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　　　どう考えても(１)と(２)は無関係ですよねぇ。 まさかの小問集合？？（といっても２問しかないですが）
　　 京大理系では過去にないパターンだと思います。少し驚きつつも解いていくことにします。　　

(１)
　　これがまた簡単そうなのでビックリ！！ ホントに京大の問題？？？
　　１～９ぐらいだったら全部書き出してもタイヘンなことにはならないでしょうし。　　　　



　　　９枚のカードの中から２枚取り出す方法は、₉Ｃ₂＝36通り

　　　Ｘ＝１となるのは、
　　　　２枚のカードが (１，２)，(１，３)，…，(１，９) の８通り

　　　Ｘ＝２となるのは、
　　　　２枚のカードが (２，３)，(２，４)，…，(２，９) の７通り
　　
　　　Ｘ＝３となるのは、
　　　　２枚のカードが (３，４)，(３，５)，…，(３，９) の６通り
　　　　　
　　　Ｘ＝８となるのは、
　　　　２枚のカードが (８，９) の１通り


　　　これは、Ｙについても同様なので、

　　　Ｘ＝Ｙ＝１となる確率は、

　　　Ｘ＝Ｙ＝２となる確率は、　

　　　Ｘ＝Ｙ＝３となる確率は、　　　　　
　　　　　
　　　Ｘ＝Ｙ＝８となる確率は、　　　　　

　　　これらの和を求めると、


　　　う～～ん、これは簡単簡単。これは絶対に落とせませんね。

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(２)
　　ホントに京大？？？ そのまま計算するだけです。　　　　



　　　

　　　
　　　まず、 において、

　　　　　 と置換すると、 となり、積分区間も考慮すると、

　　　　　
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


　　　一方の において、

　　　　　 と置換すると、 となり、積分区間も考慮すると、

　　　　　
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　← cos の倍角公式より

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


　　　以上より、

　　丁寧に書いてみましたが、京大レベルの受験生だったら、これぐらいは楽勝でしょう！

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　　一次変換の問題ですね。そのまま成分で計算しましょう。　　　　



　　　 まず、条件(ⅰ)より

　　　　　　なので、　　
　　　　　　･･････ ①


　　　 次に、条件(ⅱ)より

　　　　　　点Ａは 　　

　　　　　　点Ｂは 　　

　　　　　　よって、△ＯＡＢの面積は
　　　　　　　　　　

　　　　　　すなわち、ｂ＋ｃ＝±１ ･･････②


　　　①、②を連立させて解くと、
　　　　　　(ａ，ｂ，ｃ)＝(－１，０，１)、(－１，－４，３)
　　　

　　なにかヤヤコシイ議論があるかと思いきや、これまた基本的な問題で拍子抜けですね。
　　これも、間違えたら即浪人という、ある意味怖い問題なのかもしれません



　

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(２)
　　まずはグラフを描くところから。下の答案のように、絶対値の中身の符号で場合分けをするのが
　　普通ですが、このグラフの場合は、下図のように折り返しと平行移動を考えると簡単ですね。　　

　　
　　以下、答案はこんな感じです。　　



　　

　　ｘ＜－２、２＜ｘのとき、絶対値の中身＞０なので、
　　　　　
　　このとき、ｙ＝ｘとの交点のｘ座標は、
　　　　　
　　を解いて、
　　　　　　　　

　　－２≦ｘ≦２のとき、絶対値の中身≦０なので、
　　　　　
　　このとき、ｙ＝ｘとの交点のｘ座標は、
　　　　　
　　を解いて、
　　　　　　　　

　　よって、囲まれた部分は右図のピンク色の部分



　　その面積は
　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　これを計算すると、
　　　　　　　　

　　この問題も今までの京大のレベルからすると、かなり易しい問題だと思います。
　　合格した人は確実に完答しているはずです。

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　　やはり、こういった証明は帰納法を使うんでしょうね。　　　　




　　数学的帰納法により証明する。

　(ⅰ) ｎ＝２のとき、
　　　
　　　　　左辺－右辺　　　
　 　　
　　 　
　　　　ここで、
　　　　　　
　　　　なので、左辺－右辺＞０

　　　よって、ｎ＝２のときは成立　


　(ⅰ) ｎ＝ｋのとき成立すると仮定すると、
　　　　　　　　･･････①

　　　ｎ＝ｋ＋１のとき、

　　　　　左辺－右辺
　　　

　　　　　１－ａ_k+1＞０なので、下線部に①を用いると、
　　　　　左辺－右辺
　　　

　　　･･････②

　　　ここで、
　　　　　　なので、

　　　②式
　　　 　　　　

　　　 　　　　

