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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018名古屋大 理系数学1



第1問

  自然数nに対して、定積分
        $\small\sf{\begin{align*}\sf I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x^2+1}dx\end{align*}}$
  を考える。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) In+In+2=$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{n+1}\end{align*}}$ を示せ。

 (2) 0≦In+1≦In≦$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{n+1}\end{align*}}$ を示せ。

 (3) Sn=$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^n\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k}\end{align*}}$ とする。このとき、$\displaystyle\sf{\lim_{n\rightarrow\infty}}$ Snを求めよ。



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  1. 2018/04/07(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 理系 2018
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2018名古屋大 理系数学2



第2問

  aを1より大きい実数とする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 関数y=axとy=logaxのグラフの共有点は、存在すれば直線y=x上に
    あることを示せ。

 (2) 関数y=axとy=logaxのグラフの共有点は2個以下であることを示せ。

 (3) 関数y=axとy=logaxのグラフの共有点は1個であるとする。このとき、
    共有点の座標とaの値を求めよ。





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  1. 2018/04/08(日) 23:57:00|
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2018名古屋大 理系数学3



第3問

  pを素数、a、bを整数とする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) (a+b)p-ap-bpはpで割り切れることを示せ。

 (2) (a+2)p-apは偶数であることを示せ。

 (3) (a+2)p-apを2pで割ったときの余りを求めよ。




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  1. 2018/04/09(月) 23:57:00|
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2018名古屋大 理系数学4



第4問

  図1のように2つの正方形ABCDとCDEFを並べた図形を考える。2点P、Qが
  6個の頂点A、B、C、D、E、Fを以下の規則(a)、(b)に従って移動する。
   (a) 時刻0では点Pは頂点Aに、点Qは頂点Cにいる。
   (b) 点P、Qは時刻が1増えるごとに独立に、今いる頂点と辺で結ばれている
      頂点に等確率で移動する。
  時刻nまで2点P、Qが同時に同じ頂点にいることが一度もない確率をpnと表す。
  また時刻nまで2点P、Qが同時に同じ頂点にいることが一度もなく、かつ時刻n
  に2点P、Qがともに同じ正方形上にいる確率をanと表し、bn=pn-anと定める。
  このとき、次の問いに答えよ。
 
 (1) 時刻1での点P、Qの可能な配置を、図2にならってすべて図示せよ。

 (2) a1、b1、a2、b2を求めよ。

 (3) an+1、bn+1をan、bnで表せ。

 (4) pn≦$\small\sf{\left(\frac{3}{4}\right)^n}$ を示せ。

       2018名大03


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  1. 2018/04/10(火) 23:57:00|
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