第１問
座標平面上に放物線Cを
y=x2-3x+4
で定め、領域Dを
y≧x2-3x+4
で定める。原点を通る2直線$\small\sf{\ell}$ 、mはCに接するものとする。
(１) 放物線C上を動く点Aと直線$\small\sf{\ell}$ 、mの距離をそれぞれL、Mとする。
$\small\sf{\sqrt{L}+\sqrt{M}}$ が最小値をとるときの点Aの座標を求めよ。
(２) 次の条件を満たす点P(p，q)の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。
条件：領域Dのすべての点(x，y)に対し不等式px+qy≦0がなりたつ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\left(x^2-3x+4\right)'=2x-3}$ より、C上の点(t，t2-3t+4)における接線の方程式は
$\scriptsize\sf{y-\left(t^2-3t+4\right)=\left(2t-3\right)\left(x-t\right)}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\left(2t-3\right)x-t^2+4}$
これが原点を通るとき
$\scriptsize\sf{-t^2+4=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\pm 2}$
なので、2接線 $\scriptsize\sf{\ell}$ 、mの方程式は
$\scriptsize\sf{\ell :\ y=x\ \ \Leftrightarrow\ \ x-y=0}$
$\scriptsize\sf{m :\ y=-7x\ \ \Leftrightarrow\ \ 7x+y=0}$
C上の点A(a，a2-3a+4)から2接線までの距離はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L=\frac{\left|a^2-4a+4\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{\left(a-2\right)^2}{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf M=\frac{\left|a^2+4a+4\right|}{\sqrt{49+1}}=\frac{\left(a+2\right)^2}{5\sqrt2}\end{align*}}$
なので、$\small\sf{\sqrt{L}+\sqrt{M}}$ をf(a)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(a\right)&=\sf \frac{\left|a-2\right|}{\sqrt[4]{2}}+\frac{\left|a+2\right|}{\sqrt5\ \sqrt[4]{2}} \end{align*}}$
よって、
a＜-2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(a\right)&=\sf \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\left\{-\left(1+\frac{1}{\sqrt5}\right)a+\left(2-\frac{2}{\sqrt5}\right)\right\}\end{align*}}$
-2≦a＜2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(a\right)&=\sf \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\left\{-\left(1-\frac{1}{\sqrt5}\right)a+\left(2+\frac{2}{\sqrt5}\right)\right\}\end{align*}}$
2≦aのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(a\right)&=\sf \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\left\{\left(1+\frac{1}{\sqrt5}\right)a-\left(2-\frac{2}{\sqrt5}\right)\right\} \end{align*}}$
右図より、f(a)が最小になるのはa=2のときであり、
そのときの点Aの座標は(2，2)である。
(２)
Dは放物線Cの上側の領域（境界上の点も含む）を表す。
不等式px+qy≦0が表す領域をEとする。
q=0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf E:\ px\leq 0 \end{align*}}$
となり、これを満たさないようなD内の点(x，y)が存在するので不適。
q＞0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf E:\ y\leq -\frac{p}{q}x \end{align*}}$
より、Eは直線$\scriptsize\sf{y=-\frac{p}{q}x}$ の下側の領域となる。
よって、これを満たさないようなD内の点(x，y)が存在するので不適。
q＜0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf E:\ y\geq -\frac{p}{q}x \end{align*}}$
より、Eは直線$\scriptsize\sf{y=-\frac{p}{q}x}$ の上側の領域となる。
D内のすべての点(x，y)がこれを満たすとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -7\leq -\frac{p}{q}\leq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ q\leq -p\leq -7q\end{align*}}$
⇔ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q\leq -p\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q\leq -\frac{1}{7}p \end{align*}}$
となり、これを図示すると下図のようになる。
（境界線上の点も含む）
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- 2018/03/25(日) 23:57:00|
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第２問
数列a1、a2、･･･・・・を
$\small\sf{a_n=\frac{_{2n}C_n}{n!}}$ (n=1，2，･･･)
で定める。
(１) a7と1の大小を調べよ。
(２) n≧2とする。$\small\sf{\frac{a_n}{a_{n-1}}}$ ＜1をみたすnの範囲を求めよ。
(３) anが整数となるn≧1をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_7=\frac{_{14}C_7}{7!}=\frac{14!}{\left(7!\right)^3}=\frac{143}{210}\lt 1 \end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{a_n}{a_{n-1}}&=\sf \frac{_{2n}C_n\cdot\left(n-1\right)!}{n!\cdot _{2n-2}C_{n-1}} \\ &=\sf\frac{\left(2n\right)!\left\{\left(n-1\right)!\right\}^3}{\left(2n-2\right)!\left(n!\right)^3} \\ &=\sf \frac{2\left(2n-1\right)}{n^2}\lt 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n^2-4n+2\gt 0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n\gt 2+\sqrt2\ \ \ \left(\because\ n\geq 2\right) \end{align*}}$
