第1問
2つの関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=1-x^2\ \ ,\ \ y=\frac{1}{2}(x-b)^2\end{align*}}$
のグラフが、点A(a，1－a2)において、同一の直線に接するように、
正の定数a、bを定める。関数y=ｆ(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf 1-x^2 & (\sf x\leqq a) \\ \sf \frac{1}{2}(x-b)^2 & (\sf x>a) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
によって定義するとき、次の問いに答えよ。
(1) 正の定数a、bの値を求めよ。
(2) 関数y=ｆ(x)のグラフとx軸で囲まれる図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2つの関数を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=1-x^2\ \ ,\ \ h\ (x)=\frac{1}{2}(x-b)^2\end{align*}}$
とおくと、それぞれの導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=-2x\ \ ,\ \ h\ '(x)=x-b\end{align*}}$
となる。これらのグラフが点Aにおいて同一直線に接するためには、
ｇ(a)=ｈ(a) かつ ｇ’(a)=ｈ’(a)
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-a^2= \frac{1}{2}(a-b)^2\end{align*}}$ かつ －2a=a－b．
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{1}{\sqrt3}\ \ ,\ \ b=\sqrt3\ \ }\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf 1-x^2 & \left(\sf x\leqq \frac{1}{\sqrt3} \right) \\ \sf \frac{1}{2}(x-\sqrt3)^2 & \left(\sf x>\frac{1}{\sqrt3}\right) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
このグラフとx軸で囲まれた図形は右図のようになるので、
その面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-1}^{\frac{1}{\sqrt3}}\ (1-x^2)\ dx+\int_{\frac{1}{\sqrt3}}^{\sqrt3}\ \frac{1}{2}(x-\sqrt3)^2 \ dx\end{align*}}$
で求めることができる。
定積分を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\underline{\ \frac{4\sqrt3}{9}+\frac{2}{3}\ \ }\end{align*}}$
いろいろと計算を省略しています。スミマセン。
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第2問
数列{an}を条件
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=-1\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{1}{a_n}-1\ \ \ \ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
で定める。この数列の初項から第ｎ項までの積a1a2a3･･･anをxnとするとき、
次の問いに答えよ。
(1) xn－xn+1=xn+2が成り立つことを示し、x6、a6を求めよ。
(2) x1+x2+x3+･･･+xn+xn+1=－xnが成り立つことを示せ。
(3) x2+x4+x6+･･･+x2m=－1－x2m+1が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{a_n}-1\end{align*}}$ ･････(※)
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_n-x_{n+1}=a_1\ a_2\ldots a_n\ -a_1\ a_2\ldots a_n\ a_{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a_1\ a_2\ldots a_n\ a_{n+1}\left(\frac{1}{a_{n+1}}-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a_1\ a_2\ldots a_n\ a_{n+1}\ a_{n+2}\end{align*}}$ ←(※)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x_{n+2}\end{align*}}$ ････(＃)
ここで、
x1=a1=－1
a2=－1－1=－2 ←(※)より
x2=a1a2=2
(＃)より順に、
x3=x1－x2=－3
x4=x2－x3=5
x5=x3－x4=－8
x6=x4－x5= 13 ．
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_6=\frac{a_1\ a_2\ldots a_5\ a_6}{a_1\ a_2\ldots a_5}=\frac{x_6}{x_5}=\underline{\ -\frac{13}{8}\ \ }\end{align*}}$
(2)
(＃)はｎ=1，2，･･･，ｎ－1に対しても成立するので、
x1－x2=x3
x2－x3=x4
x3－x4=x5
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
xn-1－xn=xn+1
これらを辺々加えると、
x1－xn=x3+x4+x5+･･･+xn+1
両辺に x1+x2を加えると、
x1+x2+x3+･･･+xn+1=x1+x2+(x1－xn)
