第１問
$\small\sf{f\left(x\right)=\frac{x}{sinx}+cosx\ \ \ \left(0\lt x\lt\pi\right)}$
の増減表をつくり、x→+0、x→$\small\sf{\pi}$ -0のときの極限を調べよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(\right)&=\sf\frac{sinx-xcosx}{sin^2x}-sinx \\ &=\sf \frac{cosx\left(sinxcosx-x\right)}{sin^2x}\\ &=\sf \frac{cosx\left(\frac{1}{2}sin2x-x\right)}{sin^2x}\end{align*}}$
ここで、関数h(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\left(x\right)&=\sf \frac{1}{2}sin2x-x\ \ \ \left(0\lt x\lt\pi\right) \end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ '\left(x\right)&=\sf cos2x-1\lt 0 \end{align*}}$
なので、h(x)は単調に減少する。このことと
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}h\left(x\right)=0 \end{align*}}$
より、0＜x＜$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲で常にh(x)＜0が成り立つ。
よって、f’(x)の符号及びf(x)の増減は次のようになる。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\lim_{x\rightarrow +0}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow +0}\left(\frac{x}{sinx}+cosx\right)=\underline{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\lim_{x\rightarrow \pi -0}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow \pi -0}\left(\frac{x}{sinx}+cosx\right)=\underline{+\infty}\end{align*}}$
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- 2018/03/29(木) 23:57:00|
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第２問
数列a1、a2、･･･を
$\small\sf{a_n=\frac{_{2n+1}C_n}{n!}\ \ \ \left(n=1,2,\cdots\right)}$
で定める。
(１) n≧2とする。$\small\sf{\frac{a_n}{a_{n-1}}}$ を既約分数 $\small\sf{\frac{q_n}{p_n}}$ として表したときの分母pn>1と
分子qnを求めよ。
(２) anが整数となるn≧1をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n&=\sf \frac{_{2n+1}C_n}{n!}=\frac{\left(2n+1\right)!}{\left(n+1\right)!\left(n!\right)^2} \end{align*}}$
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\left(2n+1\right)!}{\left(n+1\right)!\left(n!\right)^2}\cdot\frac{n!\left\{\left(n-1\right)!\right\}^2}{\left(2n-1\right)!}&=\sf \frac{2\left(2n+1\right)}{n\left(n+1\right)} \end{align*}}$
ここで、2連続整数の積は2の倍数なのでn(n+1)は2の倍数である。
また、n≧2のときnとn+1は互いに素なので、その和である2n+1と
n(n+1)は互いに素である。よって、既約分数に直すと、
$\scriptsize\sf\begin{align*}\sf \frac{q_n}{p_n}&=\sf \frac{2n+1}{\frac{1}{2}n\left(n+1\right)} \end{align*}{}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_n=\underline{\frac{1}{2}n\left(n+1\right)}\ \ ,\ \ q_n=\underline{2n+1} \end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n-1}\geq a_n&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{2\left(2n+1\right)}{n\left(n+1\right)}\geq 1 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n^2-3n-2\leq 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{3-\sqrt{17}}{2}\leq
n\leq\frac{3+\sqrt{17}}{2}\end{align*}}$
これを満たす2以上の自然数はn=2，3なので、
a1≦a2≦a3＞a4＞a5＞･･････
となる。順次計算していくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_1=\frac{3!}{2!\left(1!\right)^2}=3\ \ ,\ \ a_2=\frac{5!}{3!\left(2!\right)^2}=5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_3=\frac{35}{6}\ \ ,\ \ a_4=\frac{21}{4}\ \ ,\ \ a_5=\frac{77}{20}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_6=\frac{143}{60}\ \ ,\ \ a_7=\frac{143}{112}\ \ ,\ \ a_8=\frac{2431}{4032}\lt 1\end{align*}}$
となり、n≧9のときは常にan＜1となるので、anが整数になるのは、
n=1，2
のときである。
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- 2018/03/30(金) 23:57:00|
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第３問
放物線y=x2のうち-1≦x≦1をみたす部分をCとする。座標平面上の
原点Oと点A(1，0)を考える。k＞0を実数とする。
点PがC上を動き、点Qが線分OA上を動くとき
