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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018同志社大 生命医科学部 数学1



第1問

  次の    に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた    の中に記入せよ。

 (1) 部分積分法により、
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \int e^{-x}\cos xdx\end{align*}}$ = ア  +$\small\sf{\begin{align*}\sf \int e^{-x}\cos xdx\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*}\sf \int e^{-x}\cos xdx\end{align*}}$=  イ  $\small\sf{\begin{align*}\sf -\int e^{-x}\sin xdx\end{align*}}$
    が成り立つ。次にnを自然数とする。
         In=$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{n\pi}e^{-x}\sin xdx\end{align*}}$、 Jn=$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{n\pi}e^{-x}\cos xdx\end{align*}}$
    とおくと、In-Jnの値は ウ  であり、In+Jnは1- ( エ  )n$\small\sf{\begin{align*}\sf e^{-n\pi}\end{align*}}$ と表される。
    これより、Sn=$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^n\left(2\rm I_{\sf k}\sf -1\right)\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}S_n\end{align*}}$ =  オ  となる。

 (2) 大小2個のさいころを同時に投げるとき、2つの目が異なる出方は カ  通りであるので、
    2つの目が異なる確率は キ  である。次に、大中小3個のさいころを同時に投げる。
    このとき、出る目がすべて異なる確率は ク  であり、3の目が少なくとも1個のさいころで
    出る確率は ケ  である。1個のサイコロを4回続けて投げる反復試行において、3の目が
    出る回数が1回以下である確率は コ  である。





2018同志社大 生命医科学部 数学2



第2問

  Oを原点とする座標空間において、3点A(1,0,1)、B(1,1,1)、C(0,1,1)
  を考える。実数tはt>1を満たすとし、z軸上の動点Pの座標を(0,0,t)とする。
  次の問いに答えよ。

 (1) 3直線PA、PB、PCとxy平面の交点をそれぞれR、S、Tとする。R、S、Tの座標を
    求めよ。

 (2) △RSTの面積をUとする。Uをtを用いて表せ。

 (3) 4点P、R、S、Tを頂点とする三角錐の体積をVとする。tがt>1の範囲で変化する
    とき、Vの最小値を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/08/15(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2018(生命医科)
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2018同志社大 生命医科学部 数学3



第3問

  xを正の数、rを0でない実数とする。定積分では、積分変数以外の変数は定数とみなして
  積分するものとする。定積分で表される関数
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f_r(x)=\int_0^{\frac{r}{\sqrt{x}}}e^{-xt^2}dt\ ,\ \ \ g_r(x)=\int_0^{\frac{r}{\sqrt{x}}}|t|\ e^{-xt^2}dt\end{align*}}$
  を考えて、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f_{-}(x)=\lim_{r\rightarrow -\infty}f_r(x)\ ,\ \ f_{+}(x)=\lim_{r\rightarrow +\infty}f_r(x)\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*}\sf g_{-}(x)=\lim_{r\rightarrow -\infty}g_r(x)\ ,\ \ g_{+}(x)=\lim_{r\rightarrow +\infty}g_r(x)\end{align*}}$
  とする。次の問いに答えよ。

 (1) 関数$\small\sf{\begin{align*}\sf p(u)=e^{-u^2}\end{align*}}$ の導関数$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{dp}{du}\end{align*}}$ を求めよ.

 (2) 定積分$\small\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf r}\sf =\int_0^rue^{-u^2}du\end{align*}}$ を求め、極限$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{r\rightarrow +\infty}\rm I_{\sf r} \end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 定積分$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^r|u|e^{-u^2}du\end{align*}}$ をCrとおく。関数$\small\sf{\begin{align*}\sf g_r(x)\end{align*}}$ をCr、xで表せ。さらに、2つの関数
    $\small\sf{\begin{align*}\sf g_{-}(x)\ ,\ g_{+}(x)\end{align*}}$ をそれぞれxの式で表せ。

 (4) 定積分$\small\sf{\begin{align*}\sf D_r=\int_0^r e^{-u^2}du\end{align*}}$ に対して、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{r\rightarrow +\infty}D_r=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\end{align*}}$ であることが知られている。これを用いて、
    2つの関数
        $\small\sf{\begin{align*}\sf h_{-}(x)=f_{-}(x)-g_{-}(x)\ ,\ \ h_{+}(x)=f_{+}(x)-g_{+}(x)\end{align*}}$
    をそれぞれxの式で表し、それぞれの関数の極値を求めよ。





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  1. 2018/08/16(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2018(生命医科)
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2018同志社大 生命医科学部 数学4



第4問

  nを自然数とし、$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{1}{1+e^x}\end{align*}}$ とする。第n次導関数$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{d^ny}{dx^n}\end{align*}}$ は、xを含まないyの式で表すと、
  yの(n+1)次式になることが知られている。このyの(n+1)次式をfn(y)とする。また、
  fn(y)のyn+1の係数をan、ynの係数をbnとする。次の問いに答えよ。

 (1) exをxを含まないyの式で表せ。

 (2) f1(y)を求めよ。また、a1、b1を求めよ。

 (3) a2、b2を求めよ。

 (4) 数列{an}を考える。an+1をanとnの式で表せ。また、数列{an}の一般項を
    求めよ。

 (5) 数列{bn}を考える。bn+1をbnとnの式で表せ。また、数列{bn}の一般項を
    求めよ。




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  1. 2018/08/17(金) 23:57:00|
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