第1問
nを自然数とする。
(1) n個の複素数$\small\sf{\sf z_k\ \ (k=1,2,\cdots ,n)}$ が
$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq arg z_k\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
をみたすならば、不等式
$\small\sf{|z_1|^2+|z_2|^2+\cdots +|z_n|^2\leqq |z_1+z_2+\cdots+z_n|^2}$
が成り立つことを示せ。
(2) n個の実数$\small\sf{\theta_k\ \ (k=1,2,\cdots ,n)}$が
$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq \theta_k\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ かつ $\small\sf{\sf \cos\theta_1+\cos\theta_2+\cdots +\cos\theta_n=1}$
を満たすならば、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{n-1}\leqq\sin\theta_1+\sin\theta_2+\cdots +\sin\theta_n\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
不等式
$\scriptsize\sf{\sf |z<_1|^2+|z_2|^2+\cdots +|z_2|^2\geqq |z_1+z_2+\cdots +z_n|^2}$ ････(※)
を数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のとき
左辺=右辺=$\scriptsize\sf{\sf |z_1|^2}$ となり、(※)は成立。
(ⅱ) n=kのとき(※)が成立すると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\sf |z_1|^2+|z_2|^2+\cdots +|z_k|^2\geqq |z_1+z_2+\cdots +z_k|^2}$ ････①
n=k+1のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ z_1+\ \ldots\ +z_k+z_{k+1}|^2-\left(|z_1|^2+\ \ldots\ +|z_k|^2+|z_{k+1}|^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( z_1+\ \ldots\ +z_k+z_{k+1}\right)\left( \overline{z_1+\ \ldots\ +z_k}+\overline{z_{k+1}}\right)-\left(|z_1|^2+\ \ldots\ +|z_k|^2+|z_{k+1}|^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\ z_1+\ \ldots\ +z_k|^2+|z_{k+1}|^2+\left(z_1+\ \ldots\ +z_k\right)\overline{z_{k+1}}+\left(\overline{z_1+\ \ldots\ +z_k}\right)z_{k+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(|z_1|^2+\ \ldots\ +|z_k|^2+|z_{k+1}|^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq \left(z_1+\ \ldots\ +z_k\right)\overline{z_{k+1}}+\left(\overline{z_1+\ \ldots\ +z_k}\right)z_{k+1}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(z_1\ \overline{z_{k+1}}+\overline{z_1}\ z_{k+1}\right)+\left(z_2\ \overline{z_{k+1}}+\overline{z_2}\ z_{k+1}\right)\ \ldots\ +\left(z_k\ \overline{z_{k+1}}+\overline{z_k}\ z_{k+1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{m=1}^k\ \left(z_m\ \overline{z_{k+1}}+\overline{z_m}\ z_{k+1}\right)\end{align*}}$ ････②
ここで、
$\scriptsize\sf{\sf z_m=r_m(\cos\theta_m+ｉ\sin\theta_m) }$
$\scriptsize\sf{\sf z_{k+1}=r_{k+1}(\cos\theta_{k+1}+ｉ\sin\theta_{k+1})}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z_m\ \overline{z_{k+1}}+\overline{z_m}\ z_{k+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\sf =r_mr_{k+1}(\cos\theta_m+ｉ\sin\theta_m)(\cos\theta_{k+1}-ｉ\sin\theta_{k+1})}$
$\scriptsize\sf{\sf +_mr_{k+1}(\cos\theta_m-ｉ\sin\theta_m)(\cos\theta_{k+1}+ｉsin\theta_{k+1})}$
$\scriptsize\sf{\sf =2r_mr_{k+1}(\cos\theta_m\cos\theta_{k+1}+\sin\theta_m\sin\theta_{k+1})}$
$\scriptsize\sf{\sf =2r_mr_{k+1}\cos(\theta_m-\theta_{k+1})}$
となり、$\scriptsize\sf{\sf \begin{align*}\sf 0\leqq \theta_m\leqq \frac{\pi}{2}\ ,\ \ 0\leqq \theta_{k+1}\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\sf \begin{align*}\sf -\frac{\pi}{2}\leqq\theta_{m}-\theta_{k+1}\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
