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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018同志社大 理系(全学部) 数学1 (1)



第1問

  次の    に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた   
  中に記入せよ。

 (1) iを虚数単位とする。複素数$\small\sf{\begin{align*} \sf z=18\sqrt3+18i\end{align*}}$ のとき、zの絶対値|z|=
     ア  、zの偏角$\small\sf{\theta\ \ (0\leqq\theta\lt2\pi)}$ とすると、$\small\sf{\theta}$ = イ  .
    複素数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \gamma=\frac{1}{49}+\frac{\sqrt3}{49}i\end{align*}}$ とすると、γ7zの実部は ウ  .
    次に、a、bを実数とし、複素数w=a+biとする。実数a、bのどのような値に
    対しても、不等式|a|+|b|≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{m}\end{align*}}$|w|が成り立つような自然数mのうち最小の
    ものは エ  .
    複素数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ に対する不等式$\small\sf{\sf |\alpha|-|\beta\leqq|\alpha+\beta|\leqq|\alph|+|\beta|}$ を用いると、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\left|\frac{\left(k\cos k-\sin k\right)+k^2i}{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}\right|\end{align*}}$ = オ 


2018同志社大 理系(全学部) 数学1 (2)



第1問

  次の    に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた   
  中に記入せよ。

 (2)
    kを3以上の整数とする。1からkまでの番号を1つずつつけたk個の玉と、
    同様に番号をつけたk個の箱を用意する。このk個の玉を1つの袋に入れ、
    この袋から玉を1個ずつ取り出して番号が1の箱から順に1個ずつすべて
    の箱に入れていく。このとき、袋から一度取り出した玉は袋に戻さないと
    する。すべての箱で玉の番号と箱の番号が異なる事象を考える。
    この事象の起こる場合の数をN(k)とし、この事象が起こる確率をP(k)と
    すると、N(3)= カ  、P(3)= キ  .
    また、N(4)= ク  であり、N(5)= ケ  (N(4)+N(3))であるので、
    一般のkのときの確率の関係式はP(k+2)=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{k+1}{k+2}\end{align*}}$ P(k+1)+ コ  P(k).



2018同志社大 理系(全学部) 数学2



第2問

  関数f(x)=xexとする。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dx}f\left(x\right)\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d^2}{dx^2}f\left(x\right)\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 関数f(x)はx=aで最小値f(a)をとるとする。a、f(a)を求めよ。

 (3) 曲線y=f(x)の変曲点を(b,f(b))とする。b、f(b)を求めよ。

 (4) (2)のaと(3)のbに対して、曲線y=f(x)のうちで2点(a,f(a))、(b,f(b))
    の間の部分をCとする。曲線Cと直線x=a、x=bおよびx軸で囲まれた部分
    の面積をSとする。Sを求めよ。

 (5) (4)の囲まれた部分をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をVと
    する。Vを求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/02/11(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2018(全学部)
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2018同志社大 理系(全学部) 数学3



第3問

  Oを原点とする座標空間内の2点M(0,0,2)、A(1,1,1)を考える。
  実数$\small\sf{\theta}$ は$\small\sf{0\leqq\theta\lt2\pi}$ を満たすとする。点Mを中心とする平面z=2上
  の半径$\small\sf{ \sqrt2}$ の円をSとし、円S上の点Pの座標を$\small\sf{\sf P\left(\sqrt2\cos\theta,\ \sqrt2\sin\theta,\ 2\right)}$
  とする。直線MAとxy平面の交点をNとし、直線PAと平面xyの交点を
  Qとする。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{ \overrightarrow{MN}=t\overrightarrow{MA}}$ となる、実数tを求め、点Nの座標を求めよ。

 (2) 点Qの座標を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (3) ∠OQNが直角となる$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。

 (4) 点Pが円S上を動くとき、点Qの軌跡を求めよ。

 (5) 点Pが円S上を動くとき、線分OQが通過してできる図形の面積を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/02/12(月) 23:57:00|
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2018同志社大 理系(全学部) 数学4



第4問

  nを2以上の整数とする。関数r(t)、f(x)を次のように定める。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf r\left(t\right)=\left(t+1\right)\log\left(1+\frac{4}{t}\right)\ \ \ \ \ \left(t>0\right)\end{align*}}$
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n}-e^{-x}\ \ \ \ \ \left(x\geqq 0\right)\end{align*}}$
  次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=e\end{align*}}$ を用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}r\left(t\right)\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dt}r\left(t\right)\ ,\ \frac{d^2}{dt^2}r\left(t\right)\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) t≧2のとき、関数r(t)の増減を調べることにより、r(t)<4であること
    を示せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf g\left(x\right)=\left(n+1\right)\log\left(1+\frac{x}{n}\right)-x\ \ \ \left(x\geqq 0\right)\end{align*}}$ とする。関数$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)の増減を調べ
    ることにより、$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (1)>0であることを示せ。さらに、関数r(t)を用いる
    ことにより、$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (4)が正であるか負であるかを理由をつけて述べよ。

 (5) 関数f(x)が最大値をとるときのxの値をpnとする。pnは1<pn<4を
    満たすことを示せ。

 (6) (5)のpnに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}f\left(p_n\right)=0\end{align*}}$ であることを示せ。



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  1. 2018/02/13(火) 23:57:00|
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