$\small\sf{\overrightarrow{\sf OR}=\frac{1}{k}\overrightarrow{\sf OP}+k\overrightarrow{\sf OQ}}$
を満たす点Rが動く領域の面積をS(k)とする。
S(k)および $\displaystyle\sf{\lim_{x\rightarrow +0}}$ S(k)、$\displaystyle\sf{\lim_{x\rightarrow\infty}}$ S(k)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
P(p，p2) （-1≦p＜1)とおく。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OT}=\frac{1}{k}\overrightarrow{\sf OP}=\left(\frac{p}{k},\frac{p^2}{k}\right)\end{align*}}$
を満たす点T(x，y)を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{p}{k}\ ,\ y=\frac{p^2}{k}\end{align*}}$
これらよりpを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=kx^2\ \ \ \left(-\frac{1}{k}\leq x\leq \frac{1}{k}\right)\end{align*}}$
この曲線をC’とする。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OR}=\frac{1}{k}\overrightarrow{\sf OP}+k\overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf OT}+k\overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$
より、点RはC’をx軸正方向にr （0≦r≦k）だけ平行移動した曲線上を動く。
C’をx軸正方向にkだけ平行移動した曲線をC”とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C'':\ y=k\left(x-k\right)^2\ \ \ \left(k-\frac{1}{k}\leq x\leq k+\frac{1}{k}\right)\end{align*}}$
であり、点Rの動く領域は、C’をC”の位置まで平行移動させたときに
C’が通過する領域である。
ここで、k＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{k}\leq\frac{1}{k}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 0\lt k\leq \sqrt2 \end{align*}}$
なので、0＜k≦$\scriptsize\sf{\sqrt2}$ のとき、C’とC”は共有点をもち、そのx座標は $\scriptsize\sf{\frac{k}{2}}$ である。
求める面積は、図の対称性より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(k\right)&=\sf 2\left\{\int_{\frac{k}{2}}^{\frac{1}{k}}kx^2dx+\int_{\frac{1}{k}}^{k+\frac{1}{k}}\frac{1}{k}dx-\int_k^{k+\frac{1}{k}}k\left(x-k\right)^2dx\right\} \\ &=\sf 2\left\{\left[\frac{k}{3}x^3\right]_{\frac{k}{2}}^{\frac{1}{k}}kx^2dx+\left[\frac{1}{k}x\right]_{\frac{1}{k}}^{k+\frac{1}{k}}-\left[\frac{k}{3}\left(x-k\right)^3\right]_k^{k+\frac{1}{k}}\right\}\\ &=\sf 2-\frac{k^4}{12}\end{align*}}$
一方、$\scriptsize\sf{\sqrt2}$ ＜kのときは、C’とC”は共有点をもたない。
求める面積は、図の対称性より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(k\right)&=\sf \frac{1}{k}\left\{\left(k+\frac{1}{k}\right)-\left(-\frac{1}{k}\right)\right\}-2\int_0^{\frac{1}{k}}kx^2dx\\ &=\sf 1+\frac{2}{k^2}-2\left[\frac{k}{3}x^3\right]_0^{\frac{1}{k}}\\ &=\sf 1+\frac{4}{3k^2}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{S\left(k\right)=2-\frac{k^4}{12}\ \ \ \left(0\lt k\leq\sqrt2\right)} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{S\left(k\right)=1+\frac{4}{3k^2}\ \ \ \left(\sqrt2\lt k\right)} \end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{k\rightarrow +0}S\left(k\right)=\lim_{k\rightarrow +0}\left(2-\frac{k^4}{12}\right)=\underline{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{k\rightarrow\infty}S\left(k\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\left(1+\frac{4}{3k^2}\right)=\underline{1}\end{align*}}$
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- 2018/03/31(土) 23:57:00|
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第３問
a＞0とし、
f(x)=x3-3a2x
とおく。次の2条件をみたす点(a，b)の動きうる範囲を求め、座標平面に
図示せよ。
条件1：方程式f(x)=bは相異なる3実数解をもつ。
条件2：さらに、方程式f(x)=bの解を $\small\sf{\alpha\lt \beta\lt \gamma}$ とすると $\small\sf{\beta\gt 1}$ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
f(x)の導関数は
f’(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)
なので、a＞0よりf(x)の増減は次のようになる。
方程式f(x)=bの実数解は、曲線y=f(x)と直線y=bの共有点の
x座標に等しいので、条件1より
-2a3＜b＜2a3
