第問
関数f(t)=(sint-cost)sin2tを考える。
(１) x=sint-costとおくとき、f(t)をxを用いて表せ。
(２) tが0≦t≦$\small\sf{\pi}$ の範囲を動くとき、f(t)の最大値と
最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2&=\sf sin^2t-2sin t cos t+cos^2t \\ &=\sf 1-2sintcost\\ &=\sf 1-sin2t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ sin2t&=\sf 1-x^2 \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(t\right)&=\sf x\left(1-x^2\right) =\underline{-x^3+x}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x&=\sf \sqrt2 sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right) \end{align*}}$
と変形でき、
$\scriptsize\sf{0\leq t\leq \pi\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{\pi}{4}\leq t-\frac{\pi}{4}\leq\frac{3}{4}\pi}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -1\leq x\leq\sqrt2\end{align*}}$ となる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\left(x\right)=-x^3+x\ \ \ \left(-1\leq x\leq\sqrt2\right)\end{align*}}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ '\left(x\right)=-3x^2+1\end{align*}}$
なので、増減は次のようになる。
$\scriptsize\sf{g\left(-1\right)=0\ ,\ g\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)=-\frac{2}{9}\sqrt3\ ,\ g\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)=\frac{2}{9}\sqrt3\ ,\ g\left(\sqrt2\right)=-\sqrt2}$
よって、f(t)の最大値・最小値は
$\scriptsize\sf{f\left(t\right)_{max}=g\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)=\underline{\frac{2}{9}\sqrt3}}$
$\scriptsize\sf{f\left(t\right)_{min}=g\left(\sqrt2\right)=\underline{-\sqrt2}}$
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- 2018/03/17(土) 23:57:00|
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第２問
1個のさいころを3回投げる試行において、1回目に出る目をa、
2回目に出る目をb、3回目に出る目をcとする。
(１) $\small\sf{\int_a^b}$ (x-a)(x-b)dx=0である確率を求めよ。
(２) a、bが2以上かつ $\small\sf{2log_ab-2log_ac+log_bc=1}$ である確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_a^b\left(x-a\right)\left(x-b\right)dx&=\sf \int_a^b\left(x-a\right)\left\{\left(x-a\right)+a-b\right\}dx \\ &=\sf \int_a^b\left\{\left(x-a\right)^2+\left(a-b\right)\left(x-a\right)\right\}dx\\ &=\sf\left[\frac{1}{3}\left(x-a\right)^3+\frac{1}{2}\left(a-b\right)\left(x-a\right)^2\right]_a^b \\ &=\sf \frac{1}{3}\left(c-a\right)^3+\frac{1}{2}\left(a-b\right)\left(c-a\right)^2\\ &=\sf \frac{1}{6}\left(c-a\right)^2\left(a-3b+2c\right)=0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=c\ \ or\ \ a+2c=3b \end{align*}}$
・a=cとなるのは、62=36通り
・a≠cかつa+2c=3bとなるのは、
(a，b，c)=(4，2，1)、(5，3，2)、(1，3，4)、(6，4，3)、(2，4，5)、(3，5，6)
の6通り
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{36+6}{6^3}=\underline{\frac{7}{36}}\end{align*}}$
(２)
底をaにそろえると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2log_ab-2log_ac+\frac{log_ac}{log_ab}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(log_ab\right)^2-2log_ab\cdot log_ac-log_ab+log_ac=0}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(log_ab-log_ac\right)\left(2log_ab-1\right)=0}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ log_ab=log_ac\ \ or\ \ log_ab=\frac{1}{2} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ b=c\ \ or\ \ a=b^2}$
・b=cとなるのは、a≧2、b≧2より、52=25通り
・b≠cかつa=b2となるのは、
(a，b，c)=(4，2，1)、(4，2，3)、(4，2，4)、(4，2，5)、(4，2，6)
の5通り
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{25+5}{6^3}=\underline{\frac{5}{36}}\end{align*}}$
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