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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017旭川医科大 数学1



第1問

  nは正の整数とする。点(n,0)を通り、曲線C:y=e-xに接する直線を
  Lnとし、その接点をPnとする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) Pnの座標を求めよ。

 (2) LnとLn+1の交点をQnとする。Qnの座標を求めよ。

 (3) 2直線Ln、Ln+1および曲線Cで囲まれる部分の面積をSnとおくとき、
    級数$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\end{align*}}$ Snの和を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/11(木) 01:09:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大  2017
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2017旭川医科大 数学2



第2問

  a、b、cを実数とする。3次方程式x3+ax2+bx+c=0の3つの解を
  $\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、γとする。これらの解は次の4つの条件を満たす。
    (ⅰ) γ=$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$
    (ⅱ) |$\small\sf{\alpha}$ |=|$\small\sf{\beta}$ |=1
    (ⅲ) $\small\sf{\alpha}$ の虚部は正である
    (ⅳ) 複素数平面上の点A($\small\sf{\alpha}$ )、B($\small\sf{\beta}$ )、C(γ)は同一直線L上
       にある
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) a、b、cおよび$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ の値を求めよ。

 (2) 点P(z)が直線L上を動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf w_1=\frac{1+4z}{2z}\end{align*}}$ で表される点Q(w1)
    の軌跡を複素数平面上に図示せよ。

 (2) 動点R(w2) は、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \arg\left(\frac{\beta-w_2}{\alpha-w_2}\right)=\pm\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
    を満たす。このとき、R(w2)の軌跡を複素数平面上に図示する
    とともに、(2)で求めたQ(w1)との距離|w1-w2| のとりうる値の
    範囲を求めよ。


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2017旭川医科大 数学3



第3問

  Oを原点とする座標平面上に長さ1の線分ABがある。線分ABの
  端点Aはx軸上のx≧0の部分を、端点Bはy軸上のy≧0の部分を
  動くものとする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 線分ABがx軸となす角∠AOBが$\small\sf{\theta}$ であるとき、直線ABをL$\small\sf{\theta}$
    で表す。直線L$\small\sf{\theta}$ の方程式を求めよ。ただし0≦$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ である。

 (2) tは0<t≦1を満たす定数とする。直線x=tと直線L$\small\sf{\theta}$ との交点を
    P$\small\sf{\theta}$ とする。点P$\small\sf{\theta}$ のy座標が最大となる$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\alpha}$ とするとき、cos$\small\sf{\alpha}$
    をtを用いて表せ。

 (3) 点P$\small\sf{\alpha}$ の直交座標(x,y)を$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。また$\small\sf{\alpha}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき、
    点P$\small\sf{\alpha}$ の極座標を求めよ。

 (4) $\small\sf{\alpha}$ が0≦$\small\sf{\alpha}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲を動くとき、点P$\small\sf{\alpha}$ の描く曲線をCとする。
    C上の点P$\small\sf{\alpha}$ における接線がL$\small\sf{\alpha}$ であることを示し、Cの概形を
    図示せよ。




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2017旭川医科大 数学4



第4問

  ある駐車場には4つの駐車枠A、B、C、Dが、アルファベット順に1列に
  並んでいる。そして自動車は、4台が順に入場して、空いている枠に
  次の確率で駐車する。
    (ⅰ) BとCのうち先着の自動車が隣の枠に駐車している枠、および
       Dには、等しい確率で駐車する。
    (ⅱ) Aに駐車する確率、およびBとCのうち両隣が空いている枠に
       駐車する確率は、(ⅰ)の確率の3倍である。
  このとき、次の確率を求めよ。ただし、1台目の自動車が入場するとき
  には、4つの枠はすべて空いている。

 (1) 1台目の自動車がAに駐車する確率
 (2) 3台目の自動車が入場したとき、BとDに自動車が駐車している確率
 (3) 4台目の自動車が入場したとき、Cに自動車が駐車していない確率



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