nは自然数なので、n≧4
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_1=\frac{_2C_1}{1!}=\frac{2!}{\left(1!\right)^3}=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_2=\frac{_4C_2}{2!}=\frac{4!}{\left(2!\right)^3}=3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_3=\frac{_6C_3}{3!}=\frac{6!}{\left(3!\right)^3}=\frac{10}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_4=\frac{_8C_4}{4!}=\frac{8!}{\left(4!\right)^3}=\frac{35}{12}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_5=\frac{_{10}C_5}{5!}=\frac{10!}{\left(5!\right)^3}=\frac{21}{10}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_6=\frac{_{12}C_6}{6!}=\frac{12!}{\left(6!\right)^3}=\frac{77}{60}\end{align*}}$
n≧7については、(１)、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\gt a_7\gt a_8\gt a_9\gt\ \cdots\cdots\end{align*}}$
となるので、anは整数とならない。
以上より、題意を満たすのは、n=1，2である。
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- 2018/03/26(月) 23:57:00|
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第３問
a＞0とし、
f(x)=x3-3a2x
とおく。
(１) x≧1でf(x)が単調に増加するための、aについての条件を求めよ。
(２) 次の2条件をみたす点(a，b)の動きうる範囲を求め、座標平面に図示せよ。
条件1：方程式f(x)=bは相異なる3実数解をもつ。
条件2：さらに、方程式f(x)=bの解を $\small\sf{\alpha\lt \beta\lt \gamma}$ とすると $\small\sf{\beta\gt 1}$ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)の導関数は
f’(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)
なので、a＞0よりf(x)の増減は次のようになる。
よって、x≧1でf(x)が単調に増加するための条件は
0＜a≦1
(２)
方程式f(x)=bの実数解は、曲線y=f(x)と直線y=bの共有点の
x座標に等しいので、条件1より
-2a3＜b＜2a3
である必要がある。
このとき、右図より
-a＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ＜a
なので、条件2を満たすためには
1＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ＜a
⇔ f(a)＜f($\scriptsize\sf{\beta}$ )＜f(1)
⇔ -2a3＜b＜1-3a2
これらを満たす(a，b)を図示すると、下図のようになる。
（境界線上の点は含まない）
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- 2018/03/27(火) 23:57:00|
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第４問
放物線y=x2のうち-1≦x≦1をみたす部分をCとする。座標平面上の
原点Oと点A(1，0)を考える。
(１) 点PがC上を動くとき
$\small\sf{\overrightarrow{\sf OQ}=2\overrightarrow{\sf OP}}$
を満たす点Qの軌跡を求めよ。
(２) 点PがC上を動き、点Rが線分OA上を動くとき
$\small\sf{\overrightarrow{\sf OS}=2\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OR}}$
を満たす点Sが動く領域を座標平面上に図示し、その面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
P(p，p2) （-1≦p＜1)、Q(x，y) とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OQ}=\left(x,y\right)=\left(2p,2p^2\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=2p\ ,\ y=2p^2\end{align*}}$
これらよりpを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{y=\frac{1}{2}x^2\ \ \ \left(-2\leq x\leq 2\right)}\end{align*}}$
(２)
(１)で求めた点Qの軌跡をC’とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OS}=2\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OR}=\overrightarrow{\sf OQ}+\overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$
より、点SはC’をx軸正方向にr （0≦r≦1）だけ平行移動した曲線上を動く。
C’をx軸正方向に1だけ平行移動した曲線をC”とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C'':\ y=\frac{1}{2}\left(x-1\right)^2\ \ \ \left(-2\leq x\leq 3\right)\end{align*}}$
であり、点Sの動く領域は、C’をC”の位置まで平行移動させたときに
C’が通過する領域なので、下図のようになる。
（境界線上の点を含む）
2曲線C’、C”は直線x=$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ について対称なので、
求める面積をTとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T&=\sf 2\left\{\int_{1/2}^2\frac{1}{2}x^2dx+\int_2^32dx-\int_1^3\frac{1}{2}\left(x-1\right)^2dx\right\} \\ &=\sf 2\left\{\left[\frac{1}{6}x^3\right]_{1/2}^2+\left[\ 2x\right]_2^3-\left[\frac{1}{6}\left(x-1\right)^3\right]_1^3\right\}\\ &=\sf \underline{\frac{95}{24}}\end{align*}}$
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- 2018/03/28(水) 23:57:00|
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