第１問
次の各問いについて答えだけを書け。
(１) 不等式9×2x+15×4x-2×8x＞8 を解け。
(２) 定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_1^{1+\sqrt3}\frac{x^3}{x^2-2x+2}\end{align*}}$ を求めよ。
(３) 等比数列{an}、等差数列{bn}と自然数k （k≧4）があって、a1= b1、
a2=b2、 a3=bkを満たしている。a4=bmとなるmをkの式で表せ。
ただし、a1≠a2 とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
t=2x （＞0)とおくと、与式は
9t+15t2-2t3＞8
⇔ 2t3-15t2-9t+8＜0
⇔ (t+1)(2t-1)(t-8)＜0
t＞0、および2＞1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\lt t\lt 8\ \ \Leftrightarrow\ \ 2^{-1}\lt 2^x\lt 2^3\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{-1\lt x\lt 3}\end{align*}}$
(２)
与えられた定積分をIとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf I&=\sf \int_1^{1+\sqrt3}\frac{x^3}{x^2-2x+2}dx \\ &=\sf \int_1^{1+\sqrt3}\left(x+2-\frac{2x-4}{x^2-2x+2}\right)dx\\ &=\sf \int_1^{1+\sqrt3}\left(x+2+\frac{2x-2}{x^2-2x+2}-\frac{2}{x^2-2x+2}\right)dx\end{align*}}$
項ごとに計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^{1+\sqrt3}\left(x+2\right)dx=\left[\frac{x^2}{2}+2x\right]_1^{1+\sqrt3}=\frac{3}{2}+3\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_1^{1+\sqrt3}\frac{2x-2}{x^2-2x+2}dx&=\sf \int_1^{1+\sqrt3}\frac{\left(x^2-2x+2\right)'}{x^2-2x+2}dx \\ &=\sf \left[\log\left|x^2-2x+2\right|\right]_1^{1+\sqrt3}\\ &=\sf \left[\log\left|\left(x-1\right)^2+1\right|\right]_1^{1+\sqrt3} \\ &=\sf 2\log 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^{1+\sqrt3}\frac{2}{x^2-2x+2}dx=\int_1^{1+\sqrt3}\frac{2}{\left(x-1\right)^2+1}dx\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x-1=\tan\theta\ ,\ \ \frac{dx}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_1^{1+\sqrt3}\frac{2}{\left(x-1\right)^2+1}dx&=\sf \int_0^{\pi/3}\frac{2}{\tan^2\theta+1}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2\theta} \\ &=\sf \int_0^{\pi/3}2 d\theta \\ &=\sf \bigg[\ 2\theta\ \bigg]_0^{\pi/3}\\ &=\sf \frac{2\pi}{3}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\underline{\frac{3}{2}+3\sqrt3+2\log 2-\frac{2\pi}{3}}\end{align*}}$
(３)
数列{an}の初項をa、公比をrとし、数列{bn}の公差をdとおくと、
a1≠b1より、a≠0、r≠1、d≠0.