よって、②≧0となり、n=k+1のときも(※)は成立する。
以上より、任意の自然数nに対して(※)は成立する。
(1)は、単なる三角不等式なんですけどね。
(2)
自然数 k=1，2，･･･，n に対して複素数zkを
$\scriptsize\sf{\sf z_k=\cos\theta_k+ｉ\sin\theta_k}$
とおくと、任意のkに対して、
$\scriptsize\sf{\sf |z_k|^2=\cos^2\theta_k+ｉ\sin^2\theta_k=1}$ ････③
ここで、
$\scriptsize\sf{\sf \begin{align*}\sf 0\leqq \theta_k\leqq\frac{\pi}{2}\ \ （k=1,2,\cdots ,n)\end{align*}}$ ････④ かつ
$\scriptsize\sf{\sf \cos\theta_1+\cos\theta_2+\cdots +\cos\theta_n=1}$ ････⑤
を仮定すると、(1)より(※)が成り立つ。
③を代入すると
$\scriptsize\sf{\sf 1+1+\cdots +1\leqq |z_1+z_2+\cdots +z_n|^2}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n\leqq |(\cos\theta_1+\cdots +\cos\theta_n)+ｉ(\sin\theta_1+\cdots +\sin\theta_n)|^2}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n\leqq (\cos\theta_1+\cdots +\cos\theta_n)^2+(\sin\theta_1+\cdots +\sin\theta_n)^2}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n-1\leqq (\sin\theta_1+\cdots +\sin\theta_n)^2}$ ←⑤より
ここで、n≧1であり、④より$\scriptsize\sf{\sf \sin\theta_k\gt 0\ \ (k=1,2,\cdots ,n)}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{n-1}\leqq \sin\theta_1+\sin\theta_2+\cdots +\sin\theta_n\end{align*}}$
が成り立つ。
(1)に代入するだけなので、気づけば簡単！
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第1問
nを自然数とする。
(1) xy平面上の$\small\sf{\sf x\geqq 0\ ,\ y\geqq 0}$ の領域にn個の点$\small\sf{\sf A_k\ \ (k=1,2,\cdots ,n)}$ がある。
このとき、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA_1}|^2+|\overrightarrow{\sf OA_2}|^2+\ \ldots\ + |\overrightarrow{\sf OA_n}|^2\ \leqq\ |\overrightarrow{\sf OA_1}+\overrightarrow{\sf OA_2}+\ \ldots\ +\overrightarrow{\sf OA_n}|^2\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(2) n個の実数$\small\sf{\theta_k\ \ (k=1,2,\cdots ,n)}$ が
$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq \theta_k\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ かつ $\small\sf{\sf \cos\theta_1+\cos\theta_2+\cdots +\cos\theta_n=1}$
を満たすならば、不等式
$\small\sf{\sf \sqrt{n-1}\leqq\sin\theta_1+\sin\theta_2+\cdots +\sin\theta_n}$
が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
以下、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a_k}=\overrightarrow{\sf OA_k}\ \ \ \ (k=1,2,\ \ldots\ ,n)\end{align*}}$
とおくことにして、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a_1}|^2+|\overrightarrow{\sf a_2}|^2+\ \ldots\ + |\overrightarrow{\sf a_n}|^2\ \leqq \ |\overrightarrow{\sf a_1}+\overrightarrow{\sf a_2}+\ \ldots\ +\overrightarrow{\sf a_n}|^2\end{align*}}$ ････(※)
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す。
(ⅰ) n=1のとき
左辺=右辺=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ |\overrightarrow{\sf a_1}|^2\end{align*}}$
となるので(※)は成り立つ。
(ⅱ) n=kのとき(※)が成り立つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a_1}|^2+\ \ldots\ + |\overrightarrow{\sf a_k}|^2\ \leqq \ |\overrightarrow{\sf a_1}+\ \ldots\ +\overrightarrow{\sf a_k}|^2\end{align*}}$ ････①
