第1問
次の に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた の
中に記入せよ。
(2)
kを3以上の整数とする。1からkまでの番号を1つずつつけたk個の玉と、
同様に番号をつけたk個の箱を用意する。このk個の玉を1つの袋に入れ、
この袋から玉を1個ずつ取り出して番号が1の箱から順に1個ずつすべて
の箱に入れていく。このとき、袋から一度取り出した玉は袋に戻さないと
する。すべての箱で玉の番号と箱の番号が異なる事象を考える。
この事象の起こる場合の数をN(k)とし、この事象が起こる確率をP(k)と
すると、N(3)= カ 、P(3)= キ .
また、N(4)= ク であり、N(5)= ケ (N(4)+N(3))であるので、
一般のkのときの確率の関係式はP(k+2)=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{k+1}{k+2}\end{align*}}$ P(k+1)+ コ P(k).
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
カ 2 キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ ク 9 ケ 4 コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{k+2}\end{align*}}$
【解説】
箱1，2，･･･，kの中に入っている玉の数字を順にa1，a2，･･･，akとおく。
「すべての箱で玉の番号と箱の番号が異なる」という条件を(A)とおく。
(カ)
k=3のとき、条件(A)を満たすのは
(a1，a2，a3)=(2，3，1，)、(3，1，2，)
なので、N(3)=2
(キ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(3\right)=\frac{2}{3!}=\underline{\frac{1}{3}}\end{align*}}$
(ク)
k=4のとき、条件(A)を満たすのは
(a1，a2，a3，a4)=(2，1，4，3)、(2，3，4，1)、(2，4，1，3)、
(3，1，4，2)、(3，4，1，2)、(3，4，2，1)、
(4，1，2，3)、(4，3，1，2)、(4，3，2，1)
なので、N(4)=9
(ケ)
k=5のとき、(A)を満たす組(a1，･･･，a5)のうち、
(ⅰ)a4=5 かつ a5=4であるとき、a1、a2、a3は、
a1≠1 かつ a2≠2 かつ a3≠3を満たす3数なので、
その組み合わせはN(3)通りある。
(ⅱ)a4=5 かつ a5≠4であるとき、a1、a2、a3、a5は、
a1≠1 かつ a2≠2 かつ a3≠3 かつ a5≠4を満たす4数なので、
その組み合わせはN(4)通りある。
よって、(ⅰ)、(ⅱ)より、a4=5で条件(A)を満たす組はN(3)+N(4)通りある。
a1=5、a2=5、a3=5の場合もそれぞれ同様に考えることができるので、
N(5)=4(N(4)+N(3))
である。
(コ)
(ケ)と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf N\left(k+2\right)=\left(k+1\right)\bigg\{N\left(k+1\right)+N\left(k\right)\bigg\}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(k+2\right)&=\sf \frac{N\left(k+2\right)}{\left(k+2\right)!} \\ &=\sf \frac{\left(k+1\right)\bigg\{N\left(k+1\right)+N\left(k\right)\bigg\}}{\left(k+2\right)!}\\ &=\sf \frac{k+1}{k+2}\cdot\frac{N\left(k+1\right)}{\left(k+1\right)!}+\frac{1}{k+2}\cdot\frac{N\left(k\right)}{k!}\\ &=\sf \frac{k+1}{k+2}P\left(k+1\right)+\underline{\frac{1}{k+2}}P\left(k\right)\end{align*}}$
完全順列と呼ばれるもので、有名な話ではあるのですが、
できなかった人が多かったと思います。
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- 2018/02/10(土) 23:57:00|
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第2問
関数f(x)=xexとする。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dx}f\left(x\right)\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d^2}{dx^2}f\left(x\right)\end{align*}}$ を求めよ。
(2) 関数f(x)はx=aで最小値f(a)をとるとする。a、f(a)を求めよ。
(3) 曲線y=f(x)の変曲点を(b，f(b))とする。b、f(b)を求めよ。
(4) (2)のaと(3)のbに対して、曲線y=f(x)のうちで2点(a，f(a))、(b，f(b))
の間の部分をCとする。曲線Cと直線x=a、x=bおよびx軸で囲まれた部分
の面積をSとする。Sを求めよ。
(5) (4)の囲まれた部分をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をVと
する。Vを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dx}f\left(x\right)=e^x+xe^x=\underline{\left(x+1\right)e^x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d^2}{dx^2}f\left(x\right)=e^x+\left(x+1\right)e^x=\underline{\left(x+2\right)e^x}\end{align*}}$
(2)
(1)より、f’(x)=0となるのはx=-1のみであり、その前後でf’(x)の
符号が負から正に変わるので、x=-1でf(x)は最小となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\underline{-1}\ \ ,\ \ f\left(a\right)=f\left(-1\right)=\underline{-e^{-1}}\end{align*}}$
(3)
(1)より、f”(x)=0となるのはx=-2のみであり、その前後でf”(x)の
符号が変わるので、点(-2，f(-2))は変曲点である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\underline{-2}\ \ ,\ \ f\left(b\right)=f\left(-2\right)=\underline{-2e^{-2}}\end{align*}}$
