第１問
xy平面における2つの放物線C： y=(x-a)2+b、 D： y=-x2を考える。
(１) CとDが2点で交わり、その2交点のx座標の差が1となるように実数
a、bが動くとき、Cの頂点(a，b)の軌跡を図示せよ。
(２) 実数a、bが(１)の条件を満たしながら動くとき、CとDの2交点を結ぶ
直線が通過する範囲を求め、図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\left(x-a\right)^2+b=-x^2}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ 2x^2-2ax+a^2+b=0}$ ･･･・･･･(*)
これが異なる2つの実数解を持てばよいので、判別式を考えると
$\scriptsize\sf{a^2-2\left(a^2+b\right)\geq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ b\lt -\frac{1}{2}a^2}$ ･･･・･･･①
ここで、(*)の2解をp，p+1とおくと、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p+\left(p+1\right)=a\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{a-1}{2} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\left(p+1\right)=\frac{a^2+b}{2} \end{align*}}$
これらからpを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{a-1}{2}\left(\frac{a-1}{2}+1\right)=\frac{a^2+b}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ b=-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2} \end{align*}}$
となり、これは①を満たす。
よって、題意を満たす点(a，b)の軌跡は下図のようになる。
(２)
CとDの2交点を(p，-p2)、(p+1，-(p+1)2)とし、これらを通る直線をLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L:\ y-\left(-p^2\right)=\frac{-\left(p+1\right)^2+p^2}{\left(p+1\right)-p}\left(x-p\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\left(2p+1\right)x+p^2+p \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2-\left(1-2x\right)p-x-y=0 \end{align*}}$ ･･････(**)
pは実数なので(**)の判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1-2x\right)^2-4\left(-x-y\right)\geq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y\geq -x^2-\frac{1}{4}}\end{align*}}$
これを図示すると下図のようになる。
（境界線上の点も含む）
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/04/20(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2018
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第２問
nを2以上、aを1以上の整数とする。箱の中に、1からnまでの番号札が
それぞれ1枚ずつ、合計n枚入っている。この箱から、1枚の札を無作為
に取り出して元に戻す、という試行をa回繰り返す。ちょうどa回目の試行
でそれまでに取り出した札に書かれた数の和がはじめてn以上となる確率
をp(a)とする。
(１) p(1)とp(n)を求めよ。
(２) p(2)を求めよ。
(３) nが3以上の整数のときp(3)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
k回目に取り出した札の数をxkとおき、
s(k)=x1+x2+･･･+xkとおく。
(１)
s(1)≧nとなるのは、x1=nのときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\left(1\right)=\underline{\frac{1}{n}} \end{align*}}$
s(n-1)＜nかつs(n)≧nとなるのは、
x1=x2=･･･=x-n1=1 かつ xn≧1のときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\left(n\right)=\underline{\left(\frac{1}{n}\right)^{n-1}} \end{align*}}$
(２)
s(1)＜nかつs(2)≧nとなるのは、
x1≦n-1 かつ x2≧n-x1のときなので、
x1=k （k=1，2，･･･，n-1）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\left(2\right)&=\sf \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n}\cdot\frac{k+1}{n} \\ &=\sf \frac{1}{n^2}\left\{\frac{1}{2}n\left(n-1\right)+\left(n-1\right)\right\}\\ &=\sf \underline{\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{2n^2}}\end{align*}}$
(３)
x1+x2=k (k=2，3，･･･，n-1) となるのは
(x1，x2)=(1，k-1)、(2，k-2)、･･･、(k-1，1)
のk-1通りある。
各kに対してs(3)≧nとなるためには、x3≧n-kであればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\left(3\right)&=\sf \sum_{k=2}^{n-1}\frac{k-1}{n^2}\cdot\frac{k+1}{n}\\ &=\sf \frac{1}{n^3}\sum_{k=2}^{n-1}\left(k^2-1\right)\\ &=\sf \frac{1}{n^3}\left\{\frac{1}{6}n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)-\left(n-1\right)\right\}\\ &=\sf \underline{\frac{\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(2n+3\right)}{6n^3}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/04/21(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2018
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第３問
整数a、bは等式
3a-2b=1 ･･････①
を満たしているとする。
(１) a、bはともに正となることを示せ。
(２) b＞1ならば、aは偶数であることを示せ。