　　　　　←上式の下線部は、等比数列の和
　　　
　　　＝０
　　　よって、ｎ＝ｋ＋１のときも左辺＞右辺となり、成立する。


　　　以上より、ｎ≧２であるすべての自然数に対して、与えられた不等式は成立する。



　　　　おーー、キレイにいきました。②式の変形が少し難しいでしょうけど、
　　　　与えられた条件式を使うことを考えると、そんなに無理な変形でもないと思います。

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　　　なんか京大の問題っぽくなってきましたね。
　　　前半は、座標空間における平面の方程式、点と平面の距離の公式を用いれば、簡単にいくでしょう。
　　　しかし、これらは教科書では発展学習としてしか扱われていないので、学校で習っていないという
　　　生徒も多いみたいです。京大を受験するのであれば必須なのですが、ここではこれらを使わずに
　　　解いてみることにします。きれいな図形なのでうまくいくはず。　　



　　　Ａ(４，０，０)、Ｂ(０，４，０)、Ｃ(０，０，４)とすると、
　　　ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ
　　　また、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡでもあるので、四面体ＯＡＢＣは
　　　△ＡＢＣを底面とする正三角錐になる。
　　　よって、点Ｏから△ＡＢＣに下ろした垂線の足Ｈは、
　　　△ＡＢＣの外心。
　　　△ＡＢＣは正三角形なので、点Ｈは△ＡＢＣの重心
　　　でもあるので、　　　
　　　　　　
　　　球の中心Ｏからの距離と半径を比較すると、　
　　　　　　
　　　よって、点Ｈは球の内部にあるので、平面αと球面は共有点をもつ。


　　　まぁ前半部分はこんな感じでいいんじゃないでしょうか。
　　　さて、後半部分ですが図形的なイメージがつかみにくいでしょうから、数式でごり押しです。
　　　ｘ、ｙ、ｚについての対称式なので、まずは基本対称式であるｘ＋ｙ＋ｚ、ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ、ｘｙｚ
　　　の３つをつくり、解と係数の関係で３次方程式にもちこんでみましょう。


　　　平面αと球面との共有点Ｐ(ｘ，ｙ，ｚ)を考える。
　　　まず、Ｐは球面上にあるので、ＯＰ²＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝６ ･････①

　　　次に、点Ｐは平面ＡＢＣ上にあるので、ａ＋ｂ＋ｃ＝１ ･････② を満たす実数ａ，ｂ，ｃを用いて、
　　　　　　
　　　と表せる。これに成分を代入すると、
　　　　　　(ｘ，ｙ，ｚ)＝(４ａ，４ｂ，４ｃ)
　　　これと②より、　　　
　　　　　　ｘ＋ｙ＋ｚ＝４ ･･････③
　　　が得られる。

　　　また、①、③より、
　　　　　　ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝{(ｘ＋ｙ＋ｚ)²－(ｘ²＋ｙ²＋ｚ²)}÷２＝５ ･････④

　　　ｘｙｚ＝ｋとおくと、
　　　　　
　　　３次方程式の解と係数の関係より、ｘ、ｙ、ｚはｓについての３次方程式
　　　　　　ｓ³－４ｓ²＋５ｓ－ｋ＝０･････⑤
　　　の３解になる。これを
　　　　　　ｓ³－４ｓ²＋５ｓ＝ｋ･････⑤'
　　　と変形し、ｆ(ｓ)＝ｓ³－４ｓ²＋５ｓ とおく。
　　　　　　ｆ'(ｓ)＝３ｓ²－８ｓ＋５＝(ｓ－１)(３ｓ－５)
　　　より、ｆ(ｓ)の増減表およびｔ＝ｆ(ｓ)のグラフは下の通り

　　　　