である必要がある。
このとき、右図より
-a＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ＜a
なので、条件2を満たすためには
1＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ＜a
⇔ f(a)＜f($\scriptsize\sf{\beta}$ )＜f(1)
⇔ -2a3＜b＜1-3a2
これらを満たす(a，b)を図示すると、下図のようになる。
（境界線上の点は含まない）
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- 2018/04/01(日) 23:57:00|
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第５問
複素数平面上の原点を中心とする半径1の円をCとする。点P(z)は
C上にあり、点A(1)とは異なる点とする。点Pにおける円Cの接線に
関して、点Aと対称な点をQ(u)とする。w=$\small\sf{\frac{1}{1-u}}$ とおき、wと共役な
複素数を $\small\sf{\overline{w}}$ で表す。
(１) uと $\small\sf{\frac{\overline{w}}{w}}$ をzについての整式として表し、絶対値の商 $\small\sf{\frac{\left|w+\overline{w}-1\right|}{\left| w\right|}}$
を求めよ。
(２) Cのうち実部が$\small\sf{\frac{1}{2}}$ 以下の複素数で表される部分をC’とする。
点P(z)がC’上を動くとき、点R(w)の軌跡を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
zはC上の点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|z\right|^2=z\overline{z}=1\ \ \cdots\cdots\ (*)\end{align*}}$
zの偏角を$\scriptsize\sf{\theta}$ とし、点PにおけるCの接線をLとおく。
Lおよび点A、QをO中心に$\scriptsize\sf{\frac{\pi}{2}}-\theta$ だけ回転させたものをそれぞれ
L’、A’、Q’とし、L’、A’、Q’を虚軸方向に-1だけ平行移動した
ものをそれぞれL”、A”、Q”とすると、L”は実軸と一致し、A”とQ”
は実軸について対称である。A”、Q”を表す複素数はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\cdot\left\{cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+isin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}-i&=\sf \frac{cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2}}{cos\theta+isin\theta}-i\\ &=\sf \frac{i}{z}-i\\ &=\sf i\ \overline{z}-i\ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf u\left\{cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+isin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}-i=\frac{ui}{z}-i\end{align*}}$
これらが互いに共役なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{i\ \overline{z}-i}=\frac{ui}{z}-i&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf z+1=\frac{u}{z}-1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf u=\underline{-z^2+2z} \end{align*}}$
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w=\sf \frac{1}{1-u} =\frac{1}{1-\left(-z^2+2z\right)}=\frac{1}{\left(z-1\right)^2}\ \ \ \cdots\cdots (**)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{w}=\frac{1}{\left(\overline{z}-1\right)^2}=\frac{1}{\left(\frac{1}{z}-1\right)^2}=\frac{z^2}{\left(z-1\right)^2}\ \ \ \left(\because\ (*)\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\overline{w}}{w}=\underline{z^2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\left|w+\overline{w}+1\right|}{\left|w\right|}&=\sf \left|1+\frac{\overline{w}}{w}-\frac{1}{w}\right| \\ &=\sf \left|1+z^2-\left(z-1\right)^2\right|\\ &=\sf \left|2z\right|\\ &=\sf \underline{2\ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)}\end{align*}}$
(２)
w=x+yi （x、yは実数）とおくと、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\left|w+\overline{w}+1\right|}{\left|w\right|}=2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left|w+\overline{w}-1\right|=2\left|w\right|\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left|2x-1\right|=2\sqrt{x^2+y^2}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 4x^2-4x+1=4x^2+4y^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=-y^2+\frac{1}{4}\ \ \cdots\cdots (***)\end{align*}}$
