第１問
次の に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ。
(１) 部分積分法により、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \int e^{-x}\cos xdx\end{align*}}$ = ア +$\small\sf{\begin{align*}\sf \int e^{-x}\cos xdx\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*}\sf \int e^{-x}\cos xdx\end{align*}}$= イ $\small\sf{\begin{align*}\sf -\int e^{-x}\sin xdx\end{align*}}$
が成り立つ。次にnを自然数とする。
In=$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{n\pi}e^{-x}\sin xdx\end{align*}}$、 Jn=$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{n\pi}e^{-x}\cos xdx\end{align*}}$
とおくと、In-Jnの値は ウ であり、In+Jnは1- ( エ )n$\small\sf{\begin{align*}\sf e^{-n\pi}\end{align*}}$ と表される。
これより、Sn=$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^n\left(2\rm I_{\sf k}\sf -1\right)\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}S_n\end{align*}}$ = オ となる。
(２) 大小2個のさいころを同時に投げるとき、2つの目が異なる出方は カ 通りであるので、
2つの目が異なる確率は キ である。次に、大中小3個のさいころを同時に投げる。
このとき、出る目がすべて異なる確率は ク であり、3の目が少なくとも1個のさいころで
出る確率は ケ である。1個のサイコロを4回続けて投げる反復試行において、3の目が
出る回数が1回以下である確率は コ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア $\scriptsize\sf{-e^{-x}\sin x}$ イ $\scriptsize\sf{-e^{-x}\cos x}$ ウ 0 エ -1 オ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{e^{\pi}+1}\end{align*}}$
カ 30 キ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{5}{6}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{5}{9}\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{91}{216}\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{125}{144}\end{align*}}$
【解説】
(ア)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int e^{-x}\sin xdx=-e^{-x}\sin x+\int e^{-x}\cos xdx\end{align*}}$
(イ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int e^{-x}\cos xdx=-e^{-x}\cos x-\int e^{-x}\sin xdx\end{align*}}$
(ウ)
(ア)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I_n\sf -J_n&=\sf \int_0^{n\pi}e^{-x}\sin xdx-\int_0^{n\pi}e^{-x}\cos xdx\\ &=\sf \bigg[e^{-x}\sin xdx\bigg]_0^{n\pi}\\ &=\sf \underline{0}\end{align*}}$
(エ)
(イ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I_n\sf +J_n&=\sf \int_0^{n\pi}e^{-x}\sin xdx+\int_0^{n\pi}e^{-x}\cos xdx\\ &=\sf \bigg[e^{-x}\cos xdx\bigg]_0^{n\pi}\\ &=\sf -e^{n\pi}\left(\cos n\pi\right)+1\\&=\sf \underline{1-\left(-1\right)^ne^{n\pi}}\end{align*}}$
(オ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n&=\sf\sum_{k=1}^n\left\{-\left(-1\right)^ke^{-k\pi}\right) \\ &=\sf -\sum_{k=1}^n\left(-e^{-\pi}\right)^k\\ &=\sf \frac{e^{-\pi}\left\{1-\left(-e^{-\pi}\right)^n\right\}}{1+e^{-\pi}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{-1\lt -e^{-\pi}\lt 0}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\frac{e^{-\pi}}{1+e^{-\pi}}=\underline{\frac{1}{e^{\pi}+1}}\end{align*}}$
(カ)
$\scriptsize\sf{_6P_2=\underline{30}}$ 通り
(キ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{30}{6^2}=\underline{\frac{5}{6}}\end{align*}}$
(ク)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_6P_3}{6^3}=\underline{\frac{5}{9}}\end{align*}}$
(ケ)
余事象を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\left(\frac{5}{6}\right)^3=\underline{\frac{91}{216}}\end{align*}}$
(コ)
