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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018大阪大 理系数学1



第1問

  次の問いに答えよ。

 (1) x>0の範囲で不等式
        $\small\sf{x-\frac{x^2}{2}\lt log\left(1+x\right)\lt\frac{x}{\sqrt{1+x}}}$
    が成り立つことを示せ。

 (2) xがx>0の範囲を動くとき
        $\small\sf{y=\frac{1}{log\left(1+x\right)}-\frac{1}{x}}$
    のとりうる値の範囲を求めよ。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/03/20(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2018
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2018大阪大 理系数学2



第2問

  a、bを正の実数とし、f(x)=x4-ax3+bx2-ax+1とする。

 (1) cを実数とし、f(x)がx-cで割り切れるとする。このとき、c>0であり、f(x)は
    $\small\sf{\left(x-c\right)\left(x-\frac{1}{c}\right)}$ で割り切れることを示せ。

 (2) f(x)がある実数s、t、u、vを用いて
        f(x)=(x-s)(x-t)(x-u)(x-v)
    と因数分解できるとき、a≧4が成り立つことを示せ。

 (3) a=5とする。f(x)がある実数s、t、u、vを用いて
        f(x)=(x-s)(x-t)(x-u)(x-v)
    と因数分解できるような自然数bの値をすべて求めよ。



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  1. 2018/03/21(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2018
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2018大阪大 理系数学3



第3問

  2つの関数
        $\small\sf{f\left(x\right)=2sint+cos2t\ \ ,\ \ g\left(t\right)=2cost+sin2t}$
  を用いて定義される座標平面上の曲線
        $\small\sf{C:\ x=f\left(t\right)\ \ ,\ \ y=g\left(t\right)\ \ \ \left(0\leq t\leq\frac{\pi}{2}\right)}$
  を考える。

 (1) tが0≦t≦ $\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ の範囲を動くとき、f(t)および $\small\sf{g}$ (t)の最大値を求めよ。

 (2) t1、t2を0≦t1<t2≦ $\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ かつf(t1)=f(t2)を満たす実数とする。
    このとき、$\small\sf{g}$ (t1)2- $\small\sf{g}$ (t2)>0が成り立つことを示せ。

 (3) Cと直線x=1が囲む領域の面積Sを求めよ。



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  1. 2018/03/22(木) 23:57:00|
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2018大阪大 理系数学4



第4問

  座標空間に6点
     $\small\sf{A\left(0,0,1\right),B\left(1,0,0\right),C\left(0,1,0\right),D\left(-1,0,0\right),E\left(0,-1,0\right),F\left(0,0,-1\right)}$
  を頂点とする正八面体ABCDEFがある。s、tを0<s<1、0<t<1を満たす実数とする。
  線分AB、ACを1-s:sに内分する点をP、Qとし、線分FD、FEをそれぞれ1-t:tに内分
  する点をR、Sとする。

 (1) 4点P、Q、R、Sは同一平面上にあることを示せ。

 (2) 線分PQの中点をLとし、線分RSの中点をMとする。s、tが0<s<1、0<t<1の
    範囲を動くとき、線分LMの長さの最小値mを求めよ。

 (3) 正八面体ABCDEFの4点P、Q、R、Sを通る平面による切り口の面積をXとする。
    線LMの長さが(2)の値mをとるとき、Xを最大とするようなs、tの値と、そのときの
    Xの値を求めよ。
          2018阪大02



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  1. 2018/03/23(金) 23:57:00|
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2018大阪大 理系数学5



第5問

  p、qを0<p<1、0<q<1を満たす実数とし、nを2以上の整数とする。
  2つのチームA、Bが野球の試合をn回行う。1試合目にAが勝つ確率は
  pであるとする。また、Aが勝った次の試合にAが勝つ確率はpであり、
  Bが勝った試合の次の試合にAが勝つ確率はqであるとする。なお、
  試合結果に引き分けはなく、勝敗が決まるものとする。

 (1) n試合目にAが勝つ確率anを求めよ。

 (2) n≧3とする。Bが連勝せずにちょうど2試合に勝つ確率bnを求めよ。



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  1. 2018/03/24(土) 23:57:00|
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