(３) ①を満たす整数の組(a，b)をすべてあげよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
2b＞0なので、
① ⇔ 3a=1+2b＞1
より、a＞0であり、このとき
① ⇔ 2b=3a-1＞2
より、b＞0である。
(２)
(ⅰ) a=1のとき
① ⇔ 2b=3-1=2
より、b=1となり不適
(ⅱ) a≧2のとき、二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2^b&=\sf 3^a-1 \\ &=\sf \left(2+1\right)^a-1\\ &=\sf _aC_0\cdot 2^a+_aC_1\cdot 2^{a-1}+\cdots +_aC_{a-2}\cdot 2^2+_aC_{a-1}\cdot 2+_aC_a-1\\ &=\sf 2^a+2^{a-1}a+\cdots aC_{a-2}\cdot 2^2+2a \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2a=2^b-\left(2^a+2^{a-1}a+\cdots +_aC_{a-2}\cdot 2^2\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=2\left(2^{b-2}-2^{a-2}-2^{a-3}a-\cdots -_aC_{a-2}\right) \end{align*}}$
a≧2、b≧2より、上式の( )内は整数となるので、
aは偶数である。
(３)
b＞1のとき、(２)より、aは偶数なので、自然数Aを用いて
a=2Aとおくと、
① ⇔ 2b=32A-1=(3A+1)(3A-1)
と変形でき、
3A+1＞3A-1≧2
より、3A+1、3A-1はともに2のみを素因数に持つ。
よって、自然数m、nを用いて
3A+1=2m、 3A-1=2n
と表すことができる。これらの差をとると、
2m-2n=2
となり、これを満たすのは
2m=4 、2n=2
のときであり、このとき
3A+1=4、 3A-1=2
より、A=1、a=2となる。
このとき
① ⇔ 2b=32-1=8
より、b=3である。
一方、b=1のとき、
① ⇔ 3a=2+1=3
より、a=1である。
以上より、①を満たす整数の組は
(a，b)=(1，1)、(2，3)
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/04/22(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2018
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第４問
三角形ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をRとし、h=$\small\sf{\frac{r}{R}}$ とする。
また、∠A=2$\small\sf{\alpha}$ 、∠B=2$\small\sf{\beta}$ 、∠C=2$\small\sf{\gamma}$ とおく。
(１) h=4sin$\small\sf{\alpha}$ sin$\small\sf{\beta}$ sin$\small\sf{\gamma}$ となることを示せ。
(２) 三角形ABCが直角三角形のときh≦$\small\sf{\sqrt2}$ -1が成り立つことを示せ。
また、等号が成り立つのはどのような場合か。
(３) 一般の三角形ABCに対してh≦$\small\sf{\frac{1}{2}}$ が成り立つことを示せ。
また、等号が成り立つのはどのような場合か。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{2\alpha+2\beta+2\gamma=\pi}$ ･･････(ⅰ)
内心をＩ、内接円とBCの接点をTとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BC&=\sf BT+CT \\ &=\sf \frac{r}{tan\beta}+\frac{r}{tan\gamma}\\ &=\sf \frac{sin\beta\ cos\gamma+cos\beta\ sin\gamma}{sin\beta\ sin\gamma}\ r\\ &=\sf \frac{sin\left(\beta+\gamma\right)}{sin\beta\ sin\gamma}\ r\\ &=\sf \frac{sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{sin\beta\ sin\gamma}\ r\ \ \ \ \left(\because\ (i)\right)\\ &=\sf \frac{cos\alpha}{sin\beta\ sin\gamma}\ r\end{align*}}$
一方、正弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BC=2R\ sin2\alpha=4R\ sin\alpha\ cos\alpha \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BC=\frac{cos\alpha}{sin\beta\ sin\gamma}\ r=4R\ sin\alpha\ cos\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ h= \frac{r}{R} =4\ sin\alpha\ sin\beta\ sin\gamma\end{align*}}$
(２)
∠A=$\scriptsize\sf{\frac{\pi}{2}}$ ととしても一般性を失わない。
このとき、(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}++2\beta+2\gamma=\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \beta+\gamma=\frac{\pi}{4} \end{align*}}$ ･･････(ⅱ)
なので、積→和の定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h&=\sf 4sin\frac{\pi}{2}\ sin\beta\ sin\left(\frac{\pi}{4}-\beta\right) \\ &=\sf -\sqrt2\left\{cos\frac{\pi}{4}-cos\left(2\beta-\frac{\pi}{4}\right)\right\}\\ &=\sf \sqrt2\ cos\left(2\beta-\frac{\pi}{4}\right)-1\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt 2\beta\lt\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{\pi}{4}\lt 2\beta-\frac{\pi}{4}\lt \frac{\pi}{4}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{\sqrt2}\lt cos\left(2\beta-\frac{\pi}{4}\right)\leq 1 \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\leq \sqrt2-1 \end{align*}}$
が成り立つ。
等号成立は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf cos\left(2\beta-\frac{\pi}{4}\right)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \angle B=2\beta=\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