　　　⑤の方程式の解は、ｔ＝ｆ(ｓ)のグラフと
　　　直線ｔ＝ｋとの交点を考えればよい。
　　　ｘ、ｙ、ｚは実数なので、⑤が重解も含めて
　　　３つの実数解をもつためには、
　　　　　　　
　　　であればよい。

　　　よって、ｘｙｚの取り得る値の範囲は、
　　　　　　　


　　　　うまく３次方程式に持ち込めたが勝負の分かれ目でしょうか。

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　　　まさに京大！っていう感じの問題ですね。まったく誘導がないので、
　　　こういった問題に慣れていないと、何から手を付けたらいいのかすら
　　　分からないかと思います。
　　　残念ながら、座標計算や、ベクトル計算では、大変なことになって
　　　しまいますので、図形の性質のみを使って考えていく必要があります。
　　　中学生っぽい解き方ですが、これが苦手な高校生が多いんですよね。　　　　




　　　　　　
　　　四面体ＡＢＣＤにおいて、△ＢＣＤの外心Ｈを通り、平面ＢＣＤに
　　　垂直な直線をＬとする。
　　　
　　　ここで、Ｈは外心なのでＢＨ＝ＣＨ＝ＤＨであり、
　　　Ｌ上にＨと異なる点Ｐをとると、∠ＰＨＢ＝∠ＰＨＣ＝∠ＰＨＤ＝90°
　　　となるので、
　　　　　△ＰＨＢ≡△ＰＨＣ≡△ＰＨＤ
　　　よって、ＰＢ＝ＰＣ＝ＰＤ
　　　
　　　このことは、Ｐの位置によらないので、
　　　　　「Ｌ上の任意の点は３点Ｂ、Ｃ、Ｄから等距離にある」ことが言える。･･････①




　　　　　　　
　　　一方、辺ＡＢの中点Ｍを通り、辺ＡＢに垂直な平面をαとする。

　　　α上にＭと異なる点Ｑをとると、ＡＭ＝ＢＭ、∠ＡＭＱ＝∠ＢＭＱ＝90°
　　　となり、
　　　　　△ＡＭＱ≡△ＢＭＱ
　　　よって、ＱＡ＝ＱＢ

　　　このことは、Ｑの位置によらないので、
　　　　　「α上の任意の点は２点Ａ、Ｂから等距離にある」ことが言える。･･････②





　　　　　　
　　　Ｌとαが平行であると仮定すると、Ｌと辺ＡＢは垂直になるので
　　　辺ＡＢは平面ＢＣＤ上に含まれることになる。
　　　しかしこれは、４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが四面体をなすことに
　　　反するので、Ｌとαは平行にはならない。


　　　従って、平面αと直線Ｌはただ１点で交わり、その交点をＯと
　　　すると、②より、点Ｏは４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄから等距離にある。


　　　よって、点Ｏを中心として点Ａを通る球は、他の３点Ｂ、Ｃ、Ｄも通ることになるので、題意は示された。



　　　少し丁寧に書きすぎた感はありますが、もう少し大ざっぱな証明でもいいと思います。
　　　　　定点から等距離にある点の集合について下にまとめておきますので参考にしてください。


　　　【平面の場合】
　　　　　定点Ａから等距離にある点の集合
　　　　　　　　　　　　　　　　…… Ａを中心とする円
　　　　　２定点Ａ、Ｂから等距離にある点の集合
　　　　　　　　　　　　　　　　…… 線分ＡＢの垂直二等分線
　　　　　三角形をなす３定点Ａ、Ｂ、Ｃから等距離にある点の集合
　　　　　　　　　　　　　　　　…… △ＡＢＣの外心


　　　【空間の場合】
　　　　　定点Ａから等距離にある点の集合
　　　　　　　　　　　　　　　　…… Ａを中心とする球
　　　　　２定点Ａ、Ｂから等距離にある点の集合
　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 線分ＡＢの中点を通り、ＡＢに垂直な平面（線分ＡＢの二等分面）
　　　　　三角形をなす３定点Ａ、Ｂ、Ｃから等距離にある点の集合
　　　　　　　　　　　　　　　　 …… △ＡＢＣの外心を通り、平面ＡＢＣに垂直な直線
　　　　　四面体をなす４定点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄから等距離にある点の集合
　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 四面体ＡＢＣＤの外心

　　　図がなくてもイメージできますか？
　　　

　

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