青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2018(2/3)

2018立命館大学　理系（2月3日）　数学１

第１問

　　logxを自然対数とする。

　(１) 正の数cに対し、x＞0で定義された関数
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf f_c\left(x\right)=\frac{\log x}{x^c}\end{align*}}$
　　　を考える。f_c(x)はx=　ア　で最大値　イ　をとり、0＜x≦　ア　で増加し、
　　　 x≧　ア　で減少する。
　　　 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}f_c\left(x\right)=\end{align*}}$ 　ウ　であり、また、f_ｃ(x)=　エ　 $\small\sf{f_{\frac{c}{2}}\left(x\right)}$ を用いると、
　　　 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}f_c\left(x\right)=\end{align*}}$ 　オ　となる。

　(２) 正の実数sに対し、t＞sかつs^t=t^sを満たすtが存在するための必要十分条件は
　　　　カ　＜s＜　キ　である。
　　　 a^b=b^aを満たす自然数a、b (a＜b)の組(a，b)は　ク　である。
　　　（注：自然対数の底eは2＜e＜3であることを用いてよい。）

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{e^{\frac{1}{c}}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\frac{1}{ce}}$　　　　ウ -∞　　　　エ $\scriptsize\sf{e^{-\frac{c}{2}}}$　　　オ 0

　　カ 1　　　　キ e　　　　ク (2，4)　

　

【解説】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_c\left(x\right)=\frac{\log x}{x^c}\end{align*}}$

　(ア)(イ)
　　　f_c(x)の導関数は　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_c'\left(x\right)=\frac{1-c\log x}{x^{c+1}}\end{align*}}$
　　　なので、f’_c(x)=0となるのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log x=\frac{1}{c}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=e^{\frac{1}{c}}\end{align*}}$
　　　のときである。この値の前後でf’_c(x)の符号は正から負へ変化するので、
　　　f_c(x)が最大になるのは $\scriptsize\sf{x=\underline{e^{\frac{1}{c}}}}$ のときであり、
　　　最大値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_c\left(x\right)_{max}=f_c'\left(e^{\frac{1}{c}}\right)=\underline{\frac{1}{ce}}\end{align*}}$　　　･･････(*)

　(ウ)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}\log x&=\sf -\infty \end{align*}}$ 、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}x^c&=\sf 0 \end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}f_c\left(x\right)&=\sf \underline{-\infty} \end{align*}}$

　(エ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_c\left(x\right)&=\sf \frac{\log x}{x^c} \\ &=\sf \frac{1}{x^{c/2}}\cdot\frac{\log x}{x^{c/2}}\\ &=\sf \underline{\frac{1}{x^{c/2}}\ f_{c/2}\left(x\right)}\end{align*}}$

　(オ)
　　　x→∞の極限を考えるので、logx＞0としてよい。
　　　(*)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{f_{c/2}\left(x\right)\leq\frac{2}{ce}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0&\lt\sf f_c\left(x\right)=\frac{1}{x^{c/2}}\ f_{c/2}\left(x\right) \leq\frac{2}{cex^{c/2}} \end{align*}}$
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2}{cex^{c/2}}&=\sf 0 \end{align*}}$
　　　なので、はさみうちの原理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}f_c\left(x\right)&=\sf \underline{0} \end{align*}}$

　(カ)(キ)
　　　s、t＞0より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s^t=t^s&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf t\log s=s\log t \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{\log s}{s}=\frac{\log t}{t}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf f_1\left(s\right)=f_1\left(t\right)\end{align*}}$
　　　ここで、y=f₁(x)のグラフは右図のようになるので、

　　　f₁(s)=f₁(t) かつ 0＜s＜tを満たすsの範囲は
　　　　　　　　1＜s＜e
　　　である。

　(ク)
　　　同様に、1＜a＜eであり、2＜e＜3なので、これを満たす自然数aは、a=2
　　　2⁴=4^２=16なので、b=4

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2018/03/02(金) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2018(2/3)