n=k+1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a_1}+\ \ldots\ +\overrightarrow{\sf a_k}+\overrightarrow{\sf a_{k+1}}|^2-\left(|\overrightarrow{\sf a_1}|^2+\ \ldots\ +|\overrightarrow{\sf a_k}|^2+|\overrightarrow{\sf a_{k+1}}|^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf a_1}+\ \ldots\ +\overrightarrow{\sf a_k}|^2+|\overrightarrow{\sf a_{k+1}}|^2+2\left(\overrightarrow{\sf a_1}+\ \ldots\ +\overrightarrow{\sf a_k}\right)\ \cdot\ \overrightarrow{\sf a_{k+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(|\overrightarrow{\sf a_1}|^2+\ \ldots\ +|\overrightarrow{\sf a_k}|^2+|\overrightarrow{\sf a_{k+1}}|^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq 2\left(\overrightarrow{\sf a_1}+\ \ldots\ +\overrightarrow{\sf a_k}\right)\ \cdot\ \overrightarrow{\sf a_{k+1}}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(\overrightarrow{\sf a_1}\cdot\overrightarrow{\sf a_{k+1}}+\ \ldots\ +\overrightarrow{\sf a_k}\cdot\overrightarrow{\sf a_{k+1}}\right)\end{align*}}$ ････②
ここで、点Aiの座標を
$\scriptsize\sf{\sf A_i(x_i\ ,\ y_i)\ \ (i=1,2,\cdots ,k,k+1)}$
とおくと、$\scriptsize\sf{\sf x_i\geqq 0\ ,\ \ y_i\geqq 0}$
なので、任意のiに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a_i}\cdot\overrightarrow{\sf a_{k+1}}=x_{i\ }x_{k+1}+y_{i\ }y_{k+1}\geqq 0\end{align*}}$
が成り立つ。よって、②≧0となり、n=k+1のときも(※)は成立する。
以上より、任意の自然数nに対して(※)は成立する。
単なる三角不等式です。
(2)
xy平面上のx≧0、y≧0の領域にある点$\scriptsize\sf{\sf A_k\ \ （k=1,2,\cdots ,n)}$ に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a_k}=\overrightarrow{\sf OA_k} =(\cos\theta_k\ ,\ \sin\theta_k)\end{align*}}$
と成分をおくと、任意のkに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a_k}|^2=\cos^2\theta_k+\sin^2\theta_k=1\end{align*}}$ ････③
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a_1}+\overrightarrow{\sf a_2}+\ \ldots\ +\overrightarrow{\sf a_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf=(\cos\theta_1+\cdots +\cos\theta_n\ ,\ \sin\theta_1+\cdots+\sin\theta_n)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf=(1,\ \sin\theta_1+\cdots +\sin\theta_n)\end{align*}}$ ←題意より
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a_1}+\overrightarrow{\sf a_2}+\ \ldots\ +\overrightarrow{\sf a_n}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf=1+(\sin\theta_1+\cdots +\sin\theta_n)^2\end{align*}}$ ････④
③、④を(※)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\sf n\leqq 1+(\sin\theta_1+\cdots +\sin\theta_n)^2}$
ここで、$\scriptsize\sf{\sf A_k\ \ (k=1,2,\cdots ,n)}$ は$\scriptsize\sf{\sf x\geqq 0\ ,\ y\geqq 0}$ の領域にあるので、
$\scriptsize\sf{\sf \sin\theta_1\geqq 0 \ ,\ \sin\theta_2\geqq 0\ ,\ \cdots \ ,\ \sin\theta_n\geqq 0}$
なので、不等式
$\scriptsize\sf{ \sf \sqrt{n-1}\leqq \sin\theta_1+\sin\theta_2+\cdots +\sin\theta_n}$
が成り立つ。
(1)に代入するだけですが、気づきますかな？？
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- 2012/02/15(水) 23:57:00|
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第2問
素数p、qに対して、an=pn－4(－q)n (n=1，2，3，････)によって整数an
を定める。ただし、p＞2qとする。
(1) a1とa2が1より大きい公約数mをもつならば、m=3であることを示せ。
(2) anがすべて3の倍数であるようなp、qのうちで積pqが最小となるものを
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
a1とa2が公約数m(＞1)をもつので、
a1=p+4q=mb1 ････①
a2=p2－4q2=mb2 ････②
と表すことができる。ここで、b1、b2は整数である。
①、②よりqを消去して整理すると、
m(4b22－2pb1－b12)=3p2
上式の( )内は整数なので、
