青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2004大阪大 理系数学1

今日から、中学生は定期対策授業スタートです。
いまから2週間、毎日授業ですが頑張ってください!!



第1問

  nを自然数とする。

 (1) n個の複素数zk (k=1,2,・・・,n)が
        0≦arg zkπ/2
    をみたすならば、不等式
        |z1|2+|z2|2+・・・・+|zn|2≦|z1+z2+・・・・+zn|2
    が成り立つことを示せ。
 (2) n個の実数θk (k=1,2,・・・・,n)が
        0≦θkπ/2 かつ cosθ1+cosθ2+・・・・+cosθn=1
    を満たすならば、不等式
         ≦ sinθ1+sinθ2+・・・・+sinθn
    が成り立つことを示せ。


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  1. 2012/02/15(水) 23:54:00|
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2004大阪大 理系数学1(改題)

2004年の第1問は、旧課程内容の問題ですので、新課程用に問題を書き換えてみました。
実質的には同じ問題ですので、こっちを解いてみてください。




第1問

  nを自然数とする。

 (1) xy平面上のx≧0、y≧0の領域にn個の点Ak (k=1,2,・・・,n)がある。
    このとき、不等式
        
    が成り立つことを示せ。
 (2) n個の実数θk (k=1,2,・・・・,n)が
        0≦θkπ/2 かつ cosθ1+cosθ2+・・・・+cosθn=1
    を満たすならば、不等式
         ≦sinθ1+sinθ2+・・・・+sinθn
    が成り立つことを示せ。


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  1. 2012/02/15(水) 23:57:00|
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2004大阪大 理系数学2



第2問

  素数p、qに対して、an=pn-4(-q)n (n=1,2,3,・・・・)によって整数an
  を定める。ただし、p>2qとする。

 (1) a1とa2が1より大きい公約数mをもつならば、m=3であることを示せ。

 (2) anがすべて3の倍数であるようなp、qのうちで積pqが最小となるものを
    求めよ。




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  1. 2012/02/16(木) 23:57:00|
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2004大阪大 理系数学3

今日は、塾のホームページを更新しました。
なんとも久しぶりの更新なんですが・・・・
http://www.aozemi.com/



第3問

  nを3以上の自然数とする。点Oを中心とする半径1の円において、
  円周をn等分する点P0、P1、・・・・、Pn-1を時計回りにとる。
  各i=1,2,・・・,nに対して、直線OPi-1、OPiとそれぞれ点Pi-1
  Piで接するような放物線をCiとする。ただし、Pn=P0とする。放物線
  C1、C2、・・・、Cnによって囲まれる部分の面積をSnとするとき、
   を求めよ。


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  1. 2012/02/17(金) 23:57:00|
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2004大阪大 理系数学4(1)(2)

いやぁ、今日は疲れました・・・・・




第4問

  実数a、rに対し数列{xn}を
     x1=a 、 xn+1=rxn(1-xn)  (n=1,2,3、・・・)
  で定める。

 (1) すべてのnについてxn=aとなるようなaを求めよ。

 (2) x2≠a 、x3=aとなるようなaの個数を求めよ。

 (3) 0≦a≦1となるすべてのaについて0≦xn≦1 (n=2,3,4,・・・) が
    成り立つようなrの範囲を求めよ。



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  1. 2012/02/18(土) 23:54:00|
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2004大阪大 理系数学4(3)



第4問

  実数a、rに対し数列{xn}を
     x1=a 、 xn+1=rxn(1-xn)  (n=1,2,3、・・・)
  で定める。

 (1) すべてのnについてxn=aとなるようなaを求めよ。

 (2) x2≠a 、x3=aとなるようなaの個数を求めよ。

 (3) 0≦a≦1となるすべてのaについて0≦xn≦1 (n=2,3,4,・・・) が
    成り立つようなrの範囲を求めよ。



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  1. 2012/02/18(土) 23:57:00|
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2004大阪大 理系数学5



第5問

  座標平面上に直線L: xsinθ+ycosθ=1 (0<θπ/2)がある。
  不等式x≧0、y≧0、xsinθ+ycosθ≧1が表す領域をD、
  不等式x≧0、y≧0、xsinθ+ycosθ≦1 が表す領域をD’とする。
  D内に半径Rの2つの円C1、C2を、C1はLとy軸に接し、C2はLとx軸に接し、
  さらにC1とC2が外接するようにとる。
  またD’内に半径rの2つの円C’1、C’2を、C’1はLとy軸に接し、C’2
  Lとx軸に接し、さらにC’1とC’2が外接するようにとる。

 (1) θで表せ。

 (2) θが0<θπ/2の範囲を動くとき、 のとりうる値の範囲を求めよ。




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  1. 2012/02/19(日) 23:57:00|
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