(4)
(2)、(3)より、Cはx軸より下側にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_{-2}^{-1}\left(-xe^x\right)dx \\ &=\sf \bigg[-xe^x\bigg]_{-2}^{-1}+\int_{-2}^{-1}e^xdx\\ &=\sf \bigg[\left(1-x\right)e^x\bigg]_{-2}^{-1} \\ &=\sf \underline{2e^{-1}-3e^{-2}}\end{align*}}$
(5)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \pi\int_{-2}^{-1}\left(xe^x\right)^2dx \\ &=\sf \pi\bigg[\frac{x^2}{2}e^{2x}\bigg]_{-2}^{-1}-\pi\int_{-2}^{-1}xe^{2x}dx\\ &=\sf \pi\bigg[\frac{x^2}{2}e^{2x}\bigg]_{-2}^{-1}-\pi\left(\bigg[\frac{x}{2}e^{2x}\bigg]_{-2}^{-1}-\int_{-2}^{-1}\frac{1}{2}e^{2x}dx\right)\\ &=\sf \frac{\pi}{4}\bigg[\left(2x^2-2x+1\right)e^{2x}\bigg]_{-2}^{-1}\\ &=\sf \underline{\frac{5e^{-2}-13e^{-4}}{4}\pi}\end{align*}}$
これは標準的な問題です。
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- 2018/02/11(日) 23:57:00|
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第3問
Oを原点とする座標空間内の2点M(0，0，2)、A(1，1，1)を考える。
実数$\small\sf{\theta}$ は$\small\sf{0\leqq\theta\lt2\pi}$ を満たすとする。点Mを中心とする平面z=2上
の半径$\small\sf{ \sqrt2}$ の円をSとし、円S上の点Pの座標を$\small\sf{\sf P\left(\sqrt2\cos\theta,\ \sqrt2\sin\theta,\ 2\right)}$
とする。直線MAとxy平面の交点をNとし、直線PAと平面xyの交点を
Qとする。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{ \overrightarrow{MN}=t\overrightarrow{MA}}$ となる、実数tを求め、点Nの座標を求めよ。
(2) 点Qの座標を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(3) ∠OQNが直角となる$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
(4) 点Pが円S上を動くとき、点Qの軌跡を求めよ。
(5) 点Pが円S上を動くとき、線分OQが通過してできる図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ MN}}$
$\scriptsize\sf{=\overrightarrow{ OM}+t\overrightarrow{ MA}}$
$\scriptsize\sf{=\left(0,0,2\right)+t\bigg\{\left(1,1,1\right)-\left(0,0,2\right)\bigg\}}$
$\scriptsize\sf{=\left(t,t,2-t\right)}$
Nはxy平面上の点なので、
z座標2-t=0 ⇔ t=2
よって、Nの座標は(2，2，0)
(2)
3点P、A、Qは一直線上にあるので、実数sを用いて
$\scriptsize\sf{ \overrightarrow{ AQ}=s\overrightarrow{ AP}}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{ OQ}=\overrightarrow{ OA}+\overrightarrow{ AQ}}$
$\scriptsize\sf{=\overrightarrow{ OA}+s\overrightarrow{ AP}}$
$\scriptsize\sf{=\left(1,1,1\right)+s\bigg\{\left(\sqrt2\ cos\theta,\sqrt2\ sin\theta,2\right)-\left(1,1,1\right)\bigg\}}$
$\scriptsize\sf{=\left(\sqrt2s\ cos\theta-s+1,\sqrt2 s\ sin\theta-s+1,s+1\right)}$
Qはxy平面上の点なので、
z座標s+1=0 ⇔ s=-1
よって、Qの座標は
$\scriptsize\sf{ \underline{\left(2-\sqrt2\cos\theta,2-\sqrt2\ sin\theta,0\right)}}$
(3)
(1)、(2)より
$\scriptsize\sf{ \overrightarrow{ QN}=\left(\sqrt2\cos\theta,\sqrt2\sin\theta,0\right)}$
なので、∠OQN=90°のとき、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{ \overrightarrow{ OQ}\cdot\overrightarrow{ QN}=\sqrt2\cos\theta\left(2-\sqrt2\cos\theta\right)+\sqrt2\sin\theta\left(2-\sqrt2\sin\theta\right)=0}$
$\scriptsize\sf{ \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{\sqrt2}\ \ \ \ \ \ \left(\because\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\right)}$
$\scriptsize\sf{ \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt2}}$
$\scriptsize\sf{ \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{ 0\leqq \theta<2\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{4}\leqq \theta+\frac{\pi}{4}<\frac{9\pi}{4}}$
なので、
$\scriptsize\sf{ \theta+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{6},\frac{13\pi}{6}\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\underline{\frac{7\pi}{12},\frac{23\pi}{12}}}$
