青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018京都大 理系数学1



第1問

  0でない実数a、b、cは次の条件(i)と(ii)を満たしながら動くものとする。
  (i) 1+c2≦2a
  (ii) 2つの放物線C1: y=ax2とC2: y=b(x-1)2+cは接している。
  ただし、2つの曲線が接するとはある共有点において共通の接線をもつ
  ことであり、その共有点を接点という。

 (1) C1とC2の接点の座標をaとcを用いて表せ。

 (2) C1とC2の接点が動く範囲を求め、その範囲を図示せよ。



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  1. 2018/03/11(日) 23:57:00|
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2018京都大 理系数学2



第2問

  n3-7n+9が素数となるような整数nをすべて求めよ。




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  1. 2018/03/12(月) 23:57:00|
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2018京都大 理系数学3



第3問

  $\small\sf{\alpha}$ は $\small\sf{0\lt\alpha\leq\frac{\pi}{2}}$ を満たす整数とし、四角形ABCDに関する次の2つの条件を考える。
   (i) 四角形ABCDは半径1の円に内接する。
   (ii) ∠ABC=∠DAB=$\small\sf{\alpha}$
  条件(i)と(ii)を満たす四角形のなかで、4辺の長さの積
      k=AB・BC・CD・DA
  が最大となるものについて、kの値を求めよ。



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  1. 2018/03/13(火) 23:57:00|
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2018京都大 理系数学4



第4問

  コインをn回投げて複素数z1、z2、・・・znを次のように定める。
  (ⅰ) 1回目に表が出ればz1=$\small\sf{\frac{-1+\sqrt3\ i}{2}}$ とし、裏が出ればz1=1とする。
  (ⅱ) k=2,3,・・・,nのとき、k回目に表が出ればzk=$\small\sf{\frac{-1+\sqrt3\ i}{2}}$ zk-1
     とし、裏が出ればzk=$\small\sf{\overline{z_{k-1}}}$ とする。ただし、=$\small\sf{\overline{z_{k-1}}}$ はzk-1の共役
     複素数である。
  このとき、zn=1となる確率を求めよ。



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  1. 2018/03/14(水) 23:57:00|
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2018京都大 理系数学5



第5問

  曲線y=logx上の点A(t,logt)における法線上に、点BをAB=1となる
  ようにとる。ただしBのx座標はtより大きいものとする。

 (1) 点Bの座標(u(t),v(t))を求めよ。また、$\small\sf{\left(\frac{du}{dt},\frac{dv}{dt}\right)}$ を求めよ。

 (2) 実数rは0<r<1を満たすとし、tがrから1まで動くときに点Aと点Bが
    描く曲線の長さをそれぞれL1(r)、L2(r)とする。このとき、極限値
        $\displaystyle\sf{\lim_{r\rightarrow +0}}$ (L1(r)-L2(r))
    を求めよ。




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  1. 2018/03/15(木) 23:57:00|
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2018京都大 理系数学6



第6問

  四面体ABCDはAC=BD、AD=BCを満たすとし、辺ABの中点をP、
  辺CDの中点をQとする。

 (1) 辺ABと線分PQは垂直であることを示せ。

 (2) 線分PQを含む平面αで四面体ABCDを切って2つの部分に分ける。
    このとき、2つの部分の体積は等しいことを示せ。



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  1. 2018/03/16(金) 23:57:00|
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