第２問
数列{an}の初項から第n項までの和Snが
Sn=3an+2n2 （n=1，2，3，･･･)
であるとする。次の問いに答えよ。
(１) a1、a2、S1、S2を求めよ。
(２) an+1をanとnで表せ。
(３) bn=an+1-an (n=1，2，3，･･･)とおく。数列{bn}の一般項を求めよ。
(４) 数列{an}の一般項を求めよ。
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【解答】
(１)
n=1を代入すると、a1=S1より
$\scriptsize\sf{a_1=3a_1+2\ \ \Leftrightarrow\ \ a_1=\underline{-1}}$
n=2を代入すると、
$\scriptsize\sf{a_1+a_2=3a_2+8\ \ \Leftrightarrow\ \ a_2=\underline{-\frac{9}{2}}}$
これらより
$\scriptsize\sf{S_1=\underline{-1}\ \ ,\ \ S_2=-1-\frac{9}{2}=\underline{-\frac{11}{2}}}$
(２)
$\scriptsize\sf{S_{n+1}=S_n+a_{n+1}}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ 3a_{n+1}+2\left(n+1\right)^2=\left(3a_n+2n^2\right)+a_{n+1}}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}=\underline{\frac{3}{2}a_n-2n-1}}$
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{a_{n+2}=\frac{3}{2}a_{n+1}-2\left(n+1\right)-1}$
$\scriptsize\sf{a_{n+1}=\frac{3}{2}a_n-2n-1}$
これら2式の差をとると
$\scriptsize\sf{a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{3}{2}\left(a_{n+1}-a_n\right)-2}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}=\frac{3}{2}b_n-2}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}-4=\frac{3}{2}\left(b_n-4\right)}$
数列{bn-4}は等比数列をなし、
$\scriptsize\sf{b_1-4=a_2-a_1-4=-\frac{15}{2}}$
なので、
$\scriptsize\sf{b_n-4=-\frac{15}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\underline{4-\frac{15}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}}}$
(４)
(３)より
$\scriptsize\sf{a_{n+1}=a_n+b_n=a_n+4-\frac{15}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}}$
これと(２)より
$\scriptsize\sf{a_n+4-\frac{15}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}=\frac{3}{2}a_n-2n-1}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\underline{4n-15\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}+10}}$
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- 2018/02/23(金) 23:57:00|
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第３問
Oを原点とする座標空間内に2点A(-1，2，1)、B(3，0，1)と
xy平面上の点P(x，y，0)を考える。次の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\overrightarrow{AP}}$、$\small\sf{\overrightarrow{BP}}$ を求めよ。
(２) 条件 $\small\sf{|\overrightarrow{AP}|=|\overrightarrow{BP}|}$ を満たす点Pはxy平面上のどのような図形上に
あるか。この図形の方程式をx、yで表せ。
(３) 条件 ∠APB=$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ を満たす点Pはxy平面上のどのような図形上に
あるか。この図形の方程式をx、yで表せ。
(４) 2つの条件 $\small\sf{|\overrightarrow{AP}|=|\overrightarrow{BP}|}$ 、∠APB=$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ をともに満たす点Pでy座標
が正であるものを求めよ、
(５) tを実数として点C(t，0，1)を考える。tをある値に定めたとき
条件∠APC=$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ を満たす点Pがxy平面上でただ1つ定まる。
このときのtの値と点Pの座標を求めよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{AP}=\underline{\left(x+1,y-2,-1\right)}\ \ ,\ \ \overrightarrow{BP}=\underline{\left(x-3,y,-1\right)}}$
(２)