mは3p2の約数である。 ････(※)
ここで、mがpの倍数であると仮定すると、整数kを用いて
m=kp
と表せ、これを①に代入すると、
p+4q=b1kp ⇔ p(bk1－1)=4q ････③
この式の( )内は整数なので、
pは4qの約数である。
しかし、pとqは互いに素であり、
p＞2q≧4 ････④
なので、pは4qの約数とは成りえないので矛盾する。
よって、mはpの倍数ではない。
このことと、m＞1および(※)から m=3 となる。
(2)
すべてのnに対してanが3の倍数なので、
an=pn－4(－q)n=3bn ････⑤
と表せる。ここで、bnは整数である。
nを1つ上げると、
an+1=pn+1－4(－q)n+1=3bn+1 ････⑥
この2式から(－q)n+1を消去するために、 ⑤+④×qを計算すると、
an+1+qanを計算すると、
pn(p+q)=3(bn+1－bnq)
p、qおよびbn+1－bnqは整数なので、
pn(p+q)は3の倍数である。
④より素数pは3の倍数となり得ないので、
p+qは3の倍数である。
(ⅰ)q=2のとき
p＞2q=4より、p+qが3の倍数になるようなqの値は、
q=7，10，13，16，････
この中で、pqの最小値は、
pq=2×7=14
(ⅱ)q≧3のとき
p＞2p≧6より、pq≧18＞14
よって、pqの最小値は14である。
ちょっと考えにくいかもしれません。
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- 2012/02/16(木) 23:57:00|
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第3問
nを3以上の自然数とする。点Oを中心とする半径1の円において、
円周をn等分する点P0、P1、････、Pn-1を時計回りにとる。
各ｉ=1，2，･･･，nに対して、直線OPi-1、OPiとそれぞれ点Pi-1、
Piで接するような放物線をCiとする。ただし、Pn=P0とする。放物線
C1、C2、･･･、Cnによって囲まれる部分の面積をSnとするとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
右図のように2点P0とP1をy軸について対称になるようにとる。
x軸上に点A(1，0)をとり、$\scriptsize\sf{\sf \angle \sf AOP_1=\theta}$ とおくと、
点$\scriptsize\sf{\sf P_1(\cos\theta\ ,\ \sin\theta)}$
直線$\scriptsize\sf{\sf OP_1:\ y=(\tan\theta )x}$
と表せる。
また、この$\scriptsize\sf{\theta}$ はnを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\angle P_1OP_0=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{n}\end{align*}}$ ････(※)
と表せる。
一方、放物線C1はy軸について対称となるので、
C1の方程式を
$\scriptsize\sf{\sf y=f(x)=ax^2+b\ \ (a\ne 0)}$
とおくと、その導関数は、
$\scriptsize\sf{\sf f'(x)=2ax}$
C1は点P1で直線OP1に接するので、
$\scriptsize\sf{\sf f(\cos\theta)=a\cos^2\theta+b=\sin\theta}$ ････①
$\scriptsize\sf{\sf f'(\cos\theta)=2a\cos\theta=\tan\theta}$ ････②
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{\sin \theta}{2\cos^2\theta}\ \ ,\ \ b=\frac{1}{2}\sin\theta\end{align*}}$
となるので、C1の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\sin \theta}{2\cos^2\theta}\ x^2+\frac{1}{2}\sin\theta\end{align*}}$
次に、C1、OP1およびy軸で囲まれる部分(右図の緑の部分)
の面積をTとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\int_0^{\cos\theta}\ \left(\frac{\sin \theta}{2\cos^2\theta}\ x^2+\frac{1}{2}\sin\theta-(\tan\theta)x\right)\ dx\end{align*}}$ ．
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\frac{1}{6}\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{12}\sin 2\theta\end{align*}}$ ．
図の対称性より、SnはTの2n倍なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=2nT=\frac{1}{6}n\sin 2\theta\end{align*}}$ ．
これに(※)を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{1}{6}n\sin \left(\pi-\frac{2\pi}{n}\right)=\frac{1}{6}n\sin \frac{2\pi}{n}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf N=\frac{1}{n}\end{align*}}$
とおくと、n→∞のときN→0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{6}n\sin \frac{2\pi}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\lim_{N\rightarrow 0}\ \frac{\sin2\pi N}{N}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\lim_{N\rightarrow 0}\ \frac{\sin2\pi N}{2\pi N}\cdot 2\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{3}\ \ }\end{align*}}$
「図の対称性より」というのは便利な表現ですねｗｗ
