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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018立命館大学 理系(2月3日) 数学1



第1問

  logxを自然対数とする。

 (1) 正の数cに対し、x>0で定義された関数
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f_c\left(x\right)=\frac{\log x}{x^c}\end{align*}}$
    を考える。fc(x)はx= ア  で最大値 イ  をとり、0<x≦ ア  で増加し、
    x≧ ア  で減少する。
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}f_c\left(x\right)=\end{align*}}$  ウ  であり、また、f(x)= エ  $\small\sf{f_{\frac{c}{2}}\left(x\right)}$ を用いると、
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}f_c\left(x\right)=\end{align*}}$  オ  となる。

 (2) 正の実数sに対し、t>sかつst=tsを満たすtが存在するための必要十分条件は
     カ  <s< キ  である。
    ab=baを満たす自然数a、b (a<b)の組(a,b)は ク  である。
    (注:自然対数の底eは2<e<3であることを用いてよい。)



2018立命館大学 理系(2月3日) 数学2



第2問

 (1) 正の実数tに対して複素数 $\small\sf{w=\frac{\sin t}{t}+i\frac{\cos t}{t}}$ を考える。複素数wを極形式で
    表すと、
        w= ア  {cos( イ  )+isin( イ  )}
    である。複素数の偏角θを$\small\sf{-\pi}$ <θ≦$\small\sf{\pi}$ の範囲で考えると、tが$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ ≦t≦$\small\sf{\pi}$ の
    範囲を動くとき、θの動く範囲は
         ウ  ≦θ≦ エ 
    である。この複素数wが複素数平面上で描く曲線をCとする。t=$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ のとき
    w= オ  である。ここで、 オ  の表す点における曲線Cの接線を考える。
    この接線は、変数sが実数全体を動くときの、、複素数
       z= オ  + カ  s
    が表す点の軌跡である。ただし、| カ  |=1であり、zが純虚数であるとき
    sは正であるとする。

 (2) z=a+bi (a、bは実数)、$\small\sf{\overline{z}}$ とzは共役な複素数とする。複素数z、$\small\sf{\overline{z}}$ が
    z2+3z$\small\sf{\overline{z}}$ +$\small\sf{\overline{z}}$ 2=5を満たすとき、a、bは関係式
        a2+ ク  b2=1
    を満たす。次に、原点をOとし、複素数q=1+2iが表す点をQとする。複素数
    zが表す点と直線OQに関して対称となる点を表す複素数をz’とすると、c、dは
    関係式
         ケ  c2+ コ  cd+ サ  d2=1
    を満たす。
    (ただし、 キ  ク  ケ  コ  は実数である。)





2018立命館大学 理系(2月3日) 数学3



第3問

    2018立命館05


2018立命館大学 理系(2月3日) 数学4



第4問

  関数f1(x)を
        $\small\sf{\begin{eqnarray}\sf f_1\left(x\right)=\begin{cases} \sf 0 &\left (\sf x\leq 0\right) \\ \sf -3-\left|6x-3\right| &\sf\left(0\lt x\lt 1\right) \\ \sf 0 &\left (\sf 1\leq x\right) \end{cases}\end{eqnarray}}$
  とする。また、関数f2(x)を
        f2(x)=f1(f1(x))
  とし、同様に、3以上の自然数nについて関数fn(x)を
        fn(x)=f1(fn-1(x))
  とする。

 (1) 関数f1(x)はx= ア  において最大値 イ をとる。また、
    0<f1(x)<1となるようなxの値の範囲は ウ  で、f2(x)=0となるような
    xの値の範囲は エ  である。f2(x)はx= オ  において最大値 カ 
    とる。3以上の自然数nについて、fn(x)は キ  個の点で最大値 ク 
    をとる。

 (2) 座標平面上において、関数fn(x)のグラフとx軸で囲まれた部分の面積をSn
    とする。S1= ケ  であり、S2= コ  である。3以上の自然数nについて、
    Sn= サ  である。また、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\end{align*}}$  シ 
    である。