$\small\sf{|\overrightarrow{AP}|=|\overrightarrow{BP}|}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(-1\right)^2=\left(x-3\right)^2+y^2+\left(-1\right)^2}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{2x-y-1=0}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=\left(x+1\right)\left(x-3\right)+\left(y-2\right)y+1=0}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{x^2+y^2-2x-2y-2=0}}$
(４)
(２)、(３)の式からxを消去すると、
$\scriptsize\sf{\left(\frac{y+1}{2}\right)^2+y^2-2\cdot\frac{y+1}{2}-2y-2=0}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ 5y^2-10y-11=0}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{5\pm 4\sqrt5}{5}}$
y＞0より
$\scriptsize\sf{\underline{P\left(\frac{5+2\sqrt5}{5},\frac{5+4\sqrt5}{5}\right)}}$
(５)
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{CP}=\left(x-t,y,-1\right)}$
なので、
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{CP}=\left(x+1\right)\left(x-t\right)+\left(y-2\right)y+1=0}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+y^2+\left(1-t\right)x-2y-t+1=0}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x+\frac{1-t}{2}\right)^2+\left(y-1\right)^2=\frac{t^2+2t+1}{2}\ \cdots\cdots\ (*)}$
これを満たすx、yがただ1組なので
$\scriptsize\sf{\frac{t^2+2t+1}{2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{t=-1}}$
このとき
$\scriptsize\sf{(*)\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=0}$
なので、
$\scriptsize\sf{P\left(x,y\right)=\underline{\left(-1,1\right)}}$
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第４問
rを正の実数θを0≦θ＜2$\small\sf{\pi}$ を満たす実数として、
$\small\sf{x=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta\ \ ,\ \ y=\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta}$
で定まる座標平面上の点P(x，y)を考える。次の問いに答えよ。
(１) r=$\small\sf{\sqrt2}$ 、θ=$\small\sf{\frac{\pi}{4}}$ のとき、点Pの座標を求めよ。
(２) r=$\small\sf{\sqrt2}$ とする。θの値が0≦θ＜2$\small\sf{\pi}$ の範囲で変化するとき、点Pの描く
曲線C1の方程式をx、yで表せ。
(３) (２)の曲線C1のうち、θの値が0≦θ≦$\small\sf{\frac{\pi}{4}}$ の範囲に対応する部分をC2
とする。x軸、y軸、直線y=$\small\sf{\frac{1}{2}}$ および曲線C2で囲まれた部分の面積を
求めよ。
(４) θ=$\small\sf{\frac{\pi}{4}}$ とする。rの値がr＞0の範囲で変化するとき、点Pの描く曲線C3
の方程式をxとyで表せ。
(５) (３)の曲線C2、(４)の曲線C3およびx軸で囲まれた部分の面積を
求めよ。
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【解答】
(１)
r=$\scriptsize\sf{\sqrt2}$ 、θ=$\scriptsize\sf{\frac{\pi}{4}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{P\left(\left(\sqrt2+\frac{1}{\sqrt2}\right)\cos\frac{\pi}{4},\left(\sqrt2-\frac{1}{\sqrt2}\right)\sin\frac{\pi}{4}\right)=\underline{\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)}}$
(２)
$\scriptsize\sf{x=\left(\sqrt2+\frac{1}{\sqrt2}\right)\cos\theta=\frac{3}{\sqrt2}\cos\theta\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta=\frac{\sqrt2}{3}x}$
$\scriptsize\sf{y=\left(\sqrt2-\frac{1}{\sqrt2}\right)\sin\theta=\frac{1}{\sqrt2}\sin\theta\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\theta=\sqrt2\ y}$
なので、
$\scriptsize\sf{\sin^2\theta+\cos^2\theta=\left(\sqrt2\ y\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{3}x\right)^2=1}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ C_1:\ \underline{\frac{2}{9}x^2+2y^2=1}}$
(３)