(4)
Q(x，y，2)とおくと、
$\scriptsize\sf{ x=2-\sqrt2\cos\theta\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta=\frac{2-x}{\sqrt2}}$
$\scriptsize\sf{ y=2-\sqrt2\sin\theta\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\theta=\frac{2-y}{\sqrt2}}$
なので、
$\scriptsize\sf{ \sin^2\theta+\cos^2\theta=\left(\frac{2-y}{\sqrt2}\right)^2+\left(\frac{2-x}{\sqrt2}\right)^2=1}$
$\scriptsize\sf{ \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=2}$
よって、Qはxy平面上で点N(2，2，0)を中心とする半径$\scriptsize\sf{ \sqrt2}$ の円周上を動く。
(5)
(4)の円をCとし、原点OからCに引いた接線の接点をD、Eとすると、
線分OQは下図の水色部分を通過する。
ここで、
$\scriptsize\sf{ ON=2\sqrt2\ \ ,\ \ ND=NE=\sqrt2\ \ ,\ \ ND\bot OD\ \ ,\ \ NE\bot OE}$
なので、
$\scriptsize\sf{ \angle OND=\angle ONE=\frac{\pi}{3}}$
よって、水色部分の面積は
△OND+△ONE+扇形NDE（大きい方）
より、
$\scriptsize\sf{ \left(\frac{1}{2}\cdot\sqrt2\cdot 2\sqrt2\sin\frac{\pi}{3}\right)\cdot 2+\left(\sqrt2\right)^2\pi\cdot\frac{2}{3}=\underline{2\sqrt3+\frac{4}{3}\pi}}$
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- 2018/02/12(月) 23:57:00|
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第4問
nを2以上の整数とする。関数r(t)、f(x)を次のように定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf r\left(t\right)=\left(t+1\right)\log\left(1+\frac{4}{t}\right)\ \ \ \ \ \left(t>0\right)\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n}-e^{-x}\ \ \ \ \ \left(x\geqq 0\right)\end{align*}}$
次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=e\end{align*}}$ を用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}r\left(t\right)\end{align*}}$ を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dt}r\left(t\right)\ ,\ \frac{d^2}{dt^2}r\left(t\right)\end{align*}}$ を求めよ。
(3) t≧2のとき、関数r(t)の増減を調べることにより、r(t)＜4であること
を示せ。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf g\left(x\right)=\left(n+1\right)\log\left(1+\frac{x}{n}\right)-x\ \ \ \left(x\geqq 0\right)\end{align*}}$ とする。関数$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)の増減を調べ
ることにより、$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (1)＞0であることを示せ。さらに、関数r(t)を用いる
ことにより、$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (4)が正であるか負であるかを理由をつけて述べよ。
(5) 関数f(x)が最大値をとるときのxの値をpnとする。pnは1＜pn＜4を
満たすことを示せ。
(6) (5)のpnに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}f\left(p_n\right)=0\end{align*}}$ であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow\infty}r\left(t\right)&=\sf \lim_{t\rightarrow\infty}t\log\left(1+\frac{4}{t}\right)+\lim_{t\rightarrow\infty}\log\left(1+\frac{4}{t}\right)\\ &=\sf \lim_{t\rightarrow\infty}4\log\left(1+\frac{4}{t}\right)^{\frac{t}{4}}+\log 1\\ &=\sf 4\log e\\ &=\sf \underline{4}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{d}{dt}r\left(t\right)&=\sf \log\left(1+\frac{4}{t}\right)+\left(t+1\right)\cdot\frac{-\frac{4}{t^2}}{1+\frac{4}{t}} \\ &=\sf \underline{\log\left(1+\frac{4}{t}\right)-\frac{4\left(t+1\right)}{t\left(t+4\right)}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{d^2}{dt^2}r\left(t\right)&=\sf \frac{-4}{t\left(t+4\right)}+\frac{4t\left(t+4\right)-4\left(t+1\right)\left(2t+4\right)}{t^2\left(t+4\right)^2} \\ &=\sf \underline{-\frac{8\left(t-2\right)}{t^2\left(t+4\right)^2}} \end{align*}}$
(3)
t≧2のとき、r”(t)≦0より、r’(t)は単調に減少する。