3の目が1度も出ない、または、1度だけ出る場合のなので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{5}{6}\right)^4+_4C_1\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^3=\underline{\frac{125}{144}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/08/14(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2018(生命医科)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第２問
Oを原点とする座標空間において、3点A(1，0，1)、B(1，1，1)、C(0，1，1)
を考える。実数tはt＞1を満たすとし、z軸上の動点Pの座標を(0，0，t)とする。
次の問いに答えよ。
(１) 3直線PA、PB、PCとxy平面の交点をそれぞれR、S、Tとする。R、S、Tの座標を
求めよ。
(２) △RSTの面積をUとする。Uをtを用いて表せ。
(３) 4点P、R、S、Tを頂点とする三角錐の体積をVとする。tがt＞1の範囲で変化する
とき、Vの最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
Sの座標を(X，Y，0) とおくと、P、B、Sは同一直線上にあるので、
実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PS}=k\overrightarrow{\sf PB}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X,Y,-t\right)=k\left(1,1,1-t\right)\end{align*}}$
成分を比較すると、t≠1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X=Y=k=\frac{t}{t-1}\end{align*}}$
となるので、Sの座標は
$\scriptsize\sf\begin{align*}\sf \underline{S\left(\frac{t}{t-1},\frac{t}{t-1},0\right)}\end{align*}{}$
同様にすると、R，Tの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{R\left(\frac{t}{t-1},0,0\right)\ ,\ \ T\left(0,\frac{t}{t-1},0\right)}\end{align*}}$
(２)
△RSTは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf RS=TS=\frac{t}{t-1}\end{align*}}$
の直角二等辺三角形なので、その面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf U=\underline{\frac{t^2}{2\left(t-1\right)^2}}\end{align*}}$
(３)
△RSTを底面としたときの三角錐の高さはOP=tなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=\frac{1}{3}Ut=\frac{t^3}{6\left(t-1\right)^2}\end{align*}}$
tで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V'&=\sf \frac{3t^2\left(t-1\right)^2-t^3\cdot 2\left(t-1\right)}{6\left(t-1\right)^4} \\ &=\sf \frac{t^2\left(t-3\right)}{6\left(t-1\right)^4}\end{align*}}$
Vの増減は次のようになる。
よって、t=3のときVは最小となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_{min}=\underline{\frac{9}{8}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/08/15(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2018(生命医科)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第３問
xを正の数、rを0でない実数とする。定積分では、積分変数以外の変数は定数とみなして
積分するものとする。定積分で表される関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf f_r(x)=\int_0^{\frac{r}{\sqrt{x}}}e^{-xt^2}dt\ ,\ \ \ g_r(x)=\int_0^{\frac{r}{\sqrt{x}}}|t|\ e^{-xt^2}dt\end{align*}}$
を考えて、
$\small\sf{\begin{align*}\sf f_{-}(x)=\lim_{r\rightarrow -\infty}f_r(x)\ ,\ \ f_{+}(x)=\lim_{r\rightarrow +\infty}f_r(x)\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*}\sf g_{-}(x)=\lim_{r\rightarrow -\infty}g_r(x)\ ,\ \ g_{+}(x)=\lim_{r\rightarrow +\infty}g_r(x)\end{align*}}$
とする。次の問いに答えよ。
(１) 関数$\small\sf{\begin{align*}\sf p(u)=e^{-u^2}\end{align*}}$ の導関数$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{dp}{du}\end{align*}}$ を求めよ．
(２) 定積分$\small\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf r}\sf =\int_0^rue^{-u^2}du\end{align*}}$ を求め、極限$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{r\rightarrow +\infty}\rm I_{\sf r} \end{align*}}$ を求めよ。
(３) 定積分$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^r|u|e^{-u^2}du\end{align*}}$ をCrとおく。関数$\small\sf{\begin{align*}\sf g_r(x)\end{align*}}$ をCr、xで表せ。さらに、2つの関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf g_{-}(x)\ ,\ g_{+}(x)\end{align*}}$ をそれぞれxの式で表せ。