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_2=b_2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf ar=a+d \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf d=a\left(r-1\right)\ \ \ \ \cdots\cdots (i)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_3=b_k&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf ar^2=a+d\left(k-1\right) \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf ar^2=a+a\left(r-1\right)\left(k-1\right)\ \ \ \ \left(\because\ (i)\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf k-1=\frac{r^2-1}{r-1}=r+1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf r=k-2 \ \ \ \ \cdots\cdots (ii)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_4=b_m&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf ar^3=a+d\left(m-1\right) \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf ar^3=a+a\left(r-1\right)\left(m-1\right)\ \ \ \ \left(\because\ (i)\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf m-1=\frac{r^3-1}{r-1}=r^2+r+1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf m=\left(k-2\right)^2+\left(k-2\right)+2\ \ \ \ \left(\because\ (ii)\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf m=\underline{k^2-3k+4}\end{align*}}$
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第１問
次の各問いについて答えだけを書け。
(４) x＞0の範囲に2つの曲線C1： 4x2+y2=10 とC2：x2-y2=10
があって、C1、C2の両方に接する2本の直線をL1、L2とする。
L1、L2およびC1で囲まれた図形をx軸のまわりに回転してでき
る回転体の体積をV1とし、L1、L2およびC2で囲まれた図形を
x軸のまわりに回転してできる回転体の体積をV2とする。
V1+V2の値を求めよ。
(５) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{n}\end{align*}}$ の整数部分をaとしたとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{6}<\frac{\sqrt{n}}{a}<\frac{6}{5}\end{align*}}$ が成り立つ
ような最小の自然数nを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(４)
C1、C2とx軸との共有点のx座標はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4x^2+0=10\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\sqrt{10}}{2}\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-0=10\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt{10}\ (>0)\end{align*}}$
接線Lの方程式をy=ax+bとおく。
LとC1の共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4x^2+\left(ax+b\right)^2=10\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a^2+4\right)x^2+2abx+b^2-10=0\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅰ)
の解であり、これが重解を持てばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=a^2b^2-\left(a^2+4\right)\left(b^2-10\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 10a^2-4b^2+40=0\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅱ)
一方、LとC2の共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-\left(ax+b\right)^2=10\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1-a^2\right)x^2-2abx-b^2-10=0\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅲ)
の解であり、これが重解を持てばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=a^2b^2-\left(a^2-1\right)\left(b^2+10\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -10a^2+b^2+10=0\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅳ)
(ⅲ)、(ⅳ)を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2=\frac{8}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\pm\frac{2\sqrt6}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b^2=\frac{50}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\pm\frac{5\sqrt6}{3}\end{align*}}$
LとC1、C2はx＞0で接するので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1:\ y=\frac{2\sqrt6}{3}x-\frac{5\sqrt6}{3}\ \ ,\ \ L_2:\ y=-\frac{2\sqrt6}{3}x+\frac{5\sqrt6}{3}\end{align*}}$
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{20}{3}x^2-\frac{40}{3}x+\frac{20}{3}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{5}{3}x^2+\frac{40}{3}x-\frac{80}{3}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4\end{align*}}$
なので、L1、L２とC1の交点は(1，±$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt6\end{align*}}$ )、
L1、L２とC2の交点は(4，±$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt6\end{align*}}$ )となる。
