第１問
以下の問いに答えよ。
(１) |z|≦|z-($\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$ +i)|、 |z-z|≦1および|z-2i|≦2を同時にみたす複素数
zに対応する点の領域を複素数平面上に図示せよ。
(２) (１)で得られた領域内の点に対応する複素数のうち、実部が最大となる
ものを$\small\sf{\alpha}$ 、実部と虚部の和が最大となるものを$\small\sf{\beta}$ とするとき、$\small\sf{\alpha}$ と$\small\sf{\beta}$ を求
めよ。
(３) 次の式で定義されるwnの実部をRnとするとき、無限級数 $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}R_n\end{align*}}$ の和を
求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf w_n=\frac{\left\{1+\left(2-\sqrt3\right)i\right\}\left(\sqrt3+i\right)^{3(n-1)}}{2^{4(n-1)}}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots \right)\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
z=x+yi （x、y：実数）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|z\right|\leqq\left|z-\left(\sqrt3+i\right)\right|&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left|x+yi\right|^2\leqq\left|\left(x-\sqrt3\right)+\left(y-1\right)i\right|^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2+y^2\leqq\left(x-\sqrt3\right)^2+\left(y-1\right)^2 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf y\leqq -\sqrt3\ x+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|z-\overline{z}\right|\leqq 1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left|\left(x+yi\right)-\left(x-yi\right)\right|\leqq 1 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left|2yi\right|\leqq 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -\frac{1}{2}\leqq y\leqq\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|z-2i\right|\leqq 2\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+\left(y-2\right)^2\leqq 4\end{align*}}$
これらを同時に満たすzの領域は、下図のようになる。
（境界線上の点も含む）
(２)
下図より、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は直線y=-$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$ x+2 ・・・・・・①と、円x2+(y-2)2=4の
共有点のうち、実部が正の方なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2+\left\{\left(-\sqrt3 x+2\right)-2\right\}^2=4\ \ \Leftrightarrow\ \ x=1\left(>0\right)\ ,\ y=2-\sqrt3\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\underline{1+\left(2-\sqrt3\right)i}\end{align*}}$
また、
x+y=k ⇔ y=-x+k ・・・・・・②
とおき、これが(１)の領域と共有点を持つようにkの値が変化するとき、
①の傾きは$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\sqrt3\end{align*}}$ なので、kが最大になる点$\scriptsize\sf{\beta}$ は下図のように、
①と直線y=$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の共有点となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}=-\sqrt3 x+2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta=\underline{\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i\ }\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w_n&=\sf \frac{\left\{1+\left(2-\sqrt3\right)i\right\}\left(\sqrt3+i\right)^{3(n-1)}}{2^{4(n-1)}} \\ &=\sf \frac{\alpha\left\{2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\right\}^{3(n-1)}}{2^{4(n-1)}}\\ &=\sf \frac{\alpha\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)^{n-1}}{2^{n-1}}\\ &=\sf \alpha\left(\frac{i}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf R_n=\frac{w_n+\overline{w_n}}{2}=\frac{1}{2}\left\{\alpha\left(\frac{i}{2}\right)^{n-1}+\overline{\alpha}\left(-\frac{i}{2}\right)^{n-1}\right\}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\pm\frac{i}{2}\right|^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}R_n&=\sf \frac{\alpha}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{i}{2}}+\frac{\overline{\alpha}}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{i}{2}}\\ &=\sf \frac{1}{2}\left\{\frac{2\alpha}{2-i}+\overline{\left(\frac{2\alpha}{2-i}\right)}\right\}\\ &=\sf Re\left(\frac{2\alpha}{2-i}\right)\\ &=\sf Re\left(\frac{2\left\{1+\left(2-\sqrt3\right)i\right\}}{2-i}\right)\\ &=\sf Re\left(\frac{2\left\{1+\left(2-\sqrt3\right)i\right\}\left(2+i\right)}{5}\right)\\ &=\sf \underline{\frac{2}{5}\sqrt3} \end{align*}}$
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第２問
直交する2つの直線L1とL2がある。L1と平行で距離rの直線をL1のまわりに
1回転してできる円柱をC1、L2と平行で距離rの直線をL2のまわりに1回転
してできる円柱をC2とし、2つの円柱C1とC2の共通部分の立体をDとする。
以下の問いに答えよ。
(１) 直線L1に直交する平面によるDの切り口の概形を図示せよ。
(２) 直線L1とL2を含む平面と平行な平面によるDの切り口の概形を図示せよ。
(３) Dの概形を図示せよ。
(４) Dの体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
L1をx軸、L2をy軸とする座標空間を考えると、C1、C2はそれぞれ
C1： y2+z2≦r2 （-r≦y≦r、 -r≦z≦r)
C2： z2+x2≦r2 （-r≦x≦r、 -r≦z≦r)
と表され、Dはこれらを同時に満たす領域となる。
L1と直行する平面をx=s （-r≦s≦r)とすると、この平面によるDの
断面は、
y2+z2≦r2 （-r≦y≦r、 -r≦z≦r) かつ
z2+s2≦r2 ⇔ -$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{r^2-s^2}\end{align*}}$ ≦z≦$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{r^2-s^2}\end{align*}}$
で表される領域となり、これを図示すると、下図のようになる。
(２)
直線L1とL2を含む平面と平行な平面z=t （-r≦t≦r)とすると、
この平面によるDの断面は、
y2+t2≦r2 ⇔ -$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{r^2-t^2}\end{align*}}$ ≦y≦$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{r^2-t^2}\end{align*}}$ かつ
t2+x2≦r2 ⇔ -$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{r^2-t^2}\end{align*}}$ ≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{r^2-t^2}\end{align*}}$
で表される領域となり、これを図示すると、下図のようになる。
(３)
(１)、(２)よりDの概形は下図のようになる。
(４)
(２)より、Dの体積Vは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \int_{-r}^r\left(2\sqrt{r^2-t^2}\right)^2dt \\ &=\sf 8\int_{0}^r\left(r^2-t^2\right)dt\\ &=\sf 8\left[r^2t-\frac{t^3}{3}\right]_0^r\\ &=\sf \underline{\frac{16}{3}r^3}\end{align*}}$
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第３問
実数$\small\sf{\begin{align*}\sf a\gt \frac{1}{2}\end{align*}}$ に対して、関数f(x)を
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}-\frac{a}{\left(x+1\right)^2}\ \ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$
により定める。f(1)f(2)≧0が成り立つとき、定積分
$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_1^2\left|f\left(x\right)\right|dx\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log\left(1+\frac{1}{x}\right)=\log\frac{x+1}{x}=\log\left(x+1\right)-\log x\end{align*}}$
より、f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(x\right)&=\sf \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{2a}{\left(x+1\right)^3} \\ &=\sf \frac{\left(2a-1\right)x-1}{x\left(x+1\right)^3} \end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a>\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2a-1}>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +\infty}f\left(x\right)=\log 1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}f\left(x\right)=+\infty\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)がf(1)f(2)≧0を満たすとき、
(ⅰ) 1≦x≦2の範囲で常に f(x)≧0
(ⅱ) 1≦x≦2の範囲で常に f(x)≦0
の2つの場合が考えられる。
(ⅰ)となるのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(2\right)=\log\frac{3}{2}-\frac{1}{3}-\frac{a}{9}\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{1}{2}<\right)a\leqq 9\log\frac{3}{2}-3\end{align*}}$
