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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018関西学院大 理系(個別日程) 数学1



第1問

  次の文章中の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号のついた   
  の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

 (1) 円C: x2+y2-y=0の中心の座標は ア  であり、半径は イ  である。
    円Cと直線y=-x+1の交点をA、B とするとき、線分ABの中点の座標は ウ 
    である。また、線分ABの長さは エ  である。

 (2) 1個のさいころを2回続けて投げ、1回目に出た目をX、2回目に出た目をYとする。
    このとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{X}{Y}\end{align*}}$ =1となる確率は オ  であり、$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{X}{Y}\end{align*}}$ >1となる確率は カ  である。
    また、$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{X}{Y}\end{align*}}$ が整数になる確率は キ  である。

 (3) (x-3y)4を展開すると、x2y2の係数は ク  である。また、x4、x3y、x2y2
    xy3、y4の係数の和は ケ  である。
    $\small\sf{\begin{align*}\sf\left(\sqrt6x-\frac{\sqrt2}{\sqrt3x}\right)^6\end{align*}}$ を展開すると、定数項は コ  である。



2018関西学院大 理系(個別日程) 数学2



第2問

  次の文章中の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号のついた   
  の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

 (1) 分母が2の累乗で分子が奇数の分数のうち、正で1より小さいものを並べて下の
    ような数列を作る。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{4}\ ,\ \frac{3}{4}\ ,\ \frac{1}{8}\ ,\ \frac{3}{8}\ ,\ \frac{5}{8}\ ,\ \frac{7}{8}\ ,\ \frac{1}{16}\ ,\ \cdot\ ,\ \frac{15}{16}\ ,\ \cdots\end{align*}}$
    分母が2nの項全体を第n群と呼ぶ。一般に、第n群を$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2^n}\ ,\ \frac{3}{2^n}\ ,\ \cdot\ ,\ \frac{2^n-1}{2^n}\end{align*}}$ の
    ように小さい順に並べた直後に第n+1群を小さい順に並べる。

    第4群は ア  個の項からなり、第4群に属するすべての項の和は イ  である。
    第n群は ウ  個の項からなり、第n群に属するすべての項の和は エ  である。
    初項 $\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ から第 n 群の最後の項までのすべての項の和をSnとすると Sn= オ 
    である。

    第n群の最初の項は、この数列全体の第 カ  項である。第2018項は第 キ 
    群に属する。

 (2) 上の数列の各項を2乗して、下のような新しい数列を作る。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1^2}{2^2}\ ,\ \frac{1^2}{4^2}\ ,\ \frac{3^2}{4^2}\ ,\ \frac{1^2}{8^2}\ ,\ \frac{3^2}{8^2}\ ,\ \frac{5^2}{8^2}\ ,\ \frac{7^2}{8^2}\ ,\ \frac{1^2}{16^2}\ ,\ \cdot\ ,\ \frac{15^2}{16^2}\ ,\ \cdots\end{align*}}$
    分母が22nの項全体をこの数列の第n群と呼ぶ。第n群に属するすべての項の和を
    Tnとし、初項 $\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1^2}{2^2}\end{align*}}$ から第n群の最後の項までのすべての項の和をUnとすると
     Tn=$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{6}\end{align*}}$ ( ク  ) ,
     Un=$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{6}\end{align*}}$ ( ケ  )
    である。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{S_n}{U_n}\end{align*}}$ = コ  である。



2018関西学院大 理系(個別日程) 数学3



第3問

  次の文章中の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号のついた   
  の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

  関数 $\small\sf{f(x)=(1+\sin x)\cos x}$ を考える。

 (1) $\small\sf{f'(x)=(1+\sin x)(1-}$  ア  $\small\sf{\sin x)}$ 、 $\small\sf{f''(x)=-\cos x(1+}$  イ  $\small\sf{\sin x)}$ である。
    0<x<2$\small\sf{\pi}$ においては、f(x)はx= ウ  のとき最小値をとり、曲線y=f(x)の
    変曲点は エ  個ある。

 (2) $\small\sf{\int \sin x\cos xdx=}$  オ  $\small\sf{\cos 2x+C_1}$ 、 $\small\sf{\begin{align*}\sf \int\sin^2x\cos^2xdx=\frac{1}{8}x-\end{align*}}$  カ  $\small\sf{\sin 4x+C_2}$ 、
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \int x\sin x\cos xdx=-\frac{x}{4}\cos 2x+\end{align*}}$  キ  $\small\sf{\sin 2x+C_3}$ である。ここで、C1、C2、C3
    積分定数である。

 (3) xy平面において、連立不等式0≦y≦f(x)、0≦x≦$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で表される領域をDとする。
    Dの面積をSとする。また、Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積をV、y軸の
    周りに1回転してできる立体の体積をWとする。このとき、S= ク  、V= ケ 
    W= コ  である。





2018関西学院大 理系(個別日程) 数学4



第4問

  原点Oを中心とする半径1の円周上に点 A、B、Cがある。線分ABを4:5に内分する
  点をDとするとき、点D、O、Cはこの順に1直線上にあり、OD=$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{3}\end{align*}}$ を満たしている。
  $\small\sf{\overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}}$ とおくとき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\overrightarrow{\sf OC}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf OD}}$ で表せ。

 (2) $\small\sf{\overrightarrow{\sf OD}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}}$ を用いて表せ.

 (3) 内積$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}}$ を求めよ。また、線分ABの長さを求めよ。

 (4) ∠BOCと∠BACを求めよ。また、三角形ABCの面積を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/08/25(土) 23:57:00|
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