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2018立命館大学　理系（2月3日）　数学２

第２問

　(１) 正の実数tに対して複素数 $\small\sf{w=\frac{\sin t}{t}+i\frac{\cos t}{t}}$ を考える。複素数wを極形式で
　　　表すと、
　　　　　　　　w=　ア　 {cos(　イ　 )+isin(　イ　 )}
　　　である。複素数の偏角θを$\small\sf{-\pi}$ ＜θ≦$\small\sf{\pi}$ の範囲で考えると、tが$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ ≦t≦$\small\sf{\pi}$ の
　　　範囲を動くとき、θの動く範囲は
　　　　　　　　　ウ　 ≦θ≦　エ　
　　　である。この複素数wが複素数平面上で描く曲線をCとする。t=$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ のとき
　　　 w=　オ　である。ここで、　オ　の表す点における曲線Cの接線を考える。
　　　この接線は、変数sが実数全体を動くときの、、複素数
　　　　　　　z=　オ　 +　カ　 s
　　　が表す点の軌跡である。ただし、|　カ　 |=1であり、zが純虚数であるとき
　　　 sは正であるとする。

　(２) z=a+bi （a、bは実数）、$\small\sf{\overline{z}}$ とzは共役な複素数とする。複素数z、$\small\sf{\overline{z}}$ が
　　　 z²+3z$\small\sf{\overline{z}}$ +$\small\sf{\overline{z}}$ ²=5を満たすとき、a、bは関係式
　　　　　　　　a²+　ク　 b²=1
　　　を満たす。次に、原点をOとし、複素数q=1+2iが表す点をQとする。複素数
　　　 zが表す点と直線OQに関して対称となる点を表す複素数をz’とすると、c、dは
　　　関係式
　　　　　　　　　ケ　 c²+　コ　 cd+　サ　 d²=1
　　　を満たす。
　　　　（ただし、　キ　、　ク　、　ケ　、　コ　は実数である。）

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{\frac{1}{t}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\frac{\pi}{2}-t}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{-\frac{\pi}{2}}$　　　　エ 0　　　オ $\scriptsize\sf{\frac{2}{\pi}}$

　　カ $\scriptsize\sf{-\frac{2+\pi}{\sqrt{4+\pi^2}}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\frac{1}{5}}$　　　ク $\scriptsize\sf{\frac{-3+4i}{5}}$　　　ケ $\scriptsize\sf{\frac{61}{125}}$　　　　コ $\scriptsize\sf{-\frac{96}{125}}$　　　　サ $\scriptsize\sf{\frac{89}{125}}$

　

【解説】

　(ア)(イ)
　　　t＞0より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sqrt{\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2+\left(\frac{\cos t}{t}\right)^2}=\underline{\frac{1}{t}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin t&=\sf \cos\underline{\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}\ \ ,\ \ \cos t=\sin\underline{\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}\end{align*}}$

　(ウ)(エ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=\frac{\pi}{2}-t\ \ ,\ \ \frac{\pi}{2}\leq t\leq\pi\end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{-\frac{\pi}{2}\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}}\end{align*}}$

　(オ)
　　　t=$\scriptsize\sf{\frac{\pi}{2}}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{w=\frac{2}{\pi}\left(\cos 0+i\sin 0\right)=\underline{\frac{2}{\pi}}}$

　(カ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{\sin t}{t}\ \ ,\ \ y=\frac{\cos t}{t}\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dx}{dt}=\frac{t\cos t-\sin t}{t^2}\ \ ,\ \ \frac{dy}{dt}=\frac{-t\sin t-\cos t}{t^2}\end{align*}}$
　　　より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\bigg/\frac{dy}{dx}=\frac{-t\sin t-\cos t}{t\cos t-\sin t}\end{align*}}$
　　　t=$\scriptsize\sf{\frac{\pi}{2}}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{dx}=\frac{-\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}-\cos\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
　　　なので、接線の方向ベクトルは(2，$\scriptsize\sf{\pi}$ )となり、接線の方程式は実数kを用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z&=\sf \frac{2}{\pi}+k\left(2+\pi i\right)s\end{align*}}$
　　　と表せる。これが純虚数になるとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{\pi}+2ks=0\end{align*}}$
　　　であり、s＞0よりk＜0である。また、題意より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\left|k\left(2+\pi i\right)\right|^2=k^2\left(4+\pi^2\right)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ k=-\frac{1}{\sqrt{4+\pi^2}}\ (<0)}$
　　　となるので、接線の方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z&=\sf \underline{\frac{2}{\pi}-\frac{2+\pi}{\sqrt{4+\pi^2}} s}\end{align*}}$

