第３問
0でない複素数z=x+yiについて、次の問いに答えよ。
ここでxはzの実部、yはzの虚部であり、iは虚数単位である。
(１) $\small\sf{ z+\frac{4}{z}}$ の実部と虚部をx、yを用いて表せ。
(２) xが0以外の実数全体を動くとき、$\small\sf{ x+\frac{4}{x}}$ がとりうる値の範囲を求めよ。
(３) $\small\sf{ z+\frac{4}{z}}$ が実数で、さらに不等式 $\small\sf{ 2\leq z+\frac{4}{z}\leq 5}$ を満たすとき、点(x，y)
が存在する範囲をxy平面上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\small\sf{ w=z+\frac{4}{z}}$ とおく。
(１)
$\small\sf{ w= \left(x+yi\right)+\frac{4}{x+yi}}$
$\small\sf{ = x+yi+\frac{4\left(x-yi\right)}{x^2+y^2}}$
$\small\sf{ = \frac{x\left(x^2+y^2+4\right)}{x^2+y^2}+\frac{y\left(x^2+y^2-4\right)}{x^2+y^2}\ i}$
なので、wの実部および虚部は
$\small\sf{ Re\left(w\right)=\underline{\frac{x\left(x^2+y^2+4\right)}{x^2+y^2}}\ \ ,\ \ Im\left(w\right)=\underline{\frac{y\left(x^2+y^2-4\right)}{x^2+y^2}}}$
(２)
x＞0のとき、相加・相乗平均の関係より
$\small\sf{ x+\frac{4}{x}\geq2\sqrt{x\cdot \frac{4}{x}}=4}$
x＜0のとき、相加・相乗平均の関係より
$\small\sf{ \left(-x\right)+\frac{4}{-x}\geq2\sqrt{-x\cdot \frac{4}{-x}}=4\ \ \Leftrightarrow\ \ x+\frac{4}{x}\leq -4}$
以上より、
$\small\sf{ \underline{x+\frac{4}{x}\leq-4\ \ ,\ \ 4\leq x+\frac{4}{x}}}$
(３)
wが実数のとき
$\small\sf{ Im\left(w\right)=\frac{y\left(x^2+y^2-4\right)}{x^2+y^2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y=0\ \ or\ \ x^2+y^2=4}$
(ⅰ) y=0のとき
$\small\sf{ w=x+\frac{4}{x}}$
であり、2≦wは、(２)よりx＞0のときに成り立つ。このとき、
$\small\sf{ w=x+\frac{4}{x}\leq 5\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-5x+4\leq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leq x\leq 4}$
(ⅱ) x2+y2=4のときw=2xなので、
$\small\sf{ 2\leq 2x\leq 5\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leq x\leq\frac{5}{2}}$
これらを図示すると下図の青線部分になる。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/02/20(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2018（2/2）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第４問
次の をうめよ。
(１) 不等式 $\small\sf{ \sqrt{\sin^2x+\frac{1}{2}}< \cos x\ \ \left(0\leq x<2\pi\right)}$ を満たすxの値の範囲は
① である。
(２) $\small\sf{\cos x\cos\left(\pi-x\right)=\sin 2 x\ ,\ \ -\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}}$ が成り立つとき、sinx= ②
である。
(３) 空間内の2点A(0，0，1)とB $\small\sf{\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt2}\right)}$ を通る直線とxy平面との
交点の座標は( ③ ， ③ ，0)である。
(４) さいころを3回投げ、出る目を順にa1，a2，a3とする。このとき、
a1-a2≧2かつa2-a3≧1となる確率は ④ である。
(５) $\small\sf{ \frac{1}{m}-\frac{1}{2n}= \frac{1}{10}}$ を満たす自然数の組(m，n)をすべて求めると、 ④
である。
※ (３)の の設定を変更しています。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
① $\scriptsize\sf{ 0 \leq x\lt \frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{11}{6}\pi\lt x\lt 2\pi}$ ② $\scriptsize\sf{\pm1 \ ,\ -\frac{1}{\sqrt5}}$ ③ $\scriptsize\sf{ \frac{1}{2 -\sqrt2}}$
④ $\scriptsize\sf{\frac{5}{108}}$ ⑤ (9，45)、(8，20)、(5，5)
【解説】
(１)
まず、cosx＞0 である必要がある。このとき、両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin^2x+\frac{1}{2}\lt\cos^2x&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 1-\cos^2x+\frac{1}{2}\lt\cos^2 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \cos^2x\gt\frac{3}{4}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{\sqrt3}{2}\lt\cos x\leq 1\ \ \ \ \left(\because\ \cos x\gt 0\right) \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{ \underline{0\leq xlt\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{11}{6}\pi\lt x\lt 2\pi}}$
(２)
倍角公式より、与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos x\cdot\left(-\cos x\right)=2\sin x\cos x&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \cos x\left(2\sin x+\cos x\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \cos x=0\ \ \ or\ \ \ 2\sin x+\cos x=0 \end{align*}}$
cosx=0のとき、sinx=±1
cosx≠0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin^2x+\cos^2x=1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(-\frac{1}{2}\cos x\right)^2+\cos^2x=1\\&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \cos^2x=\frac{4}{5}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \cos x=\frac{2}{\sqrt5}\ \ \ \left(\because\ -\frac{\pi}{2}\lt x\lt\frac{\pi}{2}\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin x=-\frac{1}{\sqrt5} \end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{ \sin x=\underline{\pm1\ ,\ -\frac{1}{\sqrt5}}}$
(３)
求める点をP(x，y，0)とおくと、A、B、Pは一直線上にあるので、
実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf AP}=k\overrightarrow{\sf AB}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x,y,-1\right)=k\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt2}-1\right)}$
成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{ -1=\left(\frac{1}{\sqrt2}-1\right)k\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{2}{2-\sqrt2}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{ x=y=\frac{1}{2}k=\underline{\frac{1}{2 -\sqrt2}}}$
(４)
題意を満たすようなa1、a2、a3の組は
a3=1、a2=2のとき、a1=4，5，6
a3=1、a2=3のとき、a1=5，6
a3=1、a2=4のとき、a1=6
a3=2、a2=3のとき、a1=5，6
a3=2、a2=4のとき、a1=6
a3=3、a2=4のとき、a1=6
の10通りあるので、求める確率は
$\scriptsize\sf{ \frac{10}{6^3} =\underline{\frac{5}{108}}}$
(５)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{m}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{10}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 10n-5m=mn \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(m-10\right) \left(n+5\right)=-50\end{align*}}$
m、nは自然数なので、n+5≧6
よって、これを満たすm、nの組は
(m-10，n+5)=(-1，50)、(-2，25)、(-5，10)
⇔ (m，n)=(9，45)、(8，20)、(5，5)
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/02/21(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2018（2/2）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
