第1問
3次関数$\small\sf{\sf f(x)=x^3+3ax^2+bx+c}$ に関して以下の問いに答えよ。
(1) f(x)が極値をもつための条件を、f(x)の係数を用いて表せ。
(2) f(x)が$\small\sf{\sf x=\alpha}$ で極大、$\small\sf{\sf x=\beta}$ で極小になるとき、点$\small\sf{\sf (\alpha,\ f(\alpha))}$ と点$\small\sf{\sf (\beta,\ f(\beta))}$
を結ぶ直線の傾きmをf(x)の係数を用いて表せ。また、$\small\sf{\sf y=f(x)}$ のグラフは平行
移動によって
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=x^3+\frac{3}{2}mx\end{align*}}$
のグラフに移ることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数を求めると、
$\scriptsize\sf{\sf f'(x)=3x^2+6ax+b}$
3次関数f(x)が極値をもつためには、
方程式$\scriptsize\sf{\sf f'(x)=0}$ が異なる2解をもてばよいので、
f’(x)=0の判別式をDとすると、
$\scriptsize\sf{\sf D/4=9a^2-3b\gt 0}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b\lt 3a^2}$
(2)
$\scriptsize\sf{\alpha\ne\beta}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{f\ (\beta)-f\ (\alpha)}{\beta-\alpha}=\frac{(\beta^3-\alpha^3)+3a(\beta^2-\alpha^2)+b(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha}\end{align*}}$．
分子・分母を$\scriptsize\sf{\beta-\alpha}$ で割ると、
$\scriptsize\sf{\sf m=\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2+3a(\alpha+\beta)+b}$
$\scriptsize\sf{\sf =(\alpha+\beta)^2-\alpha\beta+3a(\alpha+\beta)+b}$
ここで、$\scriptsize\sf{\alpha,\ \beta}$ は、$\scriptsize\sf{\sf f'(x)=3x^2+6ax+b=0}$ の2解なので、
解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha+\beta=-2a\ ,\ \ \alpha\beta=\frac{b}{3}\end{align*}}$
である。これを代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ m=-2a^2+\frac{2}{3}b\ \ }\end{align*}}$
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=x^3+\frac{3}{2}mx=x^3-(3a^2-b)x\end{align*}}$
であり、この曲線をC1とする。
一方、y=f(x)のグラフをx軸方向に+p、y軸方向に+qだけ
平行移動した曲線をC2とすると、その方程式は、
$\scriptsize\sf{\sf y-q=(x-p)^3+3a(x-p)^2+b(x-p)+c}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=x^3+3(a-p)x^2+(3p^2-6ap+b)x-p^3+3ap^2-bp+c+q}$ ．
2つの曲線C1、C2が一致するためには、
$\scriptsize\sf{\sf 3(a-p)=0}$ ･････① かつ
$\scriptsize\sf{\sf 3p^2-6ap+b=-3a^2+b}$ ･････② かつ
$\scriptsize\sf{\sf -p^3+3ap^2-bp+c+q=0}$ ･････③
を同時に満たすp、qが存在する必要がある。
まず①より、
$\scriptsize\sf{\sf p=a}$
であり、これは②も満たす。これと③より、
$\scriptsize\sf{\sf q=-2a^3+ab-c}$ ．
よって、$\scriptsize\sf{\sf y=f(x)}$ のグラフを
x軸方向に+a
y軸方向に$\scriptsize\sf{\sf -2a^3+ab-c}$
だけ平行移動すると曲線C1と一致することになるので、
題意は示された。
(2)は、実際にどのような平行移動すればよいかを求めればOKです。
上の答案では、p、qと文字を置きましたが、
式の形を見てp=aだとすぐに気づく人もいると思います。
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- 2012/02/12(日) 23:57:00|
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第2問
座標平面上で不等式y≧x2の表す領域をDとする。
D内にありy軸上に中心をもち原点を通る円のうち、
最も半径の大きい円をC1とする。自然数nについて、
円Cnが定まったとき、Cnの上部でCnに外接する円
で、D内にありy軸上に中心をもつもののうち、最も
半径の大きい円をCn+1とする。Cnの半径をanとし、
$\small\sf{\sf b_n=a_1+a_2+\cdots +a_n}$ とする。
(1) a1を求めよ。
(2) n≧2のときanをbn-1で表せ。
(3) anをnの式で表せ。
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【解答】
放物線$\scriptsize\sf{\sf y=x^2}$ をPとする。
(1)
D内にありy軸上に中心をもち原点を通る円は、
半径をr（＞0）とすると、中心が(0，r)となるので、
$\scriptsize\sf{\sf x^2+(y-r)^2=r^2}$
と表される。
これと放物線Pの交点を求めるためにxを消去すると、
$\scriptsize\sf{\sf y+(y-r)^2=r^2}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y^2-(2r-1)y=0}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=0,\ 2r-1}$ ．
原点以外にy＞0の解をもたないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2r-1\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ r\leqq \frac{1}{2}\end{align*}}$
となり、a1はrの最大値なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_1=\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
(2)
n≧2のとき、円Cnの中心のy座標をynとおくと、
$\scriptsize\sf{\sf y_n=2a_1+2a_2+\cdots +2a_{n-1}+a_n}$
$\scriptsize\sf{\sf =2b_{n-1}+a_n}$ ････①
円$\scriptsize\sf{\sf C_n:\ x^2+(y-y_n)^2=a_n^2}$と放物線Pとの交点を求めると、
$\scriptsize\sf{\sf y+(y-y_n)^2=a_n^2}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y^2-(2y_n-1)y+y_n^2-a_n^2=0}$ ････②
CnとPは接するので、②の判別式をDとすると、
$\scriptsize\sf{\sf D=(2y_n-1)^2-4(y_n^2-a_n^2)}$
$\scriptsize\sf{\sf =4a_n^2-4y_n+1=0}$
これに①を代入すると、
$\scriptsize\sf{\sf 4a_n^2-4a_n-8b_{n-1}+1=0}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\frac{1}{2}\pm\sqrt{2b_{n-1}}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n\geqq a_1=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ････③