zの実部を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Re\left(z\right)=\frac{z+\overline{z}}{2}\leq\frac{1}{2}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf z+\frac{1}{z}\leq 1\ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{z^2-2z+1}{z}\leq -1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{\left(z-1\right)^2}{z}\leq -1 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{1}{zw}\leq -1\ \ \ \ \left(\because\ (**)\right)\end{align*}}$
両辺の絶対値をとると、
$\scriptsize\sf\begin{align*}\sf \left|\frac{1}{zw}\right|\geq 1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left|w\right|\leq 1\ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2+y^2\leq 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2+\left(\frac{1}{4}-x^2\right)\leq 1\ \ \ \ \left(\because\ (***)\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -\frac{1}{2}\leq x\leq\frac{3}{2}\end{align*}{}$
以上より、点R(w)の軌跡を図示すると、下図のようになる。
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- 2018/04/02(月) 23:57:00|
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第６問
座標空間内の4点O(0，0，0)、A(1，0，0)、B(1，1，0)、C(1，1，1)
を考える。$\small\sf{\frac{1}{2}}$ ＜r＜1とする。点Pが線分OA、AB、BC上を動くときに点Pを中心と
する半径rの球（内部を含む）が通過する部分をそれぞれV1、V2、V3とする。
(１) 平面y=tがV1、V3双方と共有点をもつようなtの範囲を与えよ。さらに、この
範囲のtに対し、平面y=tとV1の共通部分および、平面y=tとV3の共通部分
を同一平面上に図示せよ。
(２) V1とV3の共通部分がV2に含まれるためのrについての条件を求めよ。
(３) rは(２)の条件をみたすとする。V1の体積をSとし、V1とV2の共通部分の体積
をTとする。V1、V2、V3を合わせてえられる立体Vの体積をSとTを用いて表せ。
(４) ひきつづきrは(２)の条件をみたすとする。SとTを求め、Vの体積を決定せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
V1は
半球 $\scriptsize\sf{x^2+y^2+z^2\leq r^2\ \ \left(x\leq 0\right)}$
円柱 $\scriptsize\sf{y^2+z^2\leq r^2\ \ \left(0\leq x\leq 1\right)}$
半球 $\scriptsize\sf{\left(x-1\right)^2+y^2+z^2\leq r^2\ \ \left(x\geq 1\right)}$
の3つの部分からなる。y=tのとき、それぞれ
$\scriptsize\sf{x^2+z^2\leq r^2-t^2\ \ \left(x\leq 0\right)}$
$\scriptsize\sf{z^2\leq r^2-t^2\ \ \left(0\leq x\leq 1\right)}$
$\scriptsize\sf{\left(x-1\right)^2+z^2\leq r^2-t^2\ \ \left(x\geq 1\right)}$
となり、これを満たす実数x、zが存在するためには、r＞0より
$\scriptsize\sf{r^2-t^2\geq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -r\leq t\leq r}$
であればよい。
一方、V3は
半球 $\scriptsize\sf{\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+z^2\leq r^2\ \ \left(z\leq 0\right)}$
円柱 $\scriptsize\sf{\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\leq r^2\ \ \left(0\leq z\leq 1\right)}$
半球 $\scriptsize\sf{\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\leq r^2\ \ \left(z\geq 1\right)}$
の3つの部分からなる。y=tのとき、それぞれ
$\scriptsize\sf{\left(x-1\right)^2+z^2\leq r^2-\left(t-1\right)^2\ \ \left(z\leq 0\right)}$
$\scriptsize\sf{\left(x-1\right)^2\leq r^2-\left(t-1\right)^2\ \ \left(0\leq z\leq 1\right)}$
$\scriptsize\sf{\left(x-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\leq r^2-\left(t-1\right)^2\ \ \left(z\geq 1\right)}$
となり、これを満たす実数x、zが存在するためには、r＞0より
$\scriptsize\sf{r^2-\left(t-1\right)^2\geq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ 1-r\leq t\leq 1+r}$
であればよい。
以上より、平面y=tがV1、V3双方と共有点をもつようなtの範囲は、
$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ ＜r＜1なので、
$\scriptsize\sf{\underline{1-r\leq t\leq r}}$
である。
ここで、
$\scriptsize\sf{r_1=\sqrt{r^2-t^2}\ \ ,\ \ r_2=\sqrt{r^2-\left(1-t\right)^2}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{r_1\gt r_2\ \ \Leftrightarrow\ \ r^2-t^2\gt r^2-\left(1-t\right)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ t\lt \frac{1}{2}}$
なので、平面y=tとV1、V3の共通部分を図示すると下図のようになる。
（境界上の点も含む）
$\scriptsize\sf{1-r\leq t\leq\frac{1}{2}}$ のとき $\scriptsize\sf{\frac{1}{2}\leq t\leq r}$ のとき
(２)