(４) 定積分$\small\sf{\begin{align*}\sf D_r=\int_0^r e^{-u^2}du\end{align*}}$ に対して、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{r\rightarrow +\infty}D_r=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\end{align*}}$ であることが知られている。これを用いて、
2つの関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf h_{-}(x)=f_{-}(x)-g_{-}(x)\ ,\ \ h_{+}(x)=f_{+}(x)-g_{+}(x)\end{align*}}$
をそれぞれxの式で表し、それぞれの関数の極値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dp}{du}=e^{-u^2}\cdot\left(-e^{-u^2}\right)'=\underline{2-ue^{-u^2}}\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf &=\sf ue^{-u^2}=\left(-\frac{1}{2}e^{-u^2}\right)'\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf r}&=\sf \int_0^rue^{-u^2}du \\ &=\sf \int\left(-\frac{1}{2}e^{-u^2}\right)'du\\ &=\sf \left[-\frac{1}{2}e^{-u^2}\right]_0^r\\ &=\sf \underline{\frac{1}{2}\left(1-e^{-r^2}\right)}\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf u=\sqrt{x}\ t\end{align*}}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{du}{dt}=\sqrt{x}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_{r}(x)&=\sf\int_0^{\frac{r}{\sqrt{x}}}|t|\ e^{-xt^2}dt \\ &=\sf \int_0^r\frac{|u|}{\sqrt{x}}e^{-u^2}\cdot\frac{du}{\sqrt{x}}\\ &=\sf \frac{1}{x}\int_0^r|u|e^{-u^2}du\\ &=\sf \underline{\frac{C_r}{x}}\end{align*}}$
r＞0のとき、|u|=uなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_r(x)=\frac{1}{x}\int_0^rue^{-u^2}du=\frac{1}{2}\left(1-e^{-r^2}\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_{+}(x)&=\sf \lim_{r\rightarrow +\infty}g_r(x)=\underline{\frac{1}{2x}}\ \ \ \left(\because\ 0\lt e^{-r^2}\lt 1\right)\end{align*}}$
一方、r＜0のとき、|u|=-uなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_r(x)=-\frac{1}{x}\int_0^rue^{-u^2}du=-\frac{1}{2}\left(1-e^{-r^2}\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g_{-}(x)&=\sf \lim_{r\rightarrow +\infty}g_r(x)=\underline{-\frac{1}{2x}}\ \ \ \left(\because\ 0\lt e^{-r^2}\lt 1\right)\end{align*}}$
(４)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf u=\sqrt{x}\ t\end{align*}}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_r(x)&=\sf \int_0^{\frac{r}{\sqrt{x}}}e^{-xt^2}dt \\ &=\sf \int_0^re^{-u^2}\cdot\frac{du}{\sqrt{x}}\\ &=\sf \frac{D_r}{\sqrt{x}}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h_{+}(x)&=\sf f_{+}(x)-g_{+}(x) \\ &=\sf \frac{1}{\sqrt{x}}\lim_{r\rightarrow +\infty}D_r-\frac{1}{2x}\\ &=\sf \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2x}\\ &=\sf \underline{\frac{\sqrt{\pi x}-1}{2x}}\end{align*}}$
導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h_{+}'(x)=\sf -\frac{\sqrt{\pi x}-2}{4x^2}\end{align*}}$
なので、増減は次のようになる。
よって、h+(x)は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{4}{\pi}\end{align*}}$ で極大値$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{\pi}{8}}\end{align*}}$ をとる。
一方、関数p(u)は偶関数なので、r＜0のとき 、$\scriptsize\sf{r=-s}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{r\rightarrow -\infty}D_r&=\sf \lim_{s\rightarrow +\infty}\int_0^{-s}e^{-u^2}du \\ &=\sf -\lim_{s\rightarrow +\infty}\int_0^{s}e^{-u^2}du\\ &=\sf -\frac{\sqrt{\pi}}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h_{-}(x)&=\sf f_{-}(x)-g_{-}(x) \\ &=\sf -\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x}\\ &=\sf \underline{-\frac{\sqrt{\pi x}-1}{2x}}\end{align*}}$