のときであり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_1^2\left|f\left(x\right)\right|dx&=\sf \int_1^2\left\{\log\left(x+1\right)-\log x-\frac{1}{x+1}-\frac{a}{\left(x+1\right)^2}\right\}dx\\ &=\sf \left[\left(x+1\right)\log\left(x-1\right)-\left(x+1\right)-x\log x+x-\log\left|x+1\right|+\frac{a}{x+1}\right]_1^2\\ &=\sf \underline{\log\frac{9}{8}-\frac{a}{6}}\end{align*}}$
(ⅰ)となるのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(1\right)=\log2-\frac{1}{2}-\frac{a}{4}\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ 4\log 2-2\leqq a\end{align*}}$
のときであり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_1^2\left|f\left(x\right)\right|dx&=\sf -\int_1^2\left\{\log\left(x+1\right)-\log x-\frac{1}{x+1}-\frac{a}{\left(x+1\right)^2}\right\}dx\\ &=\sf \underline{-\log\frac{9}{8}+\frac{a}{6}}\end{align*}}$
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第４問
以下の問いに答えよ。
(１) いくつかのデータを比べるとき、それぞれのデータの特徴を1つの
数値で表すと比較しやすい。そのような数値を代表値という。
代表値としてよく用いられるもののうち3つを挙げ、それぞれの定義
を述べよ。
(２) 次の2つの表は、糖尿病患者100人（表A）と糖尿病でない健常者
100人（表B）を対象に採血検査「HbA1c」の結果を度数分布表の
形にまとめたものである。（ここではHbA1cの値を小数点以下四捨
五入していることに留意せよ。）
表A（糖尿病患者）
表B（糖尿病でない健常者）
(1)で回答した3つの代表値を、表Aおよび表Bに対してそれぞれ
求めよ。
(３) 表Aと表B、2つのデータを用いて、糖尿病か否かを判断したい。
このため判断に用いる値cを定めて、HbA1cの値がc以上なら
糖尿病である、c未満なら糖尿病でないとする判定方法を採用する。
そして、健常者を糖尿病としてしまう人数と糖尿病患者を健常者と
してしまう人数の合計を総数の200で割った比率を誤診率と定義
する。このとき、上記200人のデータに対して、誤診率が最小に
なるようなcの値を求めよ。
(４) (３)においては、「健常者を糖尿病としてしまう人数と糖尿病患者
を健常者としてしまう人数の合計」によって誤診率を定義したが、
その他にどのような定義が考えられるか。別の定義を新たに2つ
与えて、その意図するところを述べよ。
(補足) この問題に用いた上記データは架空のものである。実際の診療で
は、検査値「HbA1c」だけによるのではなく、症状、病歴、生活習慣、
ほかの検査結果などを総合して診断が行われる。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
平均値
全データの値の総和をデータの大きさで割ったもの
中央値
データを値の大きさの順に並べた時に中央の位置にくる値
最頻値
もっとも個数の多い値
(２)
平均値
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A\cdots\cdots\ \frac{3\cdot 0+4\cdot 0+5\cdot 8+6\cdot 18+7\cdot 28+8\cdot 25+9\cdot 14+10\cdot 7}{100}=\underline{7.4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B\cdots\cdots\ \frac{3\cdot 9+4\cdot 15+5\cdot 26+6\cdot 22+7\cdot 15+8\cdot 9+9\cdot 4+10\cdot 0}{100}=\underline{5.62}\end{align*}}$
中央値
A･･････値が大きい方から50番目、51番目の人はともにHbA1c値
が7なので、中央値は7
B･･････値が小さい方から50番目の人のHbAlc値は5、51番目の
人のHbA1c値は6なので、中央値は5.5
最頻値
A･･････7
B･･････5
(３)
表AおよびBにおいて、HbA1cの値がn （n=3，4，･･･，10）である人数を
それぞれxn、ynとおくと、(３)で定義された誤診率R(n)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf R\left(n\right)=\frac{1}{200}\left(\sum_{k=3}^{n}x_k+\sum_{k=n+1}^{10}y_k\right)\ \ \ \ \left(n=3,4,\cdots ,9\right)\end{align*}}$
と表すことができる。n=3，4，･･･，9に対してそれぞれ値を求めていくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf R\left(3\right)=\frac{191}{200}\ \ ,\ \ R\left(4\right)=\frac{176}{200}\ \ ,\ \ R\left(5\right)=\frac{158}{200}\ \ ,\ \ R\left(6\right)=\frac{154}{200}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf R\left(7\right)=\frac{167}{200}\ \ ,\ \ R\left(8\right)=\frac{183}{200}\ \ ,\ \ R\left(9\right)=\frac{193}{200}\end{align*}}$
となり、n=6のとき最小となる。
よって、c=6.5とすれば、誤診率は最小となる。
(４)
[定義１]
健常者を糖尿病としてしまう人数を100で割った比率
[定義２]
糖尿病患者を健常者としてしまう人数を100で割った比率
(Ⅰ) 健常者を糖尿病と誤診してしまったときのリスク
(Ⅱ) 糖尿病患者を健常者と誤診してしまったときのリスク
としたとき、(Ⅰ)が(Ⅱ)より大きい場合は定義1を、
(Ⅱ)が(Ⅰ)より大きい場合は定義2を用いればよい。
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