青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2018（2/5）

2018関西大　理系（2月5日）　数学１

第１問

　　関数f(x)=2cosx+xについて、次の問いに答えよ。

　(１) 0≦x≦πのとき、f’(x)=0を満たすxの値を求め、f(x)の増減を
　　　表に示せ。ただし、f(x)の凹凸を調べる必要はない

　(２) 0≦x≦$\small\sf{\pi}$のとき、f(x)＞0を示せ。

　(３) 定積分$\small\sf{ \int_0^{\pi}f\left(x\right)dx}$を求めよ。

　(４) 座標平面上の2直線x=0、x=πと2つの曲線y=f(x)、y=sinx+xに
　　　よって囲まれる部分の面積を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　f(x)の導関数は　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{f\ '\left(x\right)=-2\sin x+1}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(x\right)=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin x=\frac{1}{2} \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{5\pi}{6}\ \ \ \ \left(\because\ 0\leq x\leq\pi\right) \end{align*}}$
　　　よって、f(x)の増減は次のようになる。
　　　　　　
　　　ただし、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}+\sqrt3\ \ ,\ \ f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}-\sqrt3\ \ ,\ \ f\left(\pi\right)=\pi-2}$

　(２)
　　　$\scriptsize\sf{\pi}$＜3.2かつ $\scriptsize\sf{\sqrt3\gt 1}$ より
　　　　　　　　$\small\sf{\frac{5\pi}{6}-\sqrt3\lt \frac{5\times 3.2}{6}-1=\frac{7}{3}\lt 2\ \ \Rightarrow\ \ f\left(\frac{5\pi}{6}\right)\lt f\left(0\right)}$
　　　なので、0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$のとき、f(x)はx=$\scriptsize\sf{ \frac{5\pi}{6}}$ で最小となる。
　　　よって、3＜π かつ $\scriptsize\sf{\sqrt3 \lt 2}$ より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)&\geq\sf f\left(\frac{5\pi}{6}\right)\\ &=\sf \frac{5\pi}{6}-\sqrt3\\ &>\sf \frac{5\times 3}{6}-2\\ &\gt\sf 0\end{align*}}$
　　　となるので、0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$のとき、f(x)＞0が成り立つ。　　　　　

　(３)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\pi}f\left(x\right)dx&=\sf \int_0^{\pi}\left(2\cos x+x\right)dx\\ &=\sf \left[2\sin x+\frac{x^2}{2}\right]_0^{\pi}\\ &=\sf \underline{\frac{\pi^2}{2}}\end{align*}}$

　(４)
　　　2曲線の0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$における共有点のx座標をaとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{2\cos a+a=\sin a+a\ \ \Leftrightarrow\ \ \tan a=2}$
　　　0≦a≦$\scriptsize\sf{\pi}$より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sin a=\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt5}\ \ ,\ \ \cos a=\frac{1}{2}\sin a=\frac{1}{\sqrt5}}$
　　　よって、求める面積をSとおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^a\bigg\{\left(2\cos x+x\right)-\left(\sin x+x\right)\bigg\}dx+\int_a^{\pi}\bigg\{\left(\sin x+x\right)-\left(2\cos x+x\right)\bigg\}dx \\ &=\sf\bigg[2\sin x+\cos x\bigg]_0^a+\bigg[-2\sin x-\cos x\bigg]_a^{\pi} \\ &=\sf 4\sin a+2\cos a\\ &=\sf \underline{2\sqrt5}\end{align*}}$

　　例年通りです。　　

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2018/02/14(水) 23:57:00|

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2018関西大　理系（2月5日）　数学2

第２問

　　次に示す分数からなる数列{a_n} (n=1，2，3，･･･)を考える。
　　　　　　　　　$\small\sf{\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{1}{16},\ldots,\frac{15}{16},\frac{1}{32},\ldots}$
　　さらに、この数列を
　　　　　　　　　$\small\sf{\frac{1}{2}\ \bigg|\ \frac{1}{4},\frac{3}{4}\ \bigg|\ \frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8}\ \bigg|\ \frac{1}{16},\ldots,\frac{15}{16}\ \bigg|\ \frac{1}{32},\ldots}$
　　と分けて、その中で分母が2^kで、分子が1，3，5，･･･，2^k-1である
　　部分を第k群（k=1，2，3，･･･）とよぶ。このとき、次の　　　をうめよ。

　(１) 数列{a_n}の第k群の項数は　①　個である。

　(２) 数列{a_n}の第k群のL番目（L=1，2，3，･･･，　①　）の分数は
　　　　②　である。

　(３) a₁₂₇=　③　であり、 $\rm \sum_{n=1}^{127}a_n=$ 　④　である。

　(４) a₄₀₀=　⑤　である。

　(５) 不等式log₄a_n＜-5を満たす最小のnは　⑥　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　① 2^k-1　　　　② $\scriptsize\sf{\frac{2L-1}{2^{k}}}$　　　　③ $\scriptsize\sf{\frac{127}{128}}$　　　　④ $\scriptsize\sf{\frac{127}{2}}$　　　⑤ $\scriptsize\sf{ \frac{289}{512}}$