のときであり、このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle C=2\gamma=\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
となるので、△ABCは直角二等辺三角形である。
(３)
(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}}$ ･･････(ⅲ)
なので、積→和の公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h&=\sf 4\ sin\alpha\ sin\beta\ sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha-\beta\right) \\ &=\sf 4\ sin\alpha\ sin\beta\ cos\left(\alpha+\beta\right)\\ &=\sf -2\bigg\{ cos\left(\alpha+\beta\right)-cos\left(\alpha-\beta\right)\bigg\} cos\left(\alpha+\beta\right)\\ &=\sf -2cos^2\left(\alpha+\beta\right)+2cos\left(\alpha-\beta\right)\ cos\left(\alpha+\beta\right)\\ &=\sf -2\bigg\{cos\left(\alpha+\beta\right)-\frac{1}{2}cos\left(\alpha-\beta\right)\bigg\}^2+\frac{1}{2}cos^2\left(\alpha-\beta\right)\\ &\leq\sf \frac{1}{2}cos^2\left(\alpha-\beta\right)\\ &\leq\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
2つ目の等号が成立するのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf cos^2\left(\alpha-\beta\right)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \alpha=\beta \end{align*}}$
のときであり、さらに1つ目の等号が成立するのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf cos\left(\alpha+\beta\right)=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \alpha=\beta=\frac{\pi}{6} \end{align*}}$
のときである。
よって、不等式h≦$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ の等号が成立するのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\beta=\gamma=\frac{\pi}{6}\ \ \Leftrightarrow\ \ \angle A=\angle B=\angle C=\frac{\pi}{3} \end{align*}}$
のとき、すなわち△ABCが正三角形のときである。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/04/23(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2018
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第５問
$\small\sf{\alpha}$ を複素数とする。複素数zの方程式
z2-$\small\sf{\alpha}$ z+2i=0 ･･････①
について、以下の問いに答えよ。ただし、iは虚数単位である。
(１) 方程式①が実数解をもつように$\small\sf{\alpha}$ が動くとき、点$\small\sf{\alpha}$ が複素数平面上に描く図形を
図示せよ。
(２) 方程式①が絶対値1の複素数を解にもつように$\small\sf{\alpha}$ が動くとする。原点を中心に$\small\sf{\alpha}$ を
$\small\sf{\frac{\pi}{4}}$ 回転させた点を表す複素数を$\small\sf{\beta}$ とするとき、点$\small\sf{\beta}$ が複素数平面上に描く図形を
図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
①の実数解をpとおくと、pは①の解ではないので、p≠0である。
$\scriptsize\sf{\alpha}$ =x+yi (x、yは実数）とおくと、①は、
$\scriptsize\sf{p^2-\left(x+yi\right)p+2i=0}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ p\left(p-x\right)-\left(py-2\right)i=0}$
となり、p、x、yは実数なので、
$\scriptsize\sf{p\left(p-x\right)=py-2=0}$
これらよりpを消去すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{y}-x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ xy=2 \end{align*}}$
これを図示すると、下図のようになる。
(２)
①はz=0を解に持たないので、
① ⇔ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=z+\frac{2i}{z} \end{align*}}$
と変形でき、①の解で絶対値が1の複素数を $\scriptsize\sf{cos\theta+isin\theta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha&=\sf \left(cos\theta+isin\theta\right)+\frac{2i}{cos\theta+isin\theta} \\ &=\sf cos\theta+isin\theta+2\left\{cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+isin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}\end{align*}}$