このことと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}r\ '\left(t\right)=\lim_{t\rightarrow\infty}\log\left(1+\frac{4}{t}\right)-\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{4\left(1+\frac{1}{t}\right)}{t+4}=0\end{align*}}$
より、r’(t)＞0となるので、r(t)は単調に増加する。
このことと、(1)よりr(t)＜4が成り立つ。
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(x\right)=\left(n+1\right)\log\left(1+\frac{x}{n}\right)-x\ \ \ \left(x\geqq 0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '\left(x\right)=\left(n+1\right)\cdot\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{x}{n}}-1=-\frac{x-1}{x+n}\end{align*}}$
これより、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$(x)の増減は下表のようになる。
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (1)＞0である。
また、n≧2と(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(4\right)=\left(n+1\right)\log\left(1+\frac{4}{n}\right)-4=r\left(n\right)-4<0\end{align*}}$
(5)
(4)と中間値の定理より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (q)=0となるqが1＜q＜4の範囲にただ1つ
存在する。また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\left(x\right)=\left(n+1\right)\log\left(1+\frac{x}{n}\right)-x&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \log\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n+1}=g\left(x\right)+x\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n+1}=e^{g\left(x\right)+x}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n-1}=e^{-g\left(x\right)-x}\end{align*}}$ ･･････(#)
これより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n}-e^{-x}\ \ \ \ \ \left(x\geqq 0\right)\end{align*}}$
の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(x\right)&=\sf -n\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n-1}\cdot\frac{1}{n}+e^{-x} \\ &=\sf -\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n-1)}+e^{-x}\\ &=\sf -e^{-g\left(x\right)-x}+e^{-x}\\ &=\sf \left(1-e^{-g\left(x\right)}\right)e^{-x}\end{align*}}$
と表せるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(x\right)=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf e^{-g\left(x\right)}=1 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf g\left(x\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=q\end{align*}}$
0≦x＜qの範囲において $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)≧0なので、f’(x)＞0
q＜xの範囲において $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)＜0なので、f’(x)＞0である。
よって、f(x)はx=qで最大となり、pnはqと一致するので、
1＜pn＜4を満たす。
(6)
(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)&=\sf \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n-1}\cdot\left(1+\frac{x}{n}\right)-e^{-x} \\ &=\sf \left(1+\frac{x}{n}\right)e^{-g\left(x\right)-x}-e^{-x} \end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(p_n\right)&=\sf \left(1+\frac{p_n}{n}\right)e^{-g\left(p_n\right)-p_n}-e^{-p_n} \\ &=\sf \frac{p_n}{ne^{p_n}}\ \ \ \ \left(\because\ g\left(p_n\right)=0\right)\end{align*}}$
(5)より、1＜pn＜4なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{ne^{4}}<\frac{1}{ne^{p_n}}<\frac{p_n}{ne^{p_n}}<\frac{4}{ne^{p_n}}<\frac{4}{ne}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{ne^{4}}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{4}{ne}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}f\left(p_n\right)=0\end{align*}}$
である。
ボリュームたっぷりです。
(5)、(6)は厳しいでしょうね
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- 2018/02/13(火) 23:57:00|
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