　(キ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z^2+3z\overline{z}+\overline{z}^2=5&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(z+\overline{z}\right)^2+z\overline{z}=5 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(2a\right)^2+a^2+b^2=5\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{a^2+\frac{1}{5}b^2=1}\ \ \cdots\cdots(*)\end{align*}}$　　

　(ク)
　　　複素平面上の4点A(z)、B($\small\sf{\overline{z}}$ 、C(z’)、D(1)を考える。
　　　∠DOQ=θとすると、tanθ=2より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\theta=\frac{2}{\sqrt5}\ \ ,\ \ \cos\theta=\frac{1}{\sqrt5}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin 2\theta=2\cdot\frac{2}{\sqrt5}\cdot\frac{1}{\sqrt5}=\frac{4}{5}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos 2\theta=\left(\frac{1}{\sqrt5}\right)^2-\left(\frac{2}{\sqrt5}\right)^2=-\frac{3}{5}\end{align*}}$
　　　また、∠AOQ=∠COQ、∠AOD=∠BODより
　　　　　　　　∠BOC=2∠DOQ=2θ
　　　なので、点Cは点Bを原点O中心に2θ回転させた点である。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z'&=\sf \left(\cos\ 2\theta+i\sin 2\theta\right)\ \overline{z}=\underline{\frac{-3+4i}{5}\ \overline{z}}\end{align*}}$
　　　これより
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{z}&=\sf \frac{5}{-3+4i}\ z' =\frac{-3-4i}{5}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ a-bi=\frac{-3-4i}{5}\left(c+di\right)=\frac{-3c+4d}{5}+\frac{-4c-3d}{5}i}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{-3c+4d}{5}\ \ ,\ \ b=\frac{4c+3d}{5}}$
　　　これを(*)に代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{-3c+4d}{5}\right)^2+\frac{1}{5}\left(\frac{4c+3d}{5}\right)^2=1 \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\frac{61}{125}c^2-\frac{96}{125}cd+\frac{89}{125}d^2=1} \end{align*}}$

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2018/03/03(土) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2018(2/3)

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2018立命館大学　理系（2月3日）　数学３

第３問

　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{\frac{2v-4}{2v-3}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\frac{3v-4}{2v-3}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\frac{-3v-4}{2v+3}}$　　　　エ 17　　　オ -24

　　カ -12　　　　キ $\scriptsize\sf{\pm\sqrt2}$　　　　ク $\scriptsize\sf{17-12\sqrt2}$　　　　ケ $\scriptsize\sf{17+12\sqrt2}$　　　　コ $\scriptsize\sf{-\sqrt2}$

　

【解説】

　(ア)
　　　点P(v，w)はE上にあるので、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\frac{v^2}{2}+w^2=1}$　･･････(*)
　　　点SもE上にあるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\left\{\left(1-t\right)v+t\right\}^2}{2}+\left(1-t\right)^2w^2=1 \end{align*}}$
　　　これら2式よりwを消去して整理すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(2v-3\right)t^2-\left(2v-4\right)t=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\underline{\frac{2v-4}{2v-3}}\ \ \ \left(\because\ t\ne 0\right)\end{align*}}$
　　　このときSのx座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1-\frac{2v-4}{2v-3}\right)v+\frac{2v-4}{2v-3}=\underline{\frac{3v-4}{2v-3}} \end{align*}}$