$\small\sf{\beta}$ は$\small\sf{\alpha}$ を原点中心に$\small\sf{\frac{\pi}{4}}$ 回転させた点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta&=\sf \alpha\left(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}\right) \\ &=\sf \left(cos\theta+isin\theta\right)\left(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}\right)+2\left\{cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+isin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}\left(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}\right)\\ &=\sf cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)+isin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)+2\left\{cos\left(\frac{3}{4}\pi-\theta\right)+isin\left(\frac{3}{4}\pi-\theta\right)\right\}\\ &=\sf cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)+2cos\left(\theta-\frac{3}{4}\pi\right)+\left\{sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)-2sin\left(\theta-\frac{3}{4}\pi\right)\right\}\ i\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\beta}$ =x+yi (x、yは実数）とおくと、加法定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x&=\sf cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)+2cos\left(\theta-\frac{3}{4}\pi\right)\\ &=\sf cos\theta\ cos\frac{\pi}{4}-sin\theta\ sin\frac{\pi}{4}+2\left(cos\theta\ cos\frac{3}{4}\pi+sin\theta\ sin\frac{3}{4}\pi\right)\\ &=\sf -\frac{\sqrt2}{2}cos\theta+\frac{\sqrt2}{2}sin\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y&=\sf sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)-2sin\left(\theta-\frac{3}{4}\pi\right)\\ &=\sf sin\theta\ cos\frac{\pi}{4}+cos\theta\ sin\frac{\pi}{4}-2\left(sin\theta\ cos\frac{3}{4}\pi-cos\theta\ sin\frac{3}{4}\pi\right)\\ &=\sf \frac{3\sqrt2}{2}cos\theta+\frac{3\sqrt2}{2}sin\theta\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3x+y=3\sqrt2\ sin\theta\ ,\ \ 3x-y=-3\sqrt2\ cos\theta \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf cos^2\theta+sin^2\theta=\left(\frac{3x+y}{3\sqrt2}\right)^2+\left(-\frac{3x-y}{3\sqrt2}\right)^2=1 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+\frac{y^2}{9}=1 \end{align*}}$
となり、これを図示すると、下図のようになる。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/04/24(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2018
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第６問
xy平面内の図形
$\small\sf{\begin{eqnarray}\sf S:\begin{cases} \sf x+y^2\leq 2\\ \sf x+y\geq 0\\ \sf x-y\leq 2\end{cases}\end{eqnarray}}$
を考える。図形Sを直線y=-xのまわりに1回転して得られる
立体の体積をVとする。
(１) Sをxy平面に図示せよ。
(２) Vを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{eqnarray}\sf S:\begin{cases} \sf x\leq -y^2+2\\ \sf y\geq -x\\ \sf y\geq x-2\end{cases}\end{eqnarray}}$
より、Sを図示すると下図のようになる。
（境界線上の点も含む）
(２)
L：y=-xとする。
曲線x=-y2+2 （0≦y≦2）上に点P(-s2+2，s)をとり、Pから直線y=-xに
おろした垂線の足をHとする。また、Lと直線y=x-2の交点をA(1，-1)
とし、PH=r、 AH=tとおくと、
SをLのまわりに1回転してできる回転体を、Hを通りLに垂直な平面で切った
断面は、Hを中心とする半径rの円となる。
直線PHの傾きは1なので、
$\scriptsize\sf{y-s=x-\left(-s^2+2\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=x+s^2+s-2}$
これと、y=-xを連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x+s^2+s-2=-x\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{-s^2-s+2}{2}\end{align*}}$
となり、これがHのx座標である。
直線PH、AHの傾きはそれぞれ1、-1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=\sqrt2\left\{\left(-s^2+2\right)-\frac{-s^2-s+2}{2}\right\}=\frac{-s^2+s+2}{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\sqrt2\left(1-\frac{-s^2-s+2}{2}\right)=\frac{s^2+s}{\sqrt2}\end{align*}}$
ここで、s：0→2のとき t：0→3$\scriptsize\sf{\sqrt2}$ であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dt}{ds}=\frac{2s+1}{\sqrt2} \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \pi\int_0^{3\sqrt2}r^2dt \\ &=\sf \pi\int_0^2\frac{\left(-s^2+s+2\right)^2}{2}\cdot\frac{2s+1}{\sqrt2}\ ds\\ &=\sf\frac{\sqrt2}{4}\pi\int_0^2\left(2s^5-3s^4-8s^3+5s^2+12s+4\right)ds\\ &=\sf \frac{\sqrt2}{4}\pi\left[\frac{1}{3}s^6-\frac{3}{5}s^5-2s^4+\frac{5}{3}s^3+6s^2+4s\right]_0^2\\ &=\sf \underline{\frac{58\sqrt2}{15}\pi} \end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/04/25(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2018
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