となり、h-(x)は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{4}{\pi}\end{align*}}$ で極小値$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{-\frac{\pi}{8}}\end{align*}}$ をとる。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/08/16(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2018(生命医科)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第４問
nを自然数とし、$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{1}{1+e^x}\end{align*}}$ とする。第n次導関数$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{d^ny}{dx^n}\end{align*}}$ は、xを含まないyの式で表すと、
yの(n+1)次式になることが知られている。このyの(n+1)次式をfn(y)とする。また、
fn(y)のyn+1の係数をan、ynの係数をbnとする。次の問いに答えよ。
(１) exをxを含まないyの式で表せ。
(２) f1(y)を求めよ。また、a1、b1を求めよ。
(３) a2、b2を求めよ。
(４) 数列{an}を考える。an+1をanとnの式で表せ。また、数列{an}の一般項を
求めよ。
(５) 数列{bn}を考える。bn+1をbnとnの式で表せ。また、数列{bn}の一般項を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{1}{1+e^x}\ (\ne 0)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 1+e^x=\frac{1}{y} \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf e^x=\frac{1}{y}-1=\underline{\frac{1-y}{y}}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{dx}&=\sf -\frac{e^x}{\left(1+e^x\right)^2} \\ &=\sf -\frac{\frac{1-y}{y}}{\left(1+\frac{1-y}{y}\right)^2}\\ &=\sf \underline{y^2-y}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\underline{a_1=1\ ,\ \ b_1=-1}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{d^2y}{dx^2}&=\sf \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) \\ &=\sf \frac{d}{dx}\left(y^2-y\right)\cdot\frac{dy}{dx}\\ &=\sf \left(2y-1\right)\left(y^2-y\right)\\ &=\sf \underline{2y^3-3y^2+y}\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\underline{a_2=2\ ,\ \ b_2=-3}}$
(４)
高々n-1次式の$\scriptsize\sf{g_n(y)}$ を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_n(y)=a_ny^{n+1}+b_ny^n+g_n(y)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_{n+1}(y)&=\sf \frac{d}{dy}\left\{a_ny^{n+1}+b_ny^n+g_n(y)\right\}\cdot\frac{dy}{dx} \\ &=\sf \left\{(n+1)a_ny^n+nb_ny^{n-1}+g_n'(y)\right\}\left(y^2-y\right)\\ &=\sf (n+1)a_ny^{n+2}+\left\{nb_n-(n+1)a_n\right\}y^{n+1}+nb_ny^n+(y^2-y)g_n'(y)\ \ \ \cdots\cdots (*)\end{align*}}$
この式において$\scriptsize\sf{nb_ny^n+(y^2-y)g_n'(y)}$ は高々n次式なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}=\underline{(n+1)a_n}\end{align*}}$
これより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n&=\sf na_{n-1} \\ &=\sf n(n-1)a_{n-2}\\ &\ \vdots\\ &=\sf n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2a_1\\ &=\sf \underline{n!}\end{align*}}$
(５)
(*)と(４)の結果より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_{n+1}&=\sf nb_n-(n+1)a_n\\ &=\sf nb_n-(n+1)\cdot n!\\ &=\sf \underline{nb_n-(n+1)!}\end{align*}}$
両辺をn!で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{b_{n+1}}{n!}=\frac{b_n}{(n-1)!}-n-1\end{align*}}$
となるので、n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{b_n}{(n-1)!}&=\sf \frac{b_1}{(1-1)!}+\sum_{k=1}^{n-1}(-k-1) \\ &=\sf -1-\frac{1}{2}n(n-1)-(n-1)\\ &=\sf -\frac{1}{2}n\left(n+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=-\frac{1}{2}n\left(n+1\right)\cdot (n-1)!=\underline{-\frac{1}{2}n\left(n+1\right)!}\end{align*}}$
これはn=1のときも成り立つ。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/08/17(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2018(生命医科)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
