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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾　青木ゼミの塾長ブログ

2018関西学院大　理系（個別日程）　数学１



第１問

　　次の文章中の　　　 に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号のついた　　　
　　の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

　(１) 円C： x2+y2-y=0の中心の座標は　ア　 であり、半径は　イ　 である。
　　　 円Cと直線y=-x+1の交点をA、B とするとき、線分ABの中点の座標は　ウ　
　　　 である。また、線分ABの長さは　エ　 である。

　(２) 1個のさいころを2回続けて投げ、1回目に出た目をX、2回目に出た目をYとする。
　　　 このとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{X}{Y}\end{align*}}$ =1となる確率は　オ　 であり、$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{X}{Y}\end{align*}}$ ＞1となる確率は　カ　 である。
　　　 また、$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{X}{Y}\end{align*}}$ が整数になる確率は　キ　 である。

　(３) (x-3y)4を展開すると、x2y2の係数は　ク　 である。また、x4、x3y、x2y2、
　　　 xy3、y4の係数の和は　ケ　 である。
　　　 $\small\sf{\begin{align*}\sf\left(\sqrt6x-\frac{\sqrt2}{\sqrt3x}\right)^6\end{align*}}$ を展開すると、定数項は　コ　 である。



2018関西学院大　理系（個別日程）　数学２



第２問

　　次の文章中の　　　 に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号のついた　　　
　　の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

　(１) 分母が2の累乗で分子が奇数の分数のうち、正で1より小さいものを並べて下の
　　　 ような数列を作る。
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{4}\ ,\ \frac{3}{4}\ ,\ \frac{1}{8}\ ,\ \frac{3}{8}\ ,\ \frac{5}{8}\ ,\ \frac{7}{8}\ ,\ \frac{1}{16}\ ,\ \cdot\ ,\ \frac{15}{16}\ ,\ \cdots\end{align*}}$
　　　　分母が2nの項全体を第n群と呼ぶ。一般に、第n群を$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2^n}\ ,\ \frac{3}{2^n}\ ,\ \cdot\ ,\ \frac{2^n-1}{2^n}\end{align*}}$ の
　　　 ように小さい順に並べた直後に第n+1群を小さい順に並べる。

　　　 第4群は　ア　 個の項からなり、第4群に属するすべての項の和は　イ　 である。
　　　 第n群は　ウ　 個の項からなり、第n群に属するすべての項の和は　エ　 である。
　　　 初項 $\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ から第 n 群の最後の項までのすべての項の和をSnとすると Sn=　オ　
　　　 である。

　　　 第n群の最初の項は、この数列全体の第　カ　 項である。第2018項は第　キ　
　　　 群に属する。

　(２) 上の数列の各項を2乗して、下のような新しい数列を作る。
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1^2}{2^2}\ ,\ \frac{1^2}{4^2}\ ,\ \frac{3^2}{4^2}\ ,\ \frac{1^2}{8^2}\ ,\ \frac{3^2}{8^2}\ ,\ \frac{5^2}{8^2}\ ,\ \frac{7^2}{8^2}\ ,\ \frac{1^2}{16^2}\ ,\ \cdot\ ,\ \frac{15^2}{16^2}\ ,\ \cdots\end{align*}}$
　　　 分母が22nの項全体をこの数列の第n群と呼ぶ。第n群に属するすべての項の和を
　　　 Tnとし、初項 $\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1^2}{2^2}\end{align*}}$ から第n群の最後の項までのすべての項の和をUnとすると
　　　　　Tn=$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{6}\end{align*}}$ (　ク　 ) ，
　　　　　Un=$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{6}\end{align*}}$ (　ケ　 )
　　　 である。

　(３)　$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{S_n}{U_n}\end{align*}}$ =　コ　 である。



2018関西学院大　理系（個別日程）　数学３



第３問

　　次の文章中の　　　 に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号のついた　　　
　　の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

　　関数 $\small\sf{f(x)=(1+\sin x)\cos x}$ を考える。

　(１)　$\small\sf{f'(x)=(1+\sin x)(1-}$ 　ア　 $\small\sf{\sin x)}$ 、 $\small\sf{f''(x)=-\cos x(1+}$ 　イ　 $\small\sf{\sin x)}$ である。
　　　 0＜x＜2$\small\sf{\pi}$ においては、f(x)はx=　ウ　 のとき最小値をとり、曲線y=f(x)の
　　　 変曲点は　エ　 個ある。

　(２) $\small\sf{\int \sin x\cos xdx=}$ 　オ　 $\small\sf{\cos 2x+C_1}$ 、 $\small\sf{\begin{align*}\sf \int\sin^2x\cos^2xdx=\frac{1}{8}x-\end{align*}}$ 　カ　 $\small\sf{\sin 4x+C_2}$ 、
　　　 $\small\sf{\begin{align*}\sf \int x\sin x\cos xdx=-\frac{x}{4}\cos 2x+\end{align*}}$ 　キ　 $\small\sf{\sin 2x+C_3}$ である。ここで、C1、C2、C3は
　　　 積分定数である。

　(３) xy平面において、連立不等式0≦y≦f(x)、0≦x≦$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で表される領域をDとする。
　　　 Dの面積をSとする。また、Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積をV、y軸の
　　　 周りに1回転してできる立体の体積をWとする。このとき、S=　ク　 、V=　ケ　 、
　　　 W=　コ　 である。





2018関西学院大　理系（個別日程）　数学４



第４問

　　原点Oを中心とする半径1の円周上に点 A、B、Cがある。線分ABを4：5に内分する
　　点をDとするとき、点D、O、Cはこの順に1直線上にあり、OD=$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{3}\end{align*}}$ を満たしている。
　　$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}}$ とおくとき、次の問いに答えよ。

　(１) $\small\sf{\overrightarrow{\sf OC}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf OD}}$ で表せ。

　(２) $\small\sf{\overrightarrow{\sf OD}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}}$ を用いて表せ．

　(３) 内積$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}}$ を求めよ。また、線分ABの長さを求めよ。

　(４) ∠BOCと∠BACを求めよ。また、三角形ABCの面積を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/08/25(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西学院大　理系　2018(個別)
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