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- 2012/02/17(金) 23:57:00|
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第4問
実数a、rに対し数列{xn}を
$\small\sf{\sf x_1=a\ ,\ \ x_{n+1}=rx_n(1-x_n)\ \ (n=1,2,3,\cdots)}$
で定める。
(1) すべてのnについて$\small\sf{\sf x_n=a}$ となるようなaを求めよ。
(2) $\small\sf{\sf x_2\ne a\ ,\ x_3=a}$ となるようなaの個数を求めよ。
(3) $\small\sf{\sf 0\leqq a\leqq 1}$ となるすべてのaについて$\small\sf{\sf 0\leqq x_n\leqq 1\ \ (n=2,3,4,\cdots)}$ が
成り立つようなrの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\sf x_{n+1}=rx_n(1-x_n)}$ ････(※) とする。
(1)
題意より、$\scriptsize\sf{\sf x_n=x_{n+1}=a}$ なので、
(※)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\sf a=ra(1-a)}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a(ar-r+1)=0}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=0}$ または $\scriptsize\sf{\sf ra=r-1}$
よって、
$\scriptsize\sf{\sf r=0}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf \underline{a=0}}$
$\scriptsize\sf{\sf r\ne 0}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=0\ \ ,\ \ a=\frac{r-1}{r}\ \ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\sf r=0}$ のときは、
$\scriptsize\sf{\sf x_2=x_3=0}$
となり不適。よって、以下は、$\scriptsize\sf{\sf r\ne 0}$ とする。
$\scriptsize\sf{\sf x_2\ne a}$ （条件Aとする）について
$\scriptsize\sf{\sf ra(1-a)\ne a}$ なので(1)より、
$\scriptsize\sf{\sf a\ne 0}$ ････① かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\ne \frac{r-1}{r}\end{align*}}$ ････②
$\scriptsize\sf{\sf x_3=a}$ （条件Bとする）について
$\scriptsize\sf{\sf x_3=rx_2(1-x_2)=a}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ra(1-a)\left\{1-ra(1-a)\right\}=a}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r^3a^4-2r^3a^3+(r^3+r^2)a^2-(r^2-1)a=0}$
これを因数分解すると、
$\scriptsize\sf{\sf \underline{a(ra+1-r)}\ \left\{r^2a^2-(r^2+r)a+r+1\right\}=0}$
となるが、①、②より、下線部≠0なので、
$\scriptsize\sf{\sf r^2a^2-(r^2+r)a+r+1=0}$ ････(※)
ここで、$\scriptsize\sf{\sf r\ne 0}$ なので(※)は二次方程式である。
「条件Aおよび条件Bを満たすaの個数」
⇔「(※)を満たすaのうち、①、②を満たすaの個数」
・(※)が$\scriptsize\sf{\sf a=0}$ を解にもつとき
$\scriptsize\sf{\sf r+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ r=-1}$
・(※)が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a= \frac{r-1}{r}\end{align*}}$ を解にもつとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^2\left(\frac{r-1}{r}\right)^2-(r^2+r)\cdot\frac{r-1}{r}+r+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ r=3\end{align*}}$
(※)の判別式をDとすると、
$\scriptsize\sf{\sf D=(r^2+r)^2-4r^2(r+1)}$
$\scriptsize\sf{\sf =r^2(r-3)(r+1)}$
・$\scriptsize\sf{\sf -1\lt r\lt 3}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf r\ne 0}$ より、$\scriptsize\sf{\sf D\lt 0}$ となり、(※)を満たすaは存在しない。
・$\scriptsize\sf{\sf r\lt -1}$ または$\scriptsize\sf{\sf 3\lt r}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf r\ne 0}$ より、$\scriptsize\sf{\sf D\gt0}$ となり、(※)を満たすaは2個存在する。
以上より、
$\scriptsize\sf{\sf -1\leqq r\leqq 3}$ のとき、0個
$\scriptsize\sf{\sf r\lt -1\ ,\ 3\lt r}$ のとき、2個
(2)の因数分解は気づきますかね？？
もちろん(1)の条件の下でもx3=aが成り立つので、
aとra+1－rを因数に持つはずです。
長くなったので、(3)は次の記事です。
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- 2012/02/18(土) 23:54:00|