　(ウ)
　　　線分PBをs：1-sの比に内分する点をTとすると、
　　　　　　　　T((1-s)v-s，(1-s)w)
　　　であり、これがPと異なり楕円E上にあるとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\left\{\left(1-s\right)v-s\right\}^2}{2}+\left(1-s\right)^2w^2=1 \end{align*}}$
　　　これと(*)よりwを消去して整理すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(2v+3\right)s^2-\left(2v+4\right)s=0\ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{2v+4}{2v+3}\ \ \ \left(\because\ s\ne 0\right)\end{align*}}$
　　　このときTのx座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1-\frac{2v+4}{2v+3}\right)v-\frac{2v+4}{2v+3}=\underline{\frac{-3v-4}{2v+3}} \end{align*}}$

　(エ)～(カ)
　　　点R_nのx座標をr_nとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r_n&=\sf \frac{3x_n-4}{2x_n-3} \end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_{n+1}=\frac{-3r_n-4}{2r_+3}=\frac{-3\cdot\frac{3x_n-4}{2x_n-3}-4}{2\cdot\frac{3x_n-4}{2x_n-3}+3} =\underline{\frac{17x_n-24}{-12x_n+17}}\end{align*}}$

　(キ)
　　　Eの式においてy=0のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{x^2}{2}=1 &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=\underline{\pm\sqrt2} \end{align*}}$

　(ク)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_{n+1}+\sqrt2&=\sf \frac{17x_n-24}{-12x_n+17}+\sqrt2 \\ &=\sf \frac{\left(17-12\sqrt2\right)x_n-24+17\sqrt2}{-12x_n+17}\\ &=\sf \underline{\frac{17-12\sqrt2}{-12x_n+17}\left(x_n+\sqrt2\right)}\end{align*}}$

　(ケ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_{n+1}-\sqrt2&=\sf \frac{17x_n-24}{-12x_n+17}-\sqrt2 \\ &=\sf \frac{\left(17+12\sqrt2\right)x_n-24-17\sqrt2}{-12x_n+17}\\ &=\sf \underline{\frac{17+12\sqrt2}{-12x_n+17}\left(x_n-\sqrt2\right)}\end{align*}}$

　(コ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}=\frac{x_{n+1}+\sqrt2}{x_{n+1}-\sqrt2}=\frac{17-12\sqrt2}{17+12\sqrt2}\ a_n\end{align*}}$
　　　より、数列{a_n}は等比数列をなし、その公比は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\frac{17-12\sqrt2}{17+12\sqrt2}\lt 1 \end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n+\sqrt2}{x_n-\sqrt2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\underline{-\sqrt2} \end{align*}}$

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2018/03/04(日) 23:57:00|

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2018立命館大学　理系（2月3日）　数学４

第４問

　　関数f₁(x)を
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{eqnarray}\sf f_1\left(x\right)=\begin{cases} \sf 0 &\left (\sf x\leq 0\right) \\ \sf -3-\left|6x-3\right| &\sf\left(0\lt x\lt 1\right) \\ \sf 0 &\left (\sf 1\leq x\right) \end{cases}\end{eqnarray}}$
　　とする。また、関数f₂(x)を
　　　　　　　　f₂(x)=f₁(f₁(x))
　　とし、同様に、3以上の自然数nについて関数f_n(x)を
　　　　　　　　f_n(x)=f₁(f_n-1(x))
　　とする。

　(１) 関数f₁(x)はx=　ア　において最大値　イ　をとる。また、
　　　 0＜f₁(x)＜1となるようなxの値の範囲は　ウ　で、f₂(x)=0となるような
　　　 xの値の範囲は　エ　である。f₂(x)はx=　オ　において最大値　カ　を
　　　とる。3以上の自然数nについて、f_n(x)は　キ　個の点で最大値　ク　
　　　をとる。

