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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2004大阪大 理系数学1



第1問

  nを自然数とする。

 (1) n個の複素数$\small\sf{\sf z_k\ \ (k=1,2,\cdots ,n)}$ が
        $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq arg z_k\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
    をみたすならば、不等式
        $\small\sf{|z_1|^2+|z_2|^2+\cdots +|z_n|^2\leqq |z_1+z_2+\cdots+z_n|^2}$
    が成り立つことを示せ。
 (2) n個の実数$\small\sf{\theta_k\ \ (k=1,2,\cdots ,n)}$が
        $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq \theta_k\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ かつ $\small\sf{\sf \cos\theta_1+\cos\theta_2+\cdots +\cos\theta_n=1}$
    を満たすならば、不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{n-1}\leqq\sin\theta_1+\sin\theta_2+\cdots +\sin\theta_n\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。


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  1. 2012/02/15(水) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2004
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2004大阪大 理系数学1(改題)



第1問

  nを自然数とする。

 (1) xy平面上の$\small\sf{\sf x\geqq 0\ ,\ y\geqq 0}$ の領域にn個の点$\small\sf{\sf A_k\ \ (k=1,2,\cdots ,n)}$ がある。
    このとき、不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA_1}|^2+|\overrightarrow{\sf OA_2}|^2+\ \ldots\ + |\overrightarrow{\sf OA_n}|^2\ \leqq\ |\overrightarrow{\sf OA_1}+\overrightarrow{\sf OA_2}+\ \ldots\ +\overrightarrow{\sf OA_n}|^2\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。
 (2) n個の実数$\small\sf{\theta_k\ \ (k=1,2,\cdots ,n)}$ が
        $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq \theta_k\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ かつ $\small\sf{\sf \cos\theta_1+\cos\theta_2+\cdots +\cos\theta_n=1}$
    を満たすならば、不等式
        $\small\sf{\sf \sqrt{n-1}\leqq\sin\theta_1+\sin\theta_2+\cdots +\sin\theta_n}$
    が成り立つことを示せ。


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  1. 2012/02/15(水) 23:57:00|
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2004大阪大 理系数学2



第2問

  素数p、qに対して、an=pn-4(-q)n (n=1,2,3,・・・・)によって整数an
  を定める。ただし、p>2qとする。

 (1) a1とa2が1より大きい公約数mをもつならば、m=3であることを示せ。

 (2) anがすべて3の倍数であるようなp、qのうちで積pqが最小となるものを
    求めよ。




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  1. 2012/02/16(木) 23:57:00|
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2004大阪大 理系数学3



第3問

  nを3以上の自然数とする。点Oを中心とする半径1の円において、
  円周をn等分する点P0、P1、・・・・、Pn-1を時計回りにとる。
  各i=1,2,・・・,nに対して、直線OPi-1、OPiとそれぞれ点Pi-1
  Piで接するような放物線をCiとする。ただし、Pn=P0とする。放物線
  C1、C2、・・・、Cnによって囲まれる部分の面積をSnとするとき、
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n\end{align*}}$ を求めよ。


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  1. 2012/02/17(金) 23:57:00|
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2004大阪大 理系数学4(1)(2)




第4問

  実数a、rに対し数列{xn}を
     $\small\sf{\sf x_1=a\ ,\ \ x_{n+1}=rx_n(1-x_n)\ \ (n=1,2,3,\cdots)}$
  で定める。

 (1) すべてのnについて$\small\sf{\sf x_n=a}$ となるようなaを求めよ。

 (2) $\small\sf{\sf x_2\ne a\ ,\ x_3=a}$ となるようなaの個数を求めよ。

 (3) $\small\sf{\sf 0\leqq a\leqq 1}$ となるすべてのaについて$\small\sf{\sf 0\leqq x_n\leqq 1\ \ (n=2,3,4,\cdots)}$ が
    成り立つようなrの範囲を求めよ。



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  1. 2012/02/18(土) 23:54:00|
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2004大阪大 理系数学4(3)




第4問

  実数a、rに対し数列{xn}を
     $\small\sf{\sf x_1=a\ ,\ \ x_{n+1}=rx_n(1-x_n)\ \ (n=1,2,3,\cdots)}$
  で定める。

 (1) すべてのnについて$\small\sf{\sf x_n=a}$ となるようなaを求めよ。

 (2) $\small\sf{\sf x_2\ne a\ ,\ x_3=a}$ となるようなaの個数を求めよ。

 (3) $\small\sf{\sf 0\leqq a\leqq 1}$ となるすべてのaについて$\small\sf{\sf 0\leqq x_n\leqq 1\ \ (n=2,3,4,\cdots)}$ が
    成り立つようなrの範囲を求めよ。



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  1. 2012/02/18(土) 23:57:00|
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2004大阪大 理系数学5



第5問

  座標平面上に直線$\small\sf{\begin{align*}\sf L:\ x\sin\theta+y\cos\theta=1\ \ \left(0\lt \theta\lt\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ がある。
  不等式$\small\sf{\sf x\geqq 0\ ,\ y\geqq 0\ ,\ x\sin\theta+y\cos\theta\geqq 1}$ が表す領域をD、
  不等式$\small\sf{\sf x\geqq 0\ ,\ y\geqq 0\ ,\ x\sin\theta+y\cos\theta\leqq 1}$ が表す領域をD’とする。
  D内に半径Rの2つの円C1、C2を、C1はLとy軸に接し、C2はLとx軸に接し、
  さらにC1とC2が外接するようにとる。
  またD’内に半径rの2つの円C’1、C’2を、C’1はLとy軸に接し、C’2
  Lとx軸に接し、さらにC’1とC’2が外接するようにとる。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{R}\end{align*}}$ を$\small\sf{\theta}$ で表せ。

 (2) $\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt \theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲を動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{R}\end{align*}}$ のとりうる値の範囲を求めよ。




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  1. 2012/02/19(日) 23:57:00|
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