$\scriptsize\sf{C_2:\ x=\frac{3}{\sqrt2}\cos\theta\ ,\ y=\frac{1}{\sqrt2}\sin\theta\ \ \ \left(0\leq \theta\leq\frac{\pi}{4}\right)}$
に対して、
$\scriptsize\sf{\frac{dy}{d\theta}=\frac{1}{\sqrt2}\cos\theta}$
$\scriptsize\sf{y=\frac{1}{\sqrt2}\sin\theta=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=0}$
$\scriptsize\sf{y=\frac{1}{\sqrt2}\sin\theta=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\pi}{4}}$
なので、求める面積をS1とすると、
$\scriptsize\sf{S_1=\int_0^{1/2}x\ dy}$
$\scriptsize\sf{=\int_0^{\pi/4}\frac{3}{\sqrt2}\cos\theta\cdot\frac{1}{\sqrt2}\cos\theta d\theta}$
$\scriptsize\sf{=\frac{3}{2}\int_0^{\pi/4}\cos^2\theta\ d\theta}$
$\scriptsize\sf{=\frac{3}{4}\int_0^{\pi/4}\left(1+\cos 2\theta\right) d\theta}$
$\scriptsize\sf{=\frac{3}{4}\left[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_0^{\pi/4}}$
$\scriptsize\sf{=\underline{\frac{3}{16}\pi+\frac{3}{8}}}$
(４)
θ=$\scriptsize\sf{\frac{\pi}{4}}$ のとき
$\scriptsize\sf{x=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt2}\left(r+\frac{1}{r}\right)}$ より$\scriptsize\sf{x^2=\frac{1}{2}\left(r^2+\frac{1}{r^2}+2\right)}$
$\scriptsize\sf{y=\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt2}\left(r-\frac{1}{r}\right)}$ より$\scriptsize\sf{y^2=\frac{1}{2}\left(r^2+\frac{1}{r^2}-2\right)}$
これら2式の差をとると
$\scriptsize\sf{x^2-y^2=2}$
一方、r＞0なので、相加・相乗平均より
$\scriptsize\sf{x=\frac{1}{\sqrt2}\left(r+\frac{1}{r}\right)\geq\frac{1}{\sqrt2}\cdot 2\sqrt{r\cdot\frac{1}{r}}=\sqrt2}$
よって、C3の方程式は
$\scriptsize\sf{\underline{x^2-y^2=2\ \ \ \left(\sqrt2\leq x\right)}}$
(５)
$\scriptsize\sf{C_3:\ x=\frac{1}{\sqrt2}\left(r+\frac{1}{r}\right)\ \ ,\ \ y=\frac{1}{\sqrt2}\left(r-\frac{1}{r}\right)}$
に対して、
$\scriptsize\sf{\frac{dy}{dr}=\frac{1}{\sqrt2}\left(1+\frac{1}{r^2}\right)}$
$\scriptsize\sf{y=\frac{1}{\sqrt2}\left(r-\frac{1}{r}\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ r=0\ (>0)}$
$\scriptsize\sf{y=\frac{1}{\sqrt2}\left(r-\frac{1}{r}\right)=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ r=\sqrt2\ \ (>0)}$
なので、曲線C3、x軸、y軸および直線y=$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ で囲まれた部分の面積をS2
とすると、
$\scriptsize\sf{S_2=\int_0^{1/2}x\ dy}$
$\scriptsize\sf{=\int_1^{\sqrt2}\frac{1}{\sqrt2}\left(r+\frac{1}{r}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt2}\left(1+\frac{1}{r^2}\right)dr}$
$\scriptsize\sf{=\frac{1}{2}\int_1^{\sqrt2}\frac{2}{r}+\frac{r^4+2r^2+1}{r^3}\ dr}$
$\scriptsize\sf{=\frac{1}{2}\int_1^{\sqrt2}\left(r+\frac{2}{r}+\frac{1}{r^3}\right)dr}$
$\scriptsize\sf{=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}r^2+2\log|r|-\frac{1}{2r^2}\right]_1^{\sqrt2}}$
$\scriptsize\sf{=\frac{3}{8}+\log\sqrt2}$
よって、2曲線C2、C3およびx軸で囲まれた部分の面積は
$\scriptsize\sf{S_1-S_2=\left(\frac{3}{16}\pi+\frac{3}{8}\right)-\left(\frac{3}{8}+\log\sqrt2\right)=\underline{\frac{3}{16}\pi-\log\sqrt2}}$
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- 2018/02/25(日) 23:57:00|
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