第１問
nは正の整数とする。点(n，0)を通り、曲線C：y=e-xに接する直線を
Lnとし、その接点をPnとする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) Pnの座標を求めよ。
(２) LnとLn+1の交点をQnとする。Qnの座標を求めよ。
(３) 2直線Ln、Ln+1および曲線Cで囲まれる部分の面積をSnとおくとき、
級数$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\end{align*}}$ Snの和を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
Pnの座標を(t，e-t)とおくと、(e-x)’=-e-xなので、
Lnの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-e^{-t}=-e^{-t}\left(x-t\right)\end{align*}}$
と表せる。これが点(n，0)を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -e^{-t}=-e^{-t}\left(n-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ t=n-1\ \ \ \left(\because\ e^{-t}\ne 0\right)\end{align*}}$
よって、Pnの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\left(n-1,e^{-n+1}\right)}\end{align*}}$
(２)
(１)より、Ln、Ln+1の方程式はそれぞれ、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_n:\ y=-e^{-n+1}\left(x-n\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_{n+1}:\ y=-e^{-n}\left(x-n-1\right)\end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -e^{-n+1}\left(x-n\right)=-e^{-n}\left(x-n-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e\left(x-n\right)=x-n-1\ \ \ \ \left(\because\ e^{-n}\ne 0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{en-e-1}{e-1}=n-\frac{1}{e-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-e^{-n+1}\left\{\left(n-\frac{1}{e-1}\right)-n\right\}=\frac{e^{-n+1}}{e-1}\end{align*}}$
よって、Qnの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\left(n-\frac{1}{e-1}\ ,\ \frac{e^{-n+1}}{e-1}\right)}\end{align*}}$
(３)
(２)で求めた点Qnのx座標をqとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n&=\sf \int_{n-1}^ne^{-x}dx-\int_{n-1}^q\left\{-e^{-n+1}\left(x-n\right)\right\}dx-\int_q^{n}\left\{-e^{-n}\left(x-n-1\right)\right\}dx \\ &=\sf \bigg[-e^{-x}\bigg]_{n-1}^n+e^{-n+1}\left[\frac{\left(x-n\right)^2}{2}\right]_{n-1}^q+e^{-n}\left[\frac{\left(x-n-1\right)^2}{2}\right]_{n-1}^q \\ &=\sf \frac{e^2-3e+1}{2\left(e-1\right)}e^{-n}\end{align*}}$
ここで、0＜e-n＜1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}S_n&=\sf \frac{e^2-3e+1}{2\left(e-1\right)}\cdot\frac{e^{-n}}{1-e^{-n}}\\ &=\sf \underline{\frac{e^2-3e+1}{2\left(e-1\right)^2}}\end{align*}}$
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第２問
a、b、cを実数とする。3次方程式x3+ax2+bx+c=0の3つの解を
$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、γとする。これらの解は次の4つの条件を満たす。
(ⅰ) γ=$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$
(ⅱ) |$\small\sf{\alpha}$ |=|$\small\sf{\beta}$ |=1
(ⅲ) $\small\sf{\alpha}$ の虚部は正である
(ⅳ) 複素数平面上の点A($\small\sf{\alpha}$ )、B($\small\sf{\beta}$ )、C(γ)は同一直線L上
にある
このとき、次の問いに答えよ。
(１) a、b、cおよび$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ の値を求めよ。
(２) 点P(z)が直線L上を動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf w_1=\frac{1+4z}{2z}\end{align*}}$ で表される点Q(w1)
の軌跡を複素数平面上に図示せよ。
(２) 動点R(w2) は、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \arg\left(\frac{\beta-w_2}{\alpha-w_2}\right)=\pm\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
を満たす。このとき、R(w2)の軌跡を複素数平面上に図示する
とともに、(２)で求めたQ(w1)との距離|w1-w2| のとりうる値の
範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
(ⅲ)より$\scriptsize\sf{\alpha}$ は虚数であり、a、b、cは実数なので、$\scriptsize\sf{\beta}$ は$\scriptsize\sf{\alpha}$ の共役複素数
である。よって、2点A、Bは実軸について対称であり、(ⅳ)より、$\scriptsize\sf{\alpha}$ と$\scriptsize\sf{\beta}$
の実部はγと等しい。よって、正の実数yを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=-\frac{1}{2}+yi\ ,\ \beta=-\frac{1}{2}-yi\end{align*}}$
