第３問
$\small\sf{\theta}$ を媒介変数として
$\small\sf{\begin{align*}\sf x=(1-\cos\theta)\cos\theta\ ,\ \ y=(1-\cos\theta)\sin\theta\ \ \ \left(0\lt \theta\lt 2\pi\right)\end{align*}}$
で表される曲線Cを考える。次の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\theta}$ の関数 $\small\sf{\begin{align*}\sf x=(1-\cos\theta)\cos\theta\end{align*}}$ の導関数を求めよ。
(２) $\small\sf{\theta}$ の関数 $\small\sf{\begin{align*}\sf y=(1-\cos\theta)\sin\theta\ \ \ \left(0\lt \theta\lt 2\pi\right)\end{align*}}$ の極値を求めよ。
(３) 曲線C全体の長さLを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dx}{d\theta}&=\sf \sin\theta\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot(-\sin\theta) \\ &=\sf2\sin\theta\cos\theta-\sin\theta \\ &=\sf \underline{\sin 2\theta-\sin\theta}\end{align*}}$
(２)
yの導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{d\theta}&=\sf \sin^2\theta+(1-\cos\theta)\cos\theta \\ &=\sf -2\cos^2\theta+\cos\theta+1\ \ \ \ \left(\because\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\right)\\ &=\sf -(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)\end{align*}}$
となるので、yの増減は次のようになる。
よってyは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=\frac{2}{3}\pi\end{align*}}$ のとき極大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\underline{\frac{3\sqrt3}{4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=-\frac{2}{3}\pi\end{align*}}$ のとき極小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\underline{-\frac{3\sqrt3}{4}}\end{align*}}$
をとる。
(３)
cosの倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{d\theta}=-\cos2\theta+\cos\theta\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf\int_0^{2\pi}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}d\theta \\ &=\sf\int_0^{2\pi}\sqrt{\left(\sin2\theta-\sin\theta\right)^2+\left(-\cos2\theta+\cos\theta\right)^2}d\theta\\ &=\sf\int_0^{2\pi}\sqrt{2-2\left(\cos2\theta\cos\theta+\sin2\theta\sin\theta\right)}d\theta \\ &=\sf\sqrt2\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos\theta}d\theta\\ &=\sf\sqrt2\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\frac{\theta}{2}}d\theta\\ &=\sf 2\int_0^{2\pi}\sin\frac{\theta}{2}d\theta\\ &=\sf 4\left[-\cos\frac{\theta}{2}\right]_0^{2\pi}\\ &=\sf \underline{8}\end{align*}}$
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- 2018/08/28(火) 23:57:00|
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第４問
次の をうめよ。
(１) 数列{an}が$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2}{a_n}+1 \end{align*}}$ （n=1，2，3，･･･） で定義されているとき、
一般項はan= ① である。
(２) 複素数$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta\ ,\ \gamma}$ がxについての恒等式$\small\sf{(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3+x+1}$ を満たす
とき、 $\small\sf{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}$ の値は ② である。
(３) 1辺の長さが1の正方形OABCにおいて辺CBを2：1に内分する点をDとする。
∠AODの二等分線に関して点Aと対称な点をPとする。このとき、$\small\sf{\overrightarrow{\sf OP}}$ は$\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf OB}}$
を用いて$\small\sf{\overrightarrow{\sf OP}=}$ ③ $\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}+}$ ④ $\small\sf{\overrightarrow{\sf OB}}$ と表される。
(４) 1から7までの番号をつけた7枚のカードから4枚を取り出す。取り出した4枚の
カードの番号の中で2番目に大きなものをA、取り出さなかった3枚のカードの番号
の中で最も大きなものをBとしたとき、B＞Aとなる確率は ⑤ である。
(５) 実数x、yが$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\end{align*}}$ を満たしながら変化するとき、$\small\sf{\left(x-1\right)^2+4\left(y-1\right)}$ の
最大値は ⑥ であり、最小値は ⑦ である。
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【解答】
① $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2^n-1}\end{align*}}$ ② $\scriptsize\sf{-3}$ ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{\sqrt{10}}\end{align*}}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{3}{\sqrt{10}}\end{align*}}$ ⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{5}{7}\end{align*}}$
⑥ $\scriptsize\sf{21+8\sqrt5}$ ⑦ $\scriptsize\sf{21-8\sqrt5}$
【解説】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n=\frac{1}{a_n}\end{align*}}$ とおくと、$\scriptsize\sf{b_1=1}$ であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_{n+1}=2b_n+1\ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}+1=2\left(b_n+1\right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列$\scriptsize\sf{\{b_n+1\}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n+1=2^{n-1}(b_1+1)\ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=2^n-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n=\frac{1}{b_n}=\underline{\frac{1}{2^n-1}}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma}$
係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\alpha+\beta+\gamma=0}$
$\scriptsize\sf{\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=1}$
$\scriptsize\sf{\alpha\beta\gamma=-1}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha^3+\beta^3+\gamma^3&=\sf (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma \\ &=\sf 3\alpha\beta\gamma\\ &=\sf \underline{-3}\end{align*}}$
(３)
Pは直線OD上にあり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OP=1\ ,\ \ OD=\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}{3}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}&=\sf \frac{3}{\sqrt{10}}\overrightarrow{\sf OD} \\ &=\sf \frac{3}{\sqrt{10}}\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}\right)\\ &=\sf \underline{\frac{1}{\sqrt{10}}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{3}{\sqrt{10}}\overrightarrow{\sf OB}}\end{align*}}$
(４)
カードの取り出し方の総数は7C4=35通り。
このうち、A＞Bとなるのは、6と7のカードを両方とも取り出すときなので、
残り2枚のカードの取り出し方を考えると、5C2=10通り。
よって、A＜Bとなる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{10}{35}=\underline{\frac{5}{7}}\end{align*}}$
(５)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\end{align*}}$ を満たすx、yは、媒介変数$\scriptsize\sf{\theta}$ を用いて
$\scriptsize\sf{x=4\cos\theta\ ,\ \ y=2\sin\theta}$
と表すことができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (x-1)^2+4(y-1)^2&=\sf (4\cos\theta-1)^2+4(2\sin\theta-1)^2 \\ &=\sf 16\cos^2\theta-8\cos\theta+1+16\sin^2\theta-16\sin\theta+4\\ &=\sf -16\sin\theta-8\cos\theta+21\\ &=\sf 8\sqrt5\ \sin(\theta+\alpha)+21\end{align*}}$
（ただし、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sin\alpha=-\frac{1}{\sqrt5}\ ,\ \ \cos\alpha=-\frac{2}{\sqrt5}\end{align*}}$ を満たす）
ここで、
$\scriptsize\sf{-1\leq\sin(\theta+\alpha)\leq 1}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{21-8\sqrt5\leq (x-1)^2+4(y-1)^2\leq 21+8\sqrt5}\end{align*}}$
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- 2018/08/29(水) 23:57:00|
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