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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018立命館大学 理系(2月2日) 数学1



第1問

  曲線C: xy=1 (x>0)上の点$\small\sf{\left(t,\frac{1}{t}\right)}$ における接線の方程式はy= ア 
  である。平面上の点P(v,w)を通るCの接線が2つ存在するためにのv、wに
  関する必要十分条件は イ  である。
   Pが イ  を満たすとき2つの接線とCとの接点をそれぞれA1$\small\sf{\left(t_1,\frac{1}{t_1}\right)}$ 、
  A2$\small\sf{\left(t_2,\frac{1}{t_2}\right)}$ とおく。このとき、t1+t2、t1t2はv、wを用いて表すと、
         t1+t2= ウ  、  t1t2= エ 
  であり、|t1-t2|をv、wを用いて表すと、
         |t1-t2|= オ 
  である。
   次に、△PA1A2の面積Sをv、wを用いて カ  表せる。ここで、z=1-vw
  とおくと、Sはv、wを用いずにzのみを用いて キ  と表すことができる。
  点P(v,w)が、条件 イ  を満たし、かつ△PA1A2の面積が$\small\sf{\sqrt2}$ に等しく
  なるように動くとき、Pの軌跡は曲線w= ク  のv>0の部分である。



2018立命館大学 理系(2月2日) 数学2



第2問

  0以上の整数nに対して
        $\displaystyle\sf{T_n=\int_0^{\pi/4}\tan^nx\ dx}$
  とする。このとき、T0= ア  、T1= イ  である。また、
        Tn+Tn-2= ウ    (n=2,3,・・・)
  を満たす。(注: ウ  には積分記号を用いずに答えよ。)
  実数aを、0≦x≦$\displaystyle\sf{\frac{\pi}{4}}$ におけるすべてのxについてtanx≦axを満たす最小の
  ものとすると、a= エ  であり、$\displaystyle\sf{\lim_{n\rightarrow\infty}T_n}$ = オ  が得られる。
  以上により、
        $\displaystyle\sf{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k}=}$  カ  、 $\displaystyle\sf{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k-1}=}$  キ 
  である。




2018立命館大学 理系(2月2日) 数学3



第3問

  2018立命館02





2018立命館大学 理系(2月2日) 数学4



第4問

  2018立命館03