C１、C2はx軸について対称なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_1+V_2&=\sf \frac{\pi}{3}\cdot\left(\sqrt{6}\right)^2\cdot\left(4-1\right)-\pi\int_1^{\sqrt{10}/2}\left(10-4x^2\right)dx-\pi\int_{\sqrt{10}}^4\left(x^2-10\right)dx \\ &=\sf 6\pi-\pi\left[10x-\frac{4}{3}x^3\right]_1^{\sqrt{10}/2}-\pi\left[\frac{x^3}{3}-10x\right]_{\sqrt{10}}^4\\ &=\sf \underline{\left(\frac{100}{3}-10\sqrt{10}\right)\pi}\end{align*}}$
(５)
・1≦n＜3のとき、a=1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{6}\lt \frac{\sqrt{n}}{1}\lt \frac{6}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{49}{36}\lt n\lt \frac{36}{25}\ \ \Leftrightarrow\ \ 1.36\cdots \lt n\lt 1.44\end{align*}}$
これを満たす自然数は存在しない。
・4≦n＜8のとき、a=2なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{6}\lt \frac{\sqrt{n}}{2}\lt \frac{6}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{49}{9}\lt n\lt \frac{144}{25}\ \ \Leftrightarrow\ \ 5.44\cdots \lt n\lt 5.76\end{align*}}$
これを満たす自然数は存在しない。
・9≦n＜15のとき、a=3なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{6}\lt \frac{\sqrt{n}}{3}\lt \frac{6}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{49}{4}\lt n\lt \frac{324}{25}\ \ \Leftrightarrow\ \ 12.25\lt n\lt 12.96\end{align*}}$
これを満たす自然数は存在しない。
・16≦n＜24のとき、a=4なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{6}\lt \frac{\sqrt{n}}{4}\lt \frac{6}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{196}{9}\lt n\lt \frac{576}{25}\ \ \Leftrightarrow\ \ 21.77\cdots \lt n\lt 23.04\end{align*}}$
これを満たす最小の自然数はn=22である。
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第２問
正四面体OABCがあって、△OABの内部に点Dがある。実数
t （0＜t＜1）に対して、線分CDをt：(1-t)に内分する点をPと
する。点Qは△ABCの内部にあり、△ABCと線分PQは直交し
ている。また、点Rは△OBCの内部にあり、△OBCと線分PR
は直交している。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}=x\overrightarrow{\sf a}+y\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ と
して、以下の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PR}\end{align*}}$ をx、y、t、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ で表せ。
(２) 四面体OABCの体積をVとする。四面体PABCの体積を
x、y、t、Vで表せ。
(３) 2つの四面体PABC、POBCの体積の和が四面体POABの
体積と等しいとき、tをx、yで表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}&=\sf t\overrightarrow{\sf OD}+\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf OC} \\ &=\sf tx\overrightarrow{\sf a}+ty\overrightarrow{\sf b}+\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
(１)
△ABCの重心をG1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG_1}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\end{align*}}$
であり、正四面体なので、OG1⊥平面ABCである。
よって、PQ//OG1なので、実数k1を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=k_1\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OQ}&=\sf \overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf PQ} \\ &=\sf \left(k_1+tx\right)\overrightarrow{\sf a}+\left(k_1+ty\right)\overrightarrow{\sf b}+\left(k_1+1-t\right)\overrightarrow{\sf c}\\ &=\sf \end{align*}}$
と表せる。Qは平面ABC上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(k_1+tx\right)+\left(k_1+ty\right)+\left(k_1+1-t\right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k_1=\frac{t\left(1-x-y\right)}{3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\underline{\frac{t\left(1-x-y\right)}{3}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)}\end{align*}}$
△OBCの重心をG2とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG_2}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AG_2}=\frac{1}{3}\left(-3\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\end{align*}}$
であり、正四面体なので、AG2⊥平面OBCである。
よって、PR//AG2なので、実数k2を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PR}=k_2\left(-3\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OR}&=\sf \overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf PR} \\ &=\sf \left(-3k_2+tx\right)\overrightarrow{\sf a}+\left(k_2+ty\right)\overrightarrow{\sf b}+\left(k_2+1-t\right)\overrightarrow{\sf c}\\ &=\sf \end{align*}}$
