第１問
a、bを実数とし、少なくとも一方は0でないとする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) 連立不等式
$\small\sf{3x+2y+4\geq 0\ ,\ \ x-2y+4\geq 0\ ,\ \ ax+by\geq 0}$
の表す領域、または連立不等式
$\small\sf{3x+2y+4\geq 0\ ,\ \ x-2y+4\geq 0\ ,\ \ ax+by\leq 0}$
の表す領域が三角形であるためにa、bが満たすべき条件を求めよ。さらに、
その条件を満たす点(a，b)の範囲を座標平面上に図示せよ。
(２) (１)の三角形の面積をSとするとき、Sをa、bを用いて表せ。
(３) S≧4を示せ。
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【解答】
(１)
3直線L1～L3を
$\scriptsize\sf{L_1:\ 3x+2y+4=0\ ,\ \ L_2:\ x-2y+4=0\ ,\ \ L_3:\ ax+by\geq 0}$
とすると、L1とL2の交点（Pとする）の座標は(-2，1)である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3x+2y+4\geq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ y\geq -\frac{3}{2}x-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x-2y+4\geq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ y\geq \frac{1}{2}x+2\end{align*}}$
これらが表す領域は下図の水色部分である。
L1とL3が平行でないとき、
$\scriptsize\sf{3:2\ne a:b\ \ \Leftrightarrow\ \ 2a-3b\ne 0}$
であり、このとき、L1とL3の交点をQとすると、Qの座標は
連立方程式を解いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\left(\frac{4b}{2a-3b},-\frac{4a}{2a-3b}\right)\end{align*}}$
となる。
一方、L2とL3が平行でないとき、
$\scriptsize\sf{1:\left(-2\right)\ne a:b\ \ \Leftrightarrow\ \ 2a+b\ne 0}$
であり、このとき、L2とL3の交点をRとすると、Rの座標は
連立方程式を解いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf R\left(-\frac{4b}{2a+b},\frac{4a}{2a+b}\right)\end{align*}}$
となる。
条件を満たすためには、Q、Rがともに水色部分に含まれればよいので、
x座標を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{4b}{2a-3b}\lt -2\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2a-b}{2a-3b}\lt 0\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{4b}{2a+b}\lt -2\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2a-b}{2a+b}\lt 0\end{align*}}$
すなわち、
$\scriptsize\sf{\underline{\left(2a-3b\right)\left(2a+b\right)\lt 0}}$ ・・･･････(*)
これを図示すると、下図のようになる。（境界上の点は含まない）
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}=\left(\frac{2\left(2a-b\right)}{2a-3b},\frac{-3\left(2a-b\right)}{2a-3b}\right) \ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf PR}=\left(\frac{2\left(2a-b\right)}{2a+b},\frac{2a-b}{2a+b}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \triangle PQR \\ &=\sf \frac{1}{2}\left|\frac{2\left(2a-b\right)}{2a-3b}\cdot\frac{2a-b}{2a+b}-\frac{-3\left(2a-b\right)}{2a-3b}\cdot\frac{2\left(2a-b\right)}{2a+b}\right|\\ &=\sf \underline{\frac{4\left(2a-b\right)^2}{\left(2a-3b\right)\left(2a+b\right)}}\ \ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\end{align*}}$
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S-4&=\sf \frac{4\left(2a-b\right)^2}{\left(2a-3b\right)\left(2a+b\right)}-4 \\ &=\sf \frac{16b^2}{\left(2a-3b\right)\left(2a+b\right)}\\ &\geq\sf 0\ \ \ \left(\because\ (*)\right)\end{align*}}$
なので、S≧4が成り立つ。
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- 2018/04/04(水) 23:57:00|
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第２問
次の問いに答えよ。
(１) 整数$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ の少なくとも一方が奇数のとき、$\small\sf{\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2}$ は奇数であることを示せ。
(２) nを奇数とする。このとき $\small\sf{\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=2n}$ を満たす整数$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ は存在しないことを示せ。
(３) cを実数とする。このとき3次方程式$\small\sf{x^3-2018x+c=0}$ の解のうち整数であるものは
1個以下であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{P=\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2}$ とおく。
(１)
・$\scriptsize\sf{\alpha ,\beta}$ ともに奇数であるとき、
$\scriptsize\sf{\alpha=2A+1\ ,\ \beta=2B+1}$ （A、Bは整数）
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P&=\sf \left(2A+1\right)^2+\left(2A+1\right)\left(2B+1\right)+\left(2B+1\right)^2 \\ &=\sf 4A^2+4AB+4B^2+6A+6B+3\\ &=\sf 2\left(2A^2+2AB+2B^2+3A+3B+1\right)+1\end{align*}}$
となるので、Pは奇数である。
・$\scriptsize\sf{\alpha}$ が奇数、$\scriptsize\sf{\beta}$ が偶数であるとき、
$\scriptsize\sf{\alpha=2A+1\ ,\ \beta=2B}$ （A、Bは整数）
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P&=\sf \left(2A+1\right)^2+\left(2A+1\right)\cdot 2B+\left(2B\right)^2 \\ &=\sf 4A^2+4AB+4B^2+4A+2B+1\\ &=\sf 2\left(2A^2+2AB+2B^2+2A+B\right)+1\end{align*}}$
となるので、Pは奇数である。
・$\scriptsize\sf{\alpha}$ が偶数、$\scriptsize\sf{\beta}$ が奇数であるときも同様。
以上より、Pは奇数である
(２)
(１)より、Pが偶数になるのは$\scriptsize\sf{\alpha ,\beta}$ ともに偶数のときなので、
$\scriptsize\sf{\alpha=2A\ ,\ \beta=2B}$ （A、Bは整数）
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P=2n&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(2A\right)^2+2A\cdot 2B+\left(2B\right)^2=2n \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n=2\left(A^2+AB+B^2\right)\end{align*}}$
となるので、nが奇数であることに矛盾する。
よって、P=2nを満たすような整数$\scriptsize\sf{\alpha ,\beta}$ は存在しない。
(３)
方程式 $\scriptsize\sf{x^3-2018x+c=0}$ ･･････(*)が異なる2つの整数解$\scriptsize\sf{\alpha ,\beta}$ を持つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\alpha^3-2018\alpha+c=0}$
$\scriptsize\sf{\beta^3-2018\beta+c=0}$
これら2式の差をとると、
$\scriptsize\sf{\alpha^3-\beta^2-2018\alpha+2018\beta=0}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\alpha-\beta\right)\left(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2\right)=2018\left(\alpha-\beta\right)}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=2\cdot 1009}$
1009は奇数なので、(２)より、これを満たす整数$\scriptsize\sf{\alpha ,\beta}$ は存在しない。
よって、(*)の整数解は1個以下である。
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