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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018東京工業大 数学1



第1問

  a、b、cを実数とし、3つの2次方程式
        x2+ax+1=0   ・・・・・・①
        x2+bx+2=0   ・・・・・・②
        x2+cx+3=0   ・・・・・・③
  の解を複素数平面上で考察する。

 (1) 2つの方程式①、②がいずれも実数解を持たないとき、それらの解は
    すべて同一円周上にあるか、またはすべて同一直線上にあることを
    示せ。また、それらの解がすべて同一円周上にあるとき、その円の
    中心と半径をa、bを用いて表せ。

 (2) 3つの方程式①、②、③がいずれも実数解を持たず、かつそれらの解が
    すべて同一円周上にあるための必要十分条件をa、b、cを用いて表せ。


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  1. 2018/04/11(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2018
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2018東京工業大 数学2



第2問

  次の問いに答えよ。

 (1) 35x+91y+65z=3を満たす整数の組(x,y,z)を一組求めよ。

 (2) 35x+91y+65z=3を満たす整数の組(x,y,z)の中でx2+y2の値が
    最小となるもの、およびその最小値を求めよ。



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  1. 2018/04/12(木) 23:57:00|
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2018東京工業大 数学3



第3問

  方程式
        ex(1-sinx)=1
  について、次の問いに答えよ。

 (1) この方程式は負の実数解を持たないことを示せ。また、正の実数解を
    無限個持つことを示せ。

 (2) この方程式の正の実数解を小さい方から並べてa1、a2、a3、・・・とし、
    $\small\sf{\begin{align*}\sf S_n=\sum_{k=1}^na_k\end{align*}}$ とおく。このとき極限値 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\end{align*}}$$\small\sf{\frac{S_n}{n^2}}$ を求めよ。



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  1. 2018/04/13(金) 23:57:00|
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2018東京工業大 数学4



第4問

  xyz空間内において、連立不等式
        $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{4}+y^2\leq 1\ ,\ \ \left|z\right|\leq 6 \end{align*}}$
  により定まる領域をVとし、2点(2,0,2)、(-2,0,-2)を通る直線を
  Lとする。

 (1) |t|≦$\small\sf{2\sqrt2}$ を満たす実数tに対し、点Pt$\small\sf{\left(\frac{t}{\sqrt2},0,\frac{t}{\sqrt2}\right)}$ を通りLに垂直な
    平面をHtとする。また、実数$\small\sf{\theta}$ に対し、点(2cos$\small\sf{\theta}$,sin$\small\sf{\theta}$,0)を通り
    z軸に平行な直線をLθとする。LθとHtとの交点のz座標をtと$\small\sf{\theta}$ を用いて
    表せ。

 (2) Lを回転軸に持つ回転体でVに含まれるものを考える。このような回転体
    のうちで体積が最大となるものの体積を求めよ。



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  1. 2018/04/14(土) 23:57:00|
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2018東京工業大 数学5



第5問

  xyz空間内の一辺の長さが1の立方体
           {(x,y,z) | 0≦x≦1 ,0≦y≦1 , 0≦z≦1}

  をQとする。点Xは頂点A(0,0,0)から出発してQの辺上を1秒ごとに
  長さ1だけ進んで隣の頂点に移動する。Xがx軸、y軸、z軸に平行に
  進む確率はれぞれp、q、rである。ただし
          p≧0 , q≧0 ,r ≧0 ,p +q+r=1
  である。Xがn秒後に頂点A(0,0,0)、B(1,1,0)、C(1,0,1)、
  D(0,1,1) にある確率をそれぞれan、bn、cn、dnとする。

 (1) an+2をan、bn、cn、dnとp、q、rを用いて表せ。

 (2) an-bn+cn-dnをp、q、r、nを用いて表せ。

 (3) anをp、q、r、nを用いて表せ。




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  1. 2018/04/15(日) 23:57:00|
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