　　⑥ 1024　　　　
　

【解説】

　①
　　　分子は1以上2^k未満の奇数なので、その個数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\frac{2^{k}}{2}=\underline{2^{k-1}}}$ 個

　②
　　　分母は2^k、分子はL番目の奇数なので2L-1

　③
　　　第k群の末項は、初項から数えて　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{ 1+2+2^2+\ldots +2^{k-1}=\frac{2^k-1}{2-1}=2^k-1}$ 番目
　　　127=2⁷-1より、a₁₂₇は第7群の末項なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_{127}=\frac{2^7-1}{2^7}=\underline{\frac{127}{128}}}$

　④
　　　第k群の総和は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{ \frac{1+3+\ldots +\left(2^k-1\right)}{2^k}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 2^{k-1}\bigg\{1+\left(2^k-1\right)\bigg\}}{2^k}=2^{k-2}}$
　　　a₁₂₇は第7群の末項なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{127}a_n &=\sf\sum_{k=1}^72^{k-2}=\frac{2^{-1}\left(2^7-1\right)}{2-1}=\underline{\frac{127}{2}}\end{align*}}$

　⑤
　　　2⁸-1＜400＜2⁹-1なので、a₄₀₀は第9群に属する。
　　　第9群の初項は、(2⁸-1)+1=256より、a₂₅₆なので、
　　　a₄₀₀は、第9群の 400-256+1=145番目の項である。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{ \frac{2\cdot 145-1}{2^9}=\underline{\frac{289}{512}}}$

　⑥
　　　底4＞1より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{ \log_4a_n<-5\ \ \Leftrightarrow\ \ a_n<4^{-5}=\frac{1}{2^{10}}}$
　　　これを最初に満たす項は、$\scriptsize\sf{ \frac{1}{2^{11}}}$ なので、第11群の初項である。
　　　よって、n=2¹⁰=1024

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2018/02/15(木) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2018（2/5）

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2018関西大　理系（2月5日）　数学３

第３問

　　w=cos$\small\sf{ \frac{\pi}{18}}$ +isin$\small\sf{ \frac{\pi}{18}}$ （iは虚数単位）とする。原点をO(0)とする複素数
　　平面上に3点P(w⁹)、Q(w⁶+1)、R(w⁶-1)を考える。次の　　　をうめよ。

　(１) w⁹をu+vi （u、vは実数）で表すと、
　　　　　　　　(u，v)=　①　
　　　である。

　(２) w⁶+1の絶対値は　②　であり、0以上2π未満の偏角は　③　である。

　(３) 三角形OQRの外接円の中心をa+bi （a、bは実数）とすると、
　　　　　　　　(a，b)=　④　
　　　である。

　(４) PQ=SQ、∠PQS=$\small\sf{ \frac{2}{3}\pi}$ を満たす点Sをc+di （c、dは実数）と表すと、
　　　　　　d＜0のとき、(c，d)=　⑤　
　　　　　　d＞0のとき、(c，d)=　⑥　
　　　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　① (0，1)　　　　② $\small\sf{ \sqrt3}$　　　　③ $\small\sf{\frac{\pi}{6}}$　　　　④ $\small\sf{ \left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right)}$

　　⑤ $\small\sf{ \left(\frac{6-\sqrt3}{2},-\frac{1}{2}\right)}$　　　　⑥ $\small\sf{\left(\frac{3+\sqrt3}{2},\frac{3\sqrt3-1}{2}\right)}$
　

【解説】

　①　　　
　　　　　　　　$\small\sf{ w^9=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i}$

　②③
　　　　　　　　$\small\sf{w^6+1=\left(\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)+1}$
　　　　　　　　　　　　　$\small\sf{=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i}$
　　　　　　　　　　　　　$\small\sf{=\sqrt3\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i\right)}$
　　　　　　　　　　　　　$\small\sf{=\underline{\sqrt3\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)}}$

　④
　　　　　　　　$\small\sf{w^6-1=\left(\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)-1}$
　　　　　　　　　　　　　$\small\sf{=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i}$
　　　　　　　　　　　　　$\small\sf{=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}}$
　　　より
　　　　　　　　$\small\sf{ \angle QOR=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}}$
　　　となるので、RQは、△OQRの外接円の直径となる。
　　　よって、その中心はRQの中点と一致するので、
　　　　　　　　$\small\sf{ a+bi=\frac{\left(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\right)+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\right)}{2}=\underline{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i}}$

　⑤⑥
　　　点P、Q、Sを表す複素数をそれぞれp、q、sとすると、
　　　　　　　　$\small\sf{ PQ=SQ\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{SQ}{PQ}=\left|\frac{s-q}{p-q}\right|=1}$
　　　　　　　　$\small\sf{ \angle PQS=\frac{2\pi}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \arg\frac{s-q}{p-q}=\pm\frac{2\pi}{3}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\small\sf{ \frac{s-q}{p-q}=\cos\left(\pm\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\pm\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\left(-1\pm\sqrt3\ i\right)}$
　　　　$\small\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ s=q+\frac{1}{2}\left(-1\pm\sqrt3\ i\right)\left(p-q\right)}$
　　　　　　　　　　$\small\sf{=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i+\frac{1}{2}\left(-1\pm\sqrt3\ i\right)\left\{i-\left(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\right\}}$
　　　　　　　　　　$\small\sf{=\underline{\frac{6-\sqrt3}{2}-\frac{1}{2}i\ ,\ \frac{3+\sqrt3}{2}+\frac{3\sqrt3-1}{2}i}}$

