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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018東京大 理系数学1



第1問

        $\small\sf{f\left(x\right)=\frac{x}{sinx}+cosx\ \ \ \left(0\lt x\lt\pi\right)}$
  の増減表をつくり、x→+0、x→$\small\sf{\pi}$ -0のときの極限を調べよ。
        




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  1. 2018/03/29(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 理系 2018
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2018東京大 理系数学2



第2問

  数列a1、a2、・・・を
        $\small\sf{a_n=\frac{_{2n+1}C_n}{n!}\ \ \ \left(n=1,2,\cdots\right)}$
  で定める。

 (1) n≧2とする。$\small\sf{\frac{a_n}{a_{n-1}}}$ を既約分数 $\small\sf{\frac{q_n}{p_n}}$ として表したときの分母pn>1と
    分子qnを求めよ。

 (2) anが整数となるn≧1をすべて求めよ。



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  1. 2018/03/30(金) 23:57:00|
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2018東京大 理系数学3



第3問

  放物線y=x2のうち-1≦x≦1をみたす部分をCとする。座標平面上の
  原点Oと点A(1,0)を考える。k>0を実数とする。
  点PがC上を動き、点Qが線分OA上を動くとき
        $\small\sf{\overrightarrow{\sf OR}=\frac{1}{k}\overrightarrow{\sf OP}+k\overrightarrow{\sf OQ}}$
  を満たす点Rが動く領域の面積をS(k)とする。
  S(k)および $\displaystyle\sf{\lim_{x\rightarrow +0}}$ S(k)、$\displaystyle\sf{\lim_{x\rightarrow\infty}}$ S(k)を求めよ。
        




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  1. 2018/03/31(土) 23:57:00|
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2018東京大 理系数学4



第3問

  a>0とし、
        f(x)=x3-3a2x
  とおく。次の2条件をみたす点(a,b)の動きうる範囲を求め、座標平面に
  図示せよ。
   条件1:方程式f(x)=bは相異なる3実数解をもつ。
   条件2:さらに、方程式f(x)=bの解を $\small\sf{\alpha\lt \beta\lt \gamma}$ とすると $\small\sf{\beta\gt 1}$ である。



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  1. 2018/04/01(日) 23:57:00|
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2018東京大 理系数学5



第5問

  複素数平面上の原点を中心とする半径1の円をCとする。点P(z)は
  C上にあり、点A(1)とは異なる点とする。点Pにおける円Cの接線に
  関して、点Aと対称な点をQ(u)とする。w=$\small\sf{\frac{1}{1-u}}$ とおき、wと共役な
  複素数を $\small\sf{\overline{w}}$ で表す。

 (1) uと $\small\sf{\frac{\overline{w}}{w}}$ をzについての整式として表し、絶対値の商 $\small\sf{\frac{\left|w+\overline{w}-1\right|}{\left| w\right|}}$
    を求めよ。

 (2) Cのうち実部が$\small\sf{\frac{1}{2}}$ 以下の複素数で表される部分をC’とする。
    点P(z)がC’上を動くとき、点R(w)の軌跡を求めよ。



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  1. 2018/04/02(月) 23:57:00|
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2018東京大 理系数学6



第6問

  座標空間内の4点O(0,0,0)、A(1,0,0)、B(1,1,0)、C(1,1,1)
  を考える。$\small\sf{\frac{1}{2}}$ <r<1とする。点Pが線分OA、AB、BC上を動くときに点Pを中心と
  する半径rの球(内部を含む)が通過する部分をそれぞれV1、V2、V3とする。

 (1) 平面y=tがV1、V3双方と共有点をもつようなtの範囲を与えよ。さらに、この
    範囲のtに対し、平面y=tとV1の共通部分および、平面y=tとV3の共通部分
    を同一平面上に図示せよ。

 (2) V1とV3の共通部分がV2に含まれるためのrについての条件を求めよ。

 (3) rは(2)の条件をみたすとする。V1の体積をSとし、V1とV2の共通部分の体積
    をTとする。V1、V2、V3を合わせてえられる立体Vの体積をSとTを用いて表せ。

 (4) ひきつづきrは(2)の条件をみたすとする。SとTを求め、Vの体積を決定せよ。



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  1. 2018/04/03(火) 23:57:00|
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