ちょうどa回目の試行
  でそれまでに取り出した札に書かれた数の和がはじめてn以上となる確率
  をp(a)とする。

 (1) p(1)とp(n)を求めよ。

 (2) p(2)を求めよ。

 (3) nが3以上の整数のときp(3)を求めよ。




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  1. 2018/04/21(土) 23:57:00|
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2018東北大 理系数学3



第3問

  整数a、bは等式
      3a-2b=1  ・・・・・・①
  を満たしているとする。

 (1) a、bはともに正となることを示せ。

 (2) b>1ならば、aは偶数であることを示せ。

 (3) ①を満たす整数の組(a,b)をすべてあげよ。




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  1. 2018/04/22(日) 23:57:00|
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2018東北大 理系数学4



第4問

  三角形ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をRとし、h=$\small\sf{\frac{r}{R}}$ とする。
  また、∠A=2$\small\sf{\alpha}$ 、∠B=2$\small\sf{\beta}$ 、∠C=2$\small\sf{\gamma}$ とおく。

 (1) h=4sin$\small\sf{\alpha}$ sin$\small\sf{\beta}$ sin$\small\sf{\gamma}$ となることを示せ。

 (2) 三角形ABCが直角三角形のときh≦$\small\sf{\sqrt2}$ -1が成り立つことを示せ。
    また、等号が成り立つのはどのような場合か。

 (3) 一般の三角形ABCに対してh≦$\small\sf{\frac{1}{2}}$ が成り立つことを示せ。
    また、等号が成り立つのはどのような場合か。



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  1. 2018/04/23(月) 23:57:00|
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2018東北大 理系数学5



第5問

   $\small\sf{\alpha}$ を複素数とする。複素数zの方程式
        z2-$\small\sf{\alpha}$ z+2i=0   ・・・・・・①
  について、以下の問いに答えよ。ただし、iは虚数単位である。

 (1) 方程式①が実数解をもつように$\small\sf{\alpha}$ が動くとき、点$\small\sf{\alpha}$ が複素数平面上に描く図形を
    図示せよ。

 (2) 方程式①が絶対値1の複素数を解にもつように$\small\sf{\alpha}$ が動くとする。原点を中心に$\small\sf{\alpha}$ を
    $\small\sf{\frac{\pi}{4}}$ 回転させた点を表す複素数を$\small\sf{\beta}$ とするとき、点$\small\sf{\beta}$ が複素数平面上に描く図形を
    図示せよ。




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  1. 2018/04/24(火) 23:57:00|
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2018東北大 理系数学6



第6問

  xy平面内の図形
        $\small\sf{\begin{eqnarray}\sf S:\begin{cases} \sf x+y^2\leq 2\\ \sf x+y\geq 0\\ \sf x-y\leq 2\end{cases}\end{eqnarray}}$
  を考える。図形Sを直線y=-xのまわりに1回転して得られる
  立体の体積をVとする。

 (1) Sをxy平面に図示せよ。

 (2) Vを求めよ。


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  1. 2018/04/25(水) 23:57:00|
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