と表すことができ、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\alpha|^2=\left(-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=1^2\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{\sqrt3}{2}\ \left(>0\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\ \ ,\ \ \beta=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i}\end{align*}}$
これより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\left(x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)=x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{a=\frac{3}{2}\ \ ,\ \ b=\frac{3}{2}\ \ ,\ \ c=\frac{1}{2}}\end{align*}}$
(２)
zはL上にあるので、zの実部は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Re(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}=-\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ z+\overline{z}+1=0\end{align*}}$ ･･････(ⅰ)
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w_1=\frac{1+4z}{2z}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2w_1z-4z=1\ \ \Leftrightarrow\ \ z=\frac{1}{2\left(w_1-2\right)}\ \ \left(w_1\ne 2\right)\end{align*}}$
なので、これを(ⅰ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2\left(w_1-2\right)}+\frac{1}{2\left(\overline{w_1}-2\right)}+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(w_1-2\right)+\left(\overline{w_1}-2\right)+2\left(w_1-2\right)\left(\overline{w_1}-2\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ w_1\overline{w_1}-\frac{3}{2}w_1-\frac{3}{2}\overline{w_1}+2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(w_1-\frac{3}{2}\right)\left(\overline{w_1}-\frac{3}{2}\right)=\left|w_1-\frac{3}{2}\right|^2=\frac{1}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|w_1-\frac{3}{2}\right|=\frac{1}{2}\end{align*}}$
よって、w1は点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ （点Dとする）を中心とした
半径$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の円周上を動く。
（ただし、点2を除く）
これを図示したものが、下図の青線である。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \arg\left(\frac{\beta-w_2}{\alpha-w_2}\right)=\pm\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
より、∠ARB=90°となるので、RはABを直径とする円周上を動く。
（ただし、A、Bを除く）
これを図示したものが、下図の赤線である。
2円は離れており、Qは点2と一致しないので、
CD-CR-DQ≦QR＜CD+CR+DQ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{2}\leqq |w_1-w_2|<2+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\frac{3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\leqq |w_1-w_2|<\frac{5}{2}+\frac{\sqrt3}{2}}\end{align*}}$
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第３問
Oを原点とする座標平面上に長さ1の線分ABがある。線分ABの
端点Aはx軸上のx≧0の部分を、端点Bはy軸上のy≧0の部分を
動くものとする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) 線分ABがx軸となす角∠AOBが$\small\sf{\theta}$ であるとき、直線ABをL$\small\sf{\theta}$
で表す。直線L$\small\sf{\theta}$ の方程式を求めよ。ただし0≦$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ である。
(２) tは0＜t≦1を満たす定数とする。直線x=tと直線L$\small\sf{\theta}$ との交点を
P$\small\sf{\theta}$ とする。点P$\small\sf{\theta}$ のy座標が最大となる$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\alpha}$ とするとき、cos$\small\sf{\alpha}$
をtを用いて表せ。
(３) 点P$\small\sf{\alpha}$ の直交座標(x，y)を$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。また$\small\sf{\alpha}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき、
点P$\small\sf{\alpha}$ の極座標を求めよ。
(４) $\small\sf{\alpha}$ が0≦$\small\sf{\alpha}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲を動くとき、点P$\small\sf{\alpha}$ の描く曲線をCとする。
C上の点P$\small\sf{\alpha}$ における接線がL$\small\sf{\alpha}$ であることを示し、Cの概形を
図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
AB=1、∠OAB=$\scriptsize\sf{\theta}$ より
OA=cos$\scriptsize\sf{\theta}$ 、 OB=sin$\scriptsize\sf{\theta}$
なので、直線L$\scriptsize\sf{\theta}$ の式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\left(x-\cos\theta\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=-\left(\tan\theta\right)x+\sin\theta}\end{align*}}$