　(２) 座標平面上において、関数f_n(x)のグラフとx軸で囲まれた部分の面積をS_n
　　　とする。S₁=　ケ　であり、S₂=　コ　である。3以上の自然数nについて、
　　　 S_n=　サ　である。また、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\end{align*}}$ 　シ　
　　　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$　　　　イ 3　　　　ウ $\scriptsize\sf{0\lt x\lt\frac{1}{6}\ ,\ \frac{5}{6}\lt x\lt 1}$　　　　エ $\scriptsize\sf{x\leq 0\ ,\ \frac{1}{6}\leq x\leq\frac{5}{6}\ ,\ 1\leq x}$　　　

　　オ $\scriptsize\sf{\frac{1}{12},\frac{11}{12}}$　　　　カ 3　　　　キ 2^n-1　　　　ク 3　　　　ケ $\scriptsize\sf{\frac{3}{2}}$

　　コ $\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$　　　　サ $\scriptsize\sf{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-2}}$　　　　シ $\scriptsize\sf{\frac{9}{4}}$　

　

【解説】

　(ア)(イ)
　　　0＜x＜ $\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ のとき
　　　　　　　　f₁(x)=3-(-6x+3)=6x
　　　$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ ≦x＜1のとき
　　　　　　　　f₁(x)=3-(6x-3)=-6x+6
　　　よって、y=f₁(x)のグラフは右図のようになり、
　　　x= $\scriptsize\sf{\underline{\frac{1}{2}}}$ で最大値3をとる。

　(ウ)
　　　0＜f₁(x)＜1となるのは
　　　0＜x＜ $\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0<6x<1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{0\lt x\lt\frac{1}{6}}\end{align*}}$
　　　$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ ≦x＜1のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0<-6x+6<1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\frac{5}{6}\lt x\lt 1}\end{align*}}$

　(エ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_2\left(x\right)=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf f_1\left(x\right)\leq 0\ \ ,\ \ 1\leq f_1\left(x\right) \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{x\leq 0\ ,\ \frac{1}{6}\leq x\leq\frac{5}{6}\ ,\ 1\leq x}\end{align*}}$

　(オ)(カ)
　　　　0＜x＜ $\scriptsize\sf{\frac{1}{12}}$ のとき
　　　　　　　　f₂(x)=3-(-6・6x+3)=36x
　　　　$\scriptsize\sf{\frac{1}{12}}$ ≦x＜ $\scriptsize\sf{\frac{1}{6}}$ のとき
　　　　　　　　f₂(x)=3-(6・6x-3)=-36x+6
　　　　$\scriptsize\sf{\frac{5}{6}}$ ＜x＜ $\scriptsize\sf{\frac{11}{12}}$ のとき
　　　　　　　　f₂(x)=3-{6（-6x+6)-3}=36x-30
　　　　$\scriptsize\sf{\frac{11}{12}}$ ≦x＜1のとき
　　　　　　　　f₂(x)=3-{-6（-6x+6)+3}=-36x+36
　　　これらより、y=f₂(x)のグラフは右図のようになるので、
　　　x=$\scriptsize\sf{\underline{\frac{1}{12},\frac{11}{12}}}$ で最大値3をとる。

　(キ)(ク)
　　　同様に考えると、関数f_n(x)は、$\scriptsize\sf{\underline{2^{n-1}}}$ 個の点で最大値3をとる。

　(ケ)
　　　底辺1、高さ3の三角形なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{S_1=1\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=\underline{\frac{3}{2}}}$

　(コ)
　　　底辺 $\scriptsize\sf{\frac{1}{6}}$ 、高さ3の三角形が2個なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{S_2=\frac{1}{6}\cdot 3\cdot \frac{1}{2}\cdot 2=\underline{\frac{1}{2}}}$

　(サ)
　　　底辺 $\scriptsize\sf{\left(\frac{1}{6}\right)^{n-1}}$ 、高さ3の三角形が2^n-1個なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{S_n=\left(\frac{1}{6}\right)^{n-1}\cdot 3\cdot \frac{1}{2}\cdot 2^{n-1}=\underline{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-2}}}$

　(シ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}S_n&=\sf \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3}} =\underline{\frac{9}{4}} \end{align*}}$

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2018/03/05(月) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2018(2/3)

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