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第4問
実数a、rに対し数列{xn}を
$\small\sf{\sf x_1=a\ ,\ \ x_{n+1}=rx_n(1-x_n)\ \ (n=1,2,3,\cdots)}$
で定める。
(1) すべてのnについて$\small\sf{\sf x_n=a}$ となるようなaを求めよ。
(2) $\small\sf{\sf x_2\ne a\ ,\ x_3=a}$ となるようなaの個数を求めよ。
(3) $\small\sf{\sf 0\leqq a\leqq 1}$ となるすべてのaについて$\small\sf{\sf 0\leqq x_n\leqq 1\ \ (n=2,3,4,\cdots)}$ が
成り立つようなrの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\sf x_{n+1}=rx_n(1-x_n)}$ ････(※) とする。
(3)
まず、$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq a\leqq 1}$ であるすべてのaに対して、$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq x_2\leqq 1}$ である必要がある。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_2=ra(1-a)=-r\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{r}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\sf a=0,\ 1}$ のとき$\scriptsize\sf{\sf x_2=0}$ なので、
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\sf r=0}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf x_2=0}$ となりOK
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\sf r\lt 0}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf 0\lt a\lt 1}$ で$\scriptsize\sf{\sf x_2\lt 0}$ となるので不適(右図)
(ⅲ) $\scriptsize\sf{\sf r\gt 0}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq a\lt 1}$ で常に$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq x_2\leqq 1}$ になるためには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{4}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ r\leqq 4\end{align*}}$
であればよい(右図)。
(ⅰ)～(ⅲ)より、
$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq r\leqq 4}$ であれば、$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq a\leqq 1}$ であるすべてのaに対して$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq x_2\leqq 1}$ となる。
このとき、$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq x_2\leqq 1}$ であるすべてのx2に対して$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq x_3\leqq 1}$ となり、
以下も帰納的に、
$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq x_4\leqq 1\ ,\ \ 0\leqq x_5\leqq 1\ ,\ \ \cdots}$
と順次条件を満たしていく。
よって、求める条件は、$\scriptsize\sf{\sf \underline{\sf 0\leqq r\leqq 4}}$
大学数学では有名な話なのですが、高校生にはちょっと扱いが難しいのかもしれませんね。
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- 2012/02/18(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2004
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第5問
座標平面上に直線$\small\sf{\begin{align*}\sf L:\ x\sin\theta+y\cos\theta=1\ \ \left(0\lt \theta\lt\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ がある。
不等式$\small\sf{\sf x\geqq 0\ ,\ y\geqq 0\ ,\ x\sin\theta+y\cos\theta\geqq 1}$ が表す領域をD、
不等式$\small\sf{\sf x\geqq 0\ ,\ y\geqq 0\ ,\ x\sin\theta+y\cos\theta\leqq 1}$ が表す領域をD’とする。
D内に半径Rの2つの円C1、C2を、C1はLとy軸に接し、C2はLとx軸に接し、
さらにC1とC2が外接するようにとる。
またD’内に半径rの2つの円C’1、C’2を、C’1はLとy軸に接し、C’2は
Lとx軸に接し、さらにC’1とC’2が外接するようにとる。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{R}\end{align*}}$ を$\small\sf{\theta}$ で表せ。