(２)
(１)より、P$\scriptsize\sf{\theta}$ のy座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\left(\tan\theta\right)t+\sin\theta\end{align*}}$
これを$\scriptsize\sf{\theta}$ の関数とみなして、$\scriptsize\sf{\theta}$ で微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{d\theta}=-\frac{t}{\cos^2\theta}+\cos\theta=\frac{\cos^3\theta-t}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
ここで、0＜t≦1、0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2より、cos3$\scriptsize\sf{\theta}$ =tとなる$\scriptsize\sf{\theta}$ が
ただ1つ存在し、その値を$\scriptsize\sf{\theta}$ 1とおくと、yの増減は次のようになる。
これより、$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\theta}$ 1のときyは最大になるので、$\scriptsize\sf{\alpha}$ =$\scriptsize\sf{\theta}$ 1である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos^3\alpha=t\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\alpha=\underline{\sqrt[3]{\sf t}}\end{align*}}$
(３)
(２)より、点P$\scriptsize\sf{\alpha}$ のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=t=\cos^3\alpha\end{align*}}$
P$\scriptsize\sf{\alpha}$ のy座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y&=\sf -\left(\tan\alpha\right)\cos^3\alpha+\sin\alpha \\ &=\sf \left(1-\cos^2\alpha\right)\sin\alpha\\ &=\sf \sin^3\alpha\end{align*}}$
よって、点P$\scriptsize\sf{\alpha}$ の直交座標は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\left(\cos^3\alpha,\sin^3\alpha\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\alpha}$ =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のときのの直交座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\cos^3\frac{\pi}{4},\sin^3\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{1}{2\sqrt2},\frac{1}{2\sqrt2}\right)\end{align*}}$
なので、これを極座標に直すと、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\left(\frac{1}{2},\frac{\pi}{4}\right)}\end{align*}}$
(４)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{\alpha}\left(x,y\right)=\left(\cos^3\alpha,\sin^3\alpha\right)\ \ \ \left(0\leqq\alpha <\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\alpha}=-3\sin\alpha\cos^2\alpha\ \ ,\ \ \frac{dy}{d\alpha}=3\sin^2\alpha\cos\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=-\frac{3\sin^2\alpha\cos\alpha}{3\sin\alpha\cos^2\alpha}=-\tan\alpha<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{dx}&=\sf \frac{d}{d\alpha}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{d\alpha}{dx}\\ &=\sf -\frac{1}{\cos^2\alpha}\cdot\left(-\frac{1}{3\sin\alpha\cos^2\alpha}\right)\\ &=\sf \frac{1}{3\sin\alpha\cos^4\alpha}>0\end{align*}}$
なので、曲線Cは単調に減少し、下に凸な曲線である。
$\scriptsize\sf{\alpha}$ =0のとき、x=1、y=0であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\alpha\rightarrow\frac{\pi}{2}-0}x=0\ \ ,\ \ \lim_{\alpha\rightarrow\frac{\pi}{2}-0}y=1\end{align*}}$
なので、Cの概形は右図のようになる。
一方、点P$\scriptsize\sf{\alpha}$ におけるCの接線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\sin^3\alpha=-\left(\tan\alpha\right)\left(x-\cos^3\alpha\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y &=-\left(\tan\alpha\right)x+\sin^3\alpha+\sin\alpha\cos^2\alpha\sf \\ &=\sf -\left(\tan\alpha\right)x+\sin\alpha\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\\ &=\sf -\left(\tan\alpha\right)x+\sin\alpha\end{align*}}$
となるので、L$\scriptsize\sf{\alpha}$ と一致する。
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第４問
ある駐車場には4つの駐車枠A、B、C、Dが、アルファベット順に1列に
並んでいる。そして自動車は、4台が順に入場して、空いている枠に
次の確率で駐車する。
(ⅰ) BとCのうち先着の自動車が隣の枠に駐車している枠、および
Dには、等しい確率で駐車する。
(ⅱ) Aに駐車する確率、およびBとCのうち両隣が空いている枠に
駐車する確率は、(ⅰ)の確率の3倍である。
このとき、次の確率を求めよ。ただし、1台目の自動車が入場するとき