と表せる。Rは平面OBC上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -3k_2+tx=0\ \ \Leftrightarrow\ \ k_2=\frac{tx}{3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PR}=\underline{\frac{tx}{3}\left(-3\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)}\end{align*}}$
(２)
底面ABCが共通なので、高さの比を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OG_1:PQ&=\sf \left|\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\right|:\left|\frac{t\left(1-x-y\right)}{3}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\right| \\ &=\sf 1:t\left(1-x-y\right) \end{align*}}$
よって、四面体PABCの体積をV1とすると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=\underline{t\left(1-x-y\right)V}\end{align*}}$
(３)
四面体POBCの体積をV2とすると、(２)と同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=txV\end{align*}}$
また、四面体OABCと四面体POABにおいて、△OABを共通な
底面としたときの高さの比はCD:PDに等しいので、四面体POAB
の体積をV3とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_3=\left(1-t\right)V\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1+V_2=V_3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t\left(1-x-y\right)V+txV=\left(1-t\right)V\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\underline{\frac{1}{2-y}}\end{align*}}$
(１)を計算だけでやろうとすると大変です。
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第３問
以下の各問いに答えよ。
(１) 360の約数の個数を求めよ。ただし、1も約数に含める。
(２) 6枚のカード1 1 2 2 3 3 3 を並べて自然数を作る。
いくつ作ることができるか。
(３) サイコロを6回振り、出た目を掛け合わせた積をX、Xの約数
の個数をY、Yのとりうる最大の値をmとする。ただし、1も約数
に含める。また、各j （j=1，2，3，4，5，6）について、jの目の
出た回数を$\small\sf{\begin{align*} \sf k_j\end{align*}}$ とする。次の問いに答えよ。
(ⅰ) Yを$\small\sf{\begin{align*} \sf k_j\end{align*}}$ （j =1，2，3，4，5，6）で表せ。
(ⅱ) Xが7500となるサイコロの目の出方は何通りあるか。
(ⅲ) Y=mのとき、k2=k3=k4=0であることを数式を用いて説明
せよ。
(ⅳ) Y=mとなるサイコロの目の出方は何通りか。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
360を素因数分解すると、
360=23・32・5
なので、360の約数の個数は、負の数も考慮に入れると、
2・(3+1)・(2+1)・(1+1)=48個
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6!}{2!\ 3!}=\underline{60}\end{align*}}$ 個
(３)(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X&=\sf 1^{k_1}\cdot 2^{k_2}\cdot 3^{k_3}\cdot 4^{k_4}\cdot 5^{k_5}\cdot 6^{k_6}\cdot\\ &=\sf 2^{k_2+2k_4+k_6}\cdot 3^{k_3+k_6}\cdot 5^{k_5} \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\underline{2\left(k_2+2k_4+k_6+1\right)\left(k_3+k_6+1\right)\left(k_5+1\right)}\end{align*}}$
(３)(ⅱ)
7500=22・3・54
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k_2+2k_4+k_6=2\ \ ,\ \ k_3+k_6=1\ \ ,\ \ k_5=4\end{align*}}$
さらに、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k_1+k_2+k_3+k_4+k_5+k_6=6\end{align*}}$ なので、これらを満たす
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k_j\end{align*}}$ （j =1，2，3，4，5，6）の組は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(k_1,k_2,k_3,k_4,k_5,k_6\right)=\left(0,0,1,1,4,0\right),\left(0,1,0,0,4,1\right)\end{align*}}$
よって、目の出方の総数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6!}{4!}+\frac{6!}{4!}=\underline{60}\end{align*}}$ 通り
(３)(ⅲ)
a+b+c+d+e+f=6である6つの非負整数a～fを考え、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k_j\end{align*}}$ （j =1，2，3，4，5，6）の組が
(a,b,c,d,e,f)、(a,0,c,d,e,b+f)、(a,b,0,d,e,c+f)、(a,b,c,0,e,d+f)
であるときのYの値をそれぞれY0、Y1、Y2、Y3とすると、
Y0=2(b+2d+f+1)(c+f+1)(e+1)
Y1=2(b+2d+f+1)(c+b+f+1)(e+1)
Y2=2(b+c+2d+f+1)(c+f+1)(e+1)
Y3=2(b+d+f+1)(c+d+f+1)(e+1)
・b≠0のとき
Y1-Y0=2b(b+2d+f+1)(e+1)＞0
よりY1＞Y0なので、Y0≠mである。
・c≠0のとき
Y2-Y0=2c(c+f+1)(e+1)＞0
よりY2＞Y0なので、Y0≠mである。
これらより、Y0=mとなるとき、b=c=0である。
このとき、
Y0=2(2d+f+1)(f+1)(e+1)
Y3=2(d+f+1)2(e+1)
ここで、d≠0とすると、
Y3-Y0=2d2(e+1)＞0
よりY3＞Y0なので、Y0≠mである。
以上より、Y0=mとなるとき、b=c=d=0となるので、題意は示された。
(３)(ⅳ)
(ⅲ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k_1+k_5+k_6=6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Y&=\sf 2\left(k_6+1\right)^2\left(k_5+1\right) \\ &=\sf 2\left(k_6+1\right)^2\left(7-k_1-k_6\right) \end{align*}}$
これが最大になるためには、k1=0である必要がある。
このとき、k6=0，1，2，3，4，5，6に対応するYの値はそれぞれ
14，48，90，128，150，144，98となるので、m=150.
これは、k5=2、k6=4のときなので、サイコロの目の出方は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6!}{2!\ 4!}=\underline{15}\end{align*}}$ 通り
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