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_n=\frac{1}{2}+\sqrt{2b_{n-1}}\ \ }\end{align*}}$
(3)
③より、n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a_n-\frac{1}{2}\right)^2=\left(\sqrt{2b_{n-1}}\right)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ a_n^2-a_n+\frac{1}{4}=2b_{n-1}\end{align*}}$ ．
nを1つ上げると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}^2-a_{n+1}+\frac{1}{4}=2b_{n}\end{align*}}$ ．
これら2式を辺々引くと、
$\scriptsize\sf{\sf a_{n+1}^2-a_n^2-a_{n+1}+a_n=2b_n-2b_{n-1}}$ ･････④
ここで、n≧2のとき、$\scriptsize\sf{\sf b_n-b_{n-1}=a_n}$ なので、
④ $\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}^2-a_n^2-(a_{n+1}+a_n)=0}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n-1)=0}$ ．
$\scriptsize\sf{\sf a_{n+1}\gt 0\ ,\ a_n\gt 0}$ なので、
$\scriptsize\sf{\sf a_{n+1}-a_n-1=0 \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}=a_n+1}$ ．
これは、n≧2の自然数に対して、
数列{an}が公差1の等差数列であることを表している。
ここで、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{1}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
であり、(2)にn=2を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2}-a_1=\frac{1}{2}+\sqrt{2b_{1}}-a_1=\frac{1}{2}+\sqrt{2a_{1}}-a_1=1\end{align*}}$
となるので、すべてのnに対して、数列{an}が公差1の等差数列となる。
よって、その一般項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n}=\frac{1}{2}+(n-1)=\underline{\ n-\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
放物線と円が接するというのは、よくあるパターンですね。
難しくないので、これも確実に得点しましょう。
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- 2012/02/13(月) 23:57:00|
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第3問
nを自然数とする。プレイヤーA、Bがサイコロを交互に投げるゲームをする。
最初はAが投げ、先に1の目を出した方を勝ちとして終わる。ただし、Aがn回
投げても勝負がつかない場合はBの勝ちとする。
(1) Aのk投目(1≦k≦n)でAが勝つ確率を求めよ。
(2) このゲームにおいてAが勝つ確率Pnを求めよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf P_n\gt\frac{1}{2}\end{align*}}$ となるような最小のnの値を求めよ。ただし、$\small\sf{\sf \log_{10}2=0.3010}$ 、
$\small\sf{\sf \log_{10}3=0.4771}$ として計算してよい。
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【解答】
(1)
Aの1投目････1以外の目
Bの1投目････1以外の目
Aの2投目････1以外の目
Bの2投目････1以外の目
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
Aのk－1投目････1以外の目
Bのk－1投目････1以外の目
Aのk投目････1の目
このようになる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{k-1}\cdot\frac{1}{6}=\underline{\ \frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{2k-1}\ \ }\end{align*}}$
(2)
(1)において、k=1，2，3，････，nのときの確率の和になるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n=\sum_{k=1}^n\ \left(\frac{5}{6}\right)^{2k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{6}\sum_{k=1}^n\ \left(\frac{25}{36}\right)^{k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{6}\cdot\frac{1-\left(\frac{25}{36}\right)^{n}}{1-\frac{25}{36}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{6}{11}\ \left(1-\left(\frac{25}{36}\right)^{n}\right)\ \ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n= \frac{6}{11}\ \left(1-\left(\frac{25}{36}\right)^{n}\right)>\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{25}{36}\right)^{n}=\left(\frac{5}{6}\right)^{2n}<\frac{1}{12}\end{align*}}$
両辺＞0なので、常用対数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}\left(\frac{5}{6}\right)^{2n}<\log_{10}\frac{1}{12}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2n\ \left(\log_{10}5-\log_{10}6\right)<-\log_{10}12\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\sf \log_{10}5=1-\log_{10}2=0.6990}$
$\scriptsize\sf{\sf \log_{10}6=\log_{10}2+\log_{10}3=0.7781}$
$\scriptsize\sf{\sf \log_{12}=2\log_{10}2+\log_{10}3=1.0791}$
を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -0.1582n\lt -1.0791\ \ \Leftrightarrow\ \ n>\frac{1.0791}{0.1582}=6.8\ldots\end{align*}}$
これを満たす最小の自然数nは
$\scriptsize\sf{\sf \underline{n=7}}$
標準的な問題ですから、これを落とすようでは厳しいでしょうね。
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- 2012/02/14(火) 23:57:00|
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