　　⑤⑥の計算が面倒です。　　

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2018/02/16(金) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2018（2/5）

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2018関西大　理系（2月5日）　数学４

第４問

　　次の　　　をうめよ。

　(１) さいころを2回投げて出た目の数を順にm、nとする。xの2次方程式
　　　 x²-2mx+n=0の2つの解をα、βとするとき、α+β+αβ=10となる
　　　確率は　①　であり、α、βがともに実数となる確率は　②　である。

　(２) OA=4、OB=2である三角形OABにおいて、$\small\sf{ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}}$ =4とする。
　　　辺ABを2：3に内分する点をCとすると、$\small\sf{ \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf BA}}$ の値は　③　である。
　　　また、点Bを通り直線OCに垂直な直線と直線OAとの交点をDとし、
　　　 $\small\sf{\overrightarrow{\sf OD}=k\overrightarrow{\sf OA}}$ を満たす実数をkとする。このとき、k=　④　である。

　(３) 方程式61x+19y=1を満たす整数x、yの組のうち、xが2桁の自然数で
　　　最も小さいものは(x，y)=　⑤　である。

　(４) O(0，0)を原点とする座標平面を考える。このとき、定点(2，0)と直線
　　　 x=-2から等距離にある点(x，y)の軌跡Cを表す方程式は　⑥　 +x=0
　　　である。また、点(-2，0)を通るCの接線の傾きは　⑦　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　① $\scriptsize\sf{ \frac{1}{12}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\frac{29}{36}}$　　　　③ $\scriptsize\sf{\frac{36}{5}}$　　　　④ $\scriptsize\sf{\frac{5}{14}}$　　　　⑤ (24，-77)

　　⑥ $\scriptsize\sf{ -\frac{y^2}{8}}$　　　　⑦ ±1　　　
　

【解説】

　①
　　　解と係数の関係より、α+β=2m、 αβ=nなので、
　　　　　　　　α+β+αβ=2m+n=10
　　　これを満たすのは、
　　　　　　　　(m，n)=(2，6)、(3，4)、(4，2)
　　　の3組なので、求める確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\frac{3}{6^2}=\underline{\frac{1}{12}}}$

　②
　　　判別式を考えると、
　　　　　　　　D/4=m²-n≧0
　　　これを満たさないのは、
　　　　　　　　(m，n)=(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(1，6)、
　　　　　　　　　　　　　(2，5)、(2，6)
　　　の7組なので、求める確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{ 1-\frac{7}{6^2}=\underline{\frac{29}{36}}}$

　③
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{ \overrightarrow{\sf OC}=\frac{3\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}}{5}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{ \begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf BA}&=\sf \frac{3\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}}{5}\cdot\left(\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\right) \\ &=\sf \frac{1}{5}\left(3|\overrightarrow{\sf a}|^2-\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+2|\overrightarrow{\sf b}|^2\right)\\ &=\sf \underline{\frac{36}{5}}\end{align*}}$

　④
　　　OC⊥BDより
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf BD}\cdot\overrightarrow{\sf OC}&=\sf \left(k\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\right)\cdot\frac{3\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}}{5} \\ &=\sf \frac{1}{5}\left(3k|\overrightarrow{\sf a}|^2-3\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+2k\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-2|\overrightarrow{\sf b}|^2\right)\\ &=\sf \frac{1}{5}\left(48k-12+8k-8\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{ \ \ \Leftrightarrow\ \ k=\underline{\frac{5}{14}}}$

　⑤
　　　61=19・3+4　⇔　4=61-19・3
　　　19=4・5-1　 ⇔　 1=4・5-19=5・(61-19・3)-19
　　　　　　　　　　 ⇔　 61・5-19・16=1
　　　これと、61x+19y=1の辺々の差をとると、
　　　　　　　　61(x-5)+19(y+16)=0
　　　61と19は互いに素なので、x-5は19の倍数となり、
　　　整数kを用いて
　　　　　　　　x-5=19k　 ⇔　 x=5+19k
　　　と表せる。これを満たす2桁の自然数xで最小のものは
　　　　　　　　x=24
　　　このとき、
　　　　　　　　61・24+19y=1　 ⇔　 y=-77

　⑥
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\left(x-2\right)^2+y^2=\left|x+2\right|^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{-\frac{y^2}{8}+x+=0}}$

　⑦
　　　接線をy=m(x+2)とおいて、2式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{-\frac{m^2\left(x+2\right)^2}{8}+x+=0\ \ \Leftrightarrow\ \ m^2x^2+\left(4m^2-8\right)x+4m^2=0}$
　　　これが重解をもてばよいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{ D/4=\left(2m^2-4\right)^2-4m^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ m=\underline{\pm 1}}$

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2018/02/17(土) 23:57:00|

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