(１)より、V1とV3の共通部分を平面y=tで切断した時の断面は
下図のピンク色の部分になる。この領域をEとする。
$\scriptsize\sf{1-r\leq t\leq\frac{1}{2}}$ のとき $\scriptsize\sf{\frac{1}{2}\leq t\leq r}$ のとき
一方、V2の0≦y≦1の部分を平面y=tで切断した時の断面は、
上図において緑色の円の周および内部なので、
$\scriptsize\sf{\left(x-1\right)^2+\left(y-t\right)^2+z^2\leq r^2}$ ･･････(*)
V1とV3の共通部分がV2に含まれるためには、(１)の範囲にある任意のtに対して、
Eが(*)に含まれればよい。
図より、点D(1-r2，t，r1)が(*)を満たせばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{\left(1-r_2\right)-1\right\}^2+0^2+\left(r_1\right)^2\leq r^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf r^2-\left(1-t\right)^2+\left(r-t\right)^2\leq r^2 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2t^2-2t+1\geq r^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\geq r^2\end{align*}}$
これが(１)の範囲にある任意のtに対して成り立つので、$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ ＜r＜1より、
$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}\geq r^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\frac{1}{2}\lt r\leq\frac{1}{\sqrt2}}}$
(３)
V1の体積をv(V1)、V1とV2の共通部分の体積をv(V1∩V2)などと表す
ことにすると、
$\scriptsize\sf{v\left(V_1\right)=v\left(V_2\right)=v\left(V_3\right)=S}$
$\scriptsize\sf{v\left(V_1\cap V_2\right)=v\left(V_2\cap V_3\right)=T}$
であり、(２)より、V1∩V3⊂V2なので、
$\scriptsize\sf{v\left(V_1\cap V_2\cap V_3\right)=v\left(V_1\cap V_3\right)}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf v\left(V_1\right)+v\left(V_2\right)+v\left(V_3\right)-v\left(V_1\cap V_2\right)-v\left(V_2\cap V_3\right)-v\left(V_3\cap V_1\right)+v\left(V_1\cap V_2\cap V_3\right) \\ &=\sf \underline{3S-2T}\end{align*}}$
(４)
V1を平面z=u （-r≦u≦r）で切断した時の断面は
$\scriptsize\sf{x^2+y^2\leq r^2-u^2\ \ \left(x\leq 0\right)}$
$\scriptsize\sf{y^2\leq r^2-u^2\ \ \left(0\leq x\leq 1\right)}$
$\scriptsize\sf{\left(x-1\right)^2+y^2\leq r^2-u^2\ \ \left(x\geq 1\right)}$
一方、V2は
半球 $\scriptsize\sf{\left(x-1\right)^2+y^2+z^2\leq r^2\ \ \left(y\leq 0\right)}$
円柱 $\scriptsize\sf{x^2+z^2\leq r^2\ \ \left(0\leq y\leq 1\right)}$
半球 $\scriptsize\sf{\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+z^2\leq r^2\ \ \left(y\geq 1\right)}$
なので、平面z=u （-r≦u≦r）で切断した時の断面は
$\scriptsize\sf{\left(x-1\right)^2+y^2\leq r^2-u^2\ \ \left(y\leq 0\right)}$
$\scriptsize\sf{x^2\leq r^2-u^2\ \ \left(0\leq y\leq 1\right)}$
$\scriptsize\sf{\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\leq r^2-u^2\ \ \left(y\geq 1\right)}$
よって、
$\scriptsize\sf{r_3=\sqrt{r^2-u^2}}$
とおくと、V1とV2の共通部分を平面z=u （-r≦u≦r）で切断した時の断面は、
下図において、水色の正方形と緑色の扇形を合わせた部分になる。
この面積は
$\scriptsize\sf{r_3^{\ 2}+\frac{3}{4}\pi r_3^{\ 2}=\left(1+\frac{3}{4}\pi\right)\left(r^2-u^2\right)}$
なので、V1とV2の共通部分の体積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T&=\sf \int_{-r}^r\left(1+\frac{3}{4}\pi\right)\left(r^2-u^2\right)du \\ &=\sf 2\left(1+\frac{3}{4}\pi\right)\left[r^2u-\frac{1}{3}u^3\right]_0^r\\ &=\sf \underline{\left(\pi+\frac{4}{3}\right)r^3}\end{align*}}$
一方、V1の体積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \left(\frac{4}{3}\pi r^3\cdot\frac{1}{2}\right)\cdot 2+\pi r^2\cdot 1=\underline{\frac{4}{3}\pi r^3+\pi r^2} \end{align*}}$
なので、(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=3\left(\frac{4}{3}\pi r^3+\pi r^2\right)-2\left(\pi+\frac{4}{3}\right)r^3=\underline{\left(2\pi -\frac{8}{3}\right)r^3+3\pi r^2}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/04/03(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 理系 2018
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