には、4つの枠はすべて空いている。
(１) 1台目の自動車がAに駐車する確率
(２) 3台目の自動車が入場したとき、BとDに自動車が駐車している確率
(３) 4台目の自動車が入場したとき、Cに自動車が駐車していない確率
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
確率を次のように表すことにする。
P(A) ・・・・1台目にAに駐車する確率
PA(B) ・・・1台目がAに駐車した後に、2台目がBに駐車する確率
PAB(C) ・・1、2台目がAとBに駐車した後に、3台目がCに駐車
する確率
他の文字についても同様に表す。
(１)
1台目の自動車は、BとCにそれぞれ(ⅱ)の確率で駐車するので、
P(A)：P(B)：P(C)：P(D)=3：3：3：1
これら4つの確率の和は１なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(A\right)=\underline{\frac{3}{10}}\end{align*}}$
(２)
(１)と同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(B\right)=\frac{3}{10}\ \ ,\ \ P\left(D\right)=\frac{1}{10}\end{align*}}$
1台目がBに駐車した状態では、Cは(ⅰ)の確率で駐車するので、
PB(A)：PB(C)：PB(D)=3：1：1
これら3つの確率の和は１なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_B\left(A\right)=\frac{3}{5}\ \ ,\ \ P_B\left(D\right)=\frac{1}{5}\end{align*}}$
1台目がDに駐車した状態では、Bは(ⅱ)の確率、Cは(ⅰ)の確率で
駐車するので、
PD(A)：PD(B)：PD(C)=3：3：1
これら3つの確率の和は１なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_D\left(A\right)=P_D\left(B\right)=\frac{3}{7}\end{align*}}$
以上より、3台目の自動車が入場したとき、BとDに自動車が駐車
している確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(B\right)\cdot P_B\left(D\right)+P\left(D\right)\cdot P_D\left(B\right)=\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{5}+\frac{1}{10}\cdot\frac{3}{7}=\underline{\frac{18}{175}}\end{align*}}$
(３)
(２)と同様に、1台目がAに駐車した状態では、Bは(ⅰ)の確率、
Cは(ⅱ)の確率で駐車するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_A\left(B\right):P_A\left(C\right):P_A\left(D\right)=1:3:1=\frac{1}{5}:\frac{3}{5}:\frac{1}{5}\end{align*}}$
1、2台目がAとBに駐車した状態では、Cは(ⅰ)の確率で駐車する
ので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{AB}\left(C\right):P_{AB}\left(D\right)=1:1=\frac{1}{2}:\frac{1}{2}\end{align*}}$
1、2台目がAとDに駐車した状態では、B、Cともには(ⅰ)の確率で
駐車するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{AD}\left(B\right):P_{AD}\left(C\right)=1:1=\frac{1}{2}:\frac{1}{2}\end{align*}}$
1、2台目がBとDに駐車した状態では、Cは(ⅰ)の確率で駐車する
ので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{BD}\left(A\right):P_{BD}\left(C\right)=3:1=\frac{3}{4}:\frac{1}{4}\end{align*}}$
A→B→Dの順に駐車する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(A\right)\cdot P_A\left(B\right)\cdot P_{AB}\left(D\right)=\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{100}\end{align*}}$
A→D→Bの順に駐車する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(A\right)\cdot P_A\left(D\right)\cdot P_{AD}\left(B\right)=\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{100}\end{align*}}$
B→A→Dの順に駐車する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(B\right)\cdot P_B\left(A\right)\cdot P_{AB}\left(D\right)=\frac{3}{10}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{9}{100}\end{align*}}$
B→D→Aの順に駐車する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(B\right)\cdot P_B\left(D\right)\cdot P_{BD}\left(A\right)=\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{200}\end{align*}}$
D→A→Bの順に駐車する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(D\right)\cdot P_D\left(A\right)\cdot P_{AD}\left(B\right)=\frac{1}{10}\cdot\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{140}\end{align*}}$
D→B→Aの順に駐車する確率
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(D\right)\cdot P_D\left(B\right)\cdot P_{BD}\left(A\right)=\frac{1}{10}\cdot\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{280}\end{align*}}$
以上より、4台目の自動車が入場したとき、Cに自動車が駐車して
いない確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{100}+\frac{3}{100}+\frac{9}{100}+\frac{9}{200}+\frac{3}{140}+\frac{9}{280}=\underline{\frac{87}{350}}\end{align*}}$
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