=－1+2+(－1－xn)
=－xn
よって、題意は成立する。
(3)
(＃)はｎ=1，3，5，･･･，2ｍ－1に対しても成立するので、
x1－x2=x3
x3－x4=x5
x5－x6=x7
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
x2m-1－x2m=x2m+1
これらを辺々加えると、
x1－(x2+x4+x6+･･･+x2m)=x2m+1
⇔ x2+x4+x6+･･･+x2m=x1－x2m+1
=－1－x2m+1
よって、題意は成立する。
(2)、(3)は数学的帰納法でも証明できます。
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第3問
a＞0とし、xy座標平面において、x軸に平行な直線Ｌ：y=a、および、
放物線Ｕ：y=x2を考える。次の問いに答えよ。
(1) 点(0，s)を中心とする半径rの円と放物線Ｕが、ただ一つの共有点を
持つためのs、rについての条件を求めよ。
(2) 直線Ｌと放物線Ｕによって囲まれる領域(境界も含む)をDとする。
Dに含まれ、y軸上に中心を持つ円のうちで、その半径rが最大のもの
を求めよ
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点(0，s)を中心とする半径r（r＞0）の円を
C：x2+(y－s)2=r2
とする。
ＵとCの共有点を求めるために、xを消去すると、
y+(y－s)2=r2
⇔ y2－(2s－1)y+s2－r2=0 ･････(※)
CとＵがただ1つの共有点をもつためには、
右図1または図2のようにCが原点を通ればよいので、
0+(－s)2=r2 ⇔ s2=r2
このとき(※)は、
y2－(2s－1)y=0
⇔ y{y－(2s－1)｝=0 ････①
⇔ y=0，2s－1
となる。
図3のように原点以外の共有点をもってはいけないので、
①がy＞0の範囲に解をもたなければよい。
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2s-1\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ s\leqq \frac{1}{2}\end{align*}}$
以上より、求める条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s^2=r^2\ \ ,\ \ s\leqq \frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
(2)
円Cが領域D内に存在するので、s＞0としてよい。
領域Dに含まれる円のうちで、半径が最大のものは、
直線Ｌと放物線Ｕの両方に接する。
まず、円Cが直線Ｌと接するための条件は、
CがＬより下側にあることを考えると、
a=s+r ････②
である。
CとＵが原点のみで接する（図4）のは、
s＞0と(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0 なので、これと②より、
0＜a≦1 かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{a}{2}\end{align*}}$
逆にa＞1のときは、CとＵはy＞0の部分で接する（図5）。
(※)が重解を持てばよいので、(※)の判別式をDとすると、
D=(2s－1)2－4(s2－r2)=0
これに②を代入して整理すると、
4r2+4r－4a+1=0
これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\sqrt{a}-\frac{1}{2}\ \ \ \ (>0)\end{align*}}$
以上より
0＜a≦1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{\ max}=\frac{a}{2}\end{align*}}$
1＜aのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{\ max}=\sqrt{a}-\frac{1}{2}\end{align*}}$
よくある問題なんでしょうけど、これは答案が書きにくいでしょうね。
市大って、こういうのが多い印象です。
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第4問
ｎを2以上とし、ｎ組の夫婦が、2ｎ人掛けの円卓に着席するものとする。
着席位置を無作為に決めるとき、次の問いに答えよ。
(1) 男女が交互に着席する確率を求めよ。
(2) どの夫婦も隣り合わせに着席する確率を求めよ。
(3) 男女が交互になり、かつ、どの夫婦も隣り合わせに着席する確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
2ｎ人を丸く並べる円順列の総数は (2ｎ－1)！通り
(1)
ある男性1人(A氏とする)の座る位置を固定して考える。
A氏以外のｎ－1人の男性は、A氏の位置から1つおきに
着席すればよいので、男性の並び方は、(ｎ－1)！通りある。
女性ｎ人は残りの席に座ればよいので、座り方はｎ！通り。
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{(n-1)!\ n!}{(2n-1)!}\end{align*}}$
(2)
ある夫婦1組の座る位置を固定して考える。
残りｎ－1組の夫婦の着席のしかたは、(ｎ－1)！通りあり、
各夫婦とも、座り方は2通りずつあるので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2^n\ (n-1)!}{(2n-1)!}\end{align*}}$
(3)
ある夫婦1組(夫婦Aとする)の座る位置を固定して考える。
夫婦Aの座り方は2通りあり、
残りｎ－1組の夫婦の着席のしかたは、(ｎ－1)！通りある。
A夫妻以外の夫婦は、男性と女性の座り方が1通りに決まるので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\ (n-1)!}{(2n-1)!}\end{align*}}$
円順列で考えましたが、普通に全体を(2ｎ)！としてもできます。
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