(2) $\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt \theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲を動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{R}\end{align*}}$ のとりうる値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ より$\scriptsize\sf{\sf \cos\theta\ne 0}$ なので、直線Lは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-(\tan\theta)x+\frac{1}{\cos\theta}\end{align*}}$
と変形できる。
よって、直線Lとx軸のなす角は$\scriptsize\sf{\theta}$ である。
C1およびC2の中心をそれぞれA1、A2とおく。
C1とy軸の接点をS1、C2とy軸の接点をS2とし、
2直線S1A1とS2A2の交点をS3とすると、
S1A1=S2A2=R
A1A2=2R
また、A1A2//Lとなるので、∠A2A1S3=$\scriptsize\sf{\theta}$ ．
よって、点A1座標を(XA，YA)とおくと、
$\scriptsize\sf{\sf X_A=R}$
$\scriptsize\sf{\sf Y_AS_2A_2+S_3A_2=R+2R\sin\theta}$ ････①
となる。
同様に、C’1およびC’2の中心を
それぞれB1、B2とおき、点T1～T3を
右図のようにとる。B1B2//Lなので、
点B1の座標を(XB，YB)とおくと、
$\scriptsize\sf{\sf X_B=r}$
$\scriptsize\sf{\sf Y_B=r+2r\sin\theta}$ ････②
点A1およびB1はそれぞれ領域D、D’内にあるので、
$\scriptsize\sf{\sf X_A\sin\theta+Y_A\cos\theta-1\geqq 0}$ ････③
$\scriptsize\sf{\sf X_B\sin\theta+Y_B\cos\theta-1\leqq 0}$ ････④
円C1は直線Lに接するので、
中心A1からLまでの距離 = 半径R
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \frac{|X_A \sin\theta+Y_A \cos\theta-1|}{\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta}}=R\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ X_A \sin\theta+Y_A \cos\theta-1=R\end{align*}}$ ←③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ R \sin\theta+(R+2R\sin\theta) \cos\theta-1=R\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ R=\frac{1}{ \sin\theta+\cos\theta+2\sin\theta\cos\theta-1}\end{align*}}$
円C’1についても、同様に②、④を用いて計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ r=\frac{1}{ \sin\theta+\cos\theta+2\sin\theta\cos\theta+1}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{R}=\ \frac{ \sin\theta+\cos\theta+2\sin\theta\cos\theta-1}{ \sin\theta+\cos\theta+2\sin\theta\cos\theta+1}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\sf t=\sin\theta+\cos\theta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\sf t^2=\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sin\theta\cos\theta=t^2-1}$ ････⑤
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\sqrt2\ \sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\theta<\frac{\pi}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{4}<\theta+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4}\end{align*}}$
の範囲において、tの散りうる値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\sf 1\lt t\leqq\sqrt2}$ ････⑥
(1)に⑤を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{R}=\ \frac{ t+(t^2)-1}{t+(t^2-1)+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\ \frac{ t^2+t-2}{t^2+t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\ 1-\frac{ 2}{t^2+t}\end{align*}}$ ････⑦
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2+t=\left(t+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\end{align*}}$
より、⑥の範囲にあるtに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\lt t^2+t\leqq 2+\sqrt2 \end{align*}}$
となるので、⑦より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{r}{R}\leqq \sqrt2 -1 \end{align*}}$
(1)はいろいろな考え方ができると思います。
まぁ、楽そうな解法を書いてみました。
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- 2012/02/19(日) 23:57:00|
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