第２問
関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=xe^{-\sqrt{x}}\end{align*}}$ （x≧0）を考える。
(１) 増減と凹凸を調べて、関数f(x)のグラフの概形をかけ。
(２) xy平面上において曲線y=f(x)と直線y=$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{x}{e^2}\end{align*}}$ で囲まれた部分の
面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
第1次および第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'\left(x\right)&=\sf e^{-\sqrt{x}}+xe^{\sqrt{x}}\cdot\left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \\ &=\sf \frac{1}{2}\left(2-\sqrt{x}\right)e^{-\sqrt{x}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''\left(x\right)&=\sf -\frac{1}{4\sqrt{x}}\ e^{-\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\left(2-\sqrt{x}\right)e^{-\sqrt{x}}\cdot\left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \\ &=\sf \frac{1}{4}\left(1-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)e^{-\sqrt{x}}\end{align*}}$
なので、f(x)の増減・凹凸およびグラフは次のようになる。
(２)
曲線と直線の共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf xe^{-\sqrt{x}}=\frac{x}{e^2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x\left(e^{2-\sqrt{x}}-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0,4\end{align*}}$
曲線と直線の位置関係は下図のようになるので、
囲まれる面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\int_0^4xe^{-\sqrt{x}}dx-\int_0^4\frac{x}{e^2}\ dx\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=\sqrt{x}\ \ ,\ \ \frac{ds}{dx}=\frac{1}{2}\sqrt{x}=\frac{1}{2t}\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\int xe^{-\sqrt{x}}dx&=\sf\int t^2e^{-t}\cdot 2tdt \\ &=\sf -2t^3e^{-t}+2\int 3t^2e^{-t}dt\\ &=\sf -2t^3e^{-t}-6t^2e^{-t}+6\int 2te^{-t}dt\\ &=\sf -2t^3e^{-t}-6t^2e^{-t}-12te^{-t}+12\int e^{-t}dt\\ &=\sf -2t^3e^{-t}-6t^2e^{-t}-12te^{-t}-12e^{-t}+C\end{align*}}$ (C：積分定数）
また、t=0，4に対応するsはそれぞれs=0，2なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\int_0^4 xe^{-\sqrt{x}}dx &=\sf \left[-2t^3e^{-t}-6t^2e^{-t}-12te^{-t}-12e^{-t}\right]_0^2 \\ &=\sf 12-\frac{76}{e^2} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^4\frac{x}{e^2}\ dx=\left[\frac{x^2}{2e^2}\right]_0^4=\frac{8}{e^2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\left(12-\frac{76}{e^2}\right)-\frac{8}{e^2}=\underline{12-\frac{84}{e^2}}\end{align*}}$
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第３問
xyz空間において、原点Oを中心とする半径1の球面をSとする。
aを正の実数とし、点A(1，0，0)と点P(0，a，0)を通りz軸に平行
な平面をHとする。Hとzx平面のなす角を$\small\sf{\begin{align*}\theta\ \ \left(0\lt\theta\lt\sf \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ とおく。
HとSの交わりである円をCとおく。
(１) aを$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(２) Cの中心の座標を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(３) H上のCで囲まれた部分を底面とし、原点Oを頂点とする円錐の
体積をVとする。Vの最大値とそのときのaの値を求めよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\angle OAP=\theta}$より
$\scriptsize\sf{OP=OA\tan\theta\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\tan\theta}}$
(２)
円Cとxy平面の交点のうち、Aと異なる方をA’とすると、
SおよびHはxy平面について対称なので、AA’は円Cの直径となる。
$\scriptsize\sf{\angle AOA'=\pi-2\theta}$ なので、A’の座標は
$\scriptsize\sf{\left(\cos(\pi-2\theta),\ \sin(\pi-2\theta),\ 0\right)=\left(-\cos2\theta,\ \sin2\theta,\ 0\right)}$
円Cの中心をO’とすると、O’はAA’の中点と一致するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf M\underline{\left(\frac{1-\cos2\theta}{2},\frac{\sin2\theta}{2},0\right)}\end{align*}}$
(３)
円Cの半径は
$\scriptsize\sf{OA'=OA\cos\theta=\cos\theta}$
円錐の高さは
$\scriptsize\sf{OO'=OA\sin\theta=\sin\theta}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\rm \pi\left(\cos\theta\right)^2 \sin\theta \cdot \frac{1}{3} \\ &=\sf \frac{\pi}{3}\sin\theta\left(1-\sin^2\theta\right)\\ &=\sf \frac{\pi}{3}\left(-\sin^3\theta+\sin\theta\right)\end{align*}}$
ここで、関数f(x)を
f(x)=-x3+x (0＜x＜1)
とおくと、
f’(x)=-3x２+1
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、Vの最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_{max}=\frac{\pi}{3}f\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)=\underline{\frac{2\sqrt3}{27}\pi}\end{align*}}$
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\sin\theta=\frac{1}{\sqrt3}\ \ ,\ \ a=\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2-1}}=\underline{\frac{1}{\sqrt2}}\end{align*}}$
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第４問
0＜a＜1である実数aに対して、数列{an}を
a1=a 、 an+1=4an(1-an) （n=1，2，3，･･･）
で定義する。
(１) $\small\sf{\begin{align*}\sf a=\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、an （ n=1，2，3，･･･） を求めよ。
(２) すべての自然数nについて、0≦an≦1であることを証明せよ。
(３) $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a_k\lt\frac{1}{4}\end{align*}}$ をみたす自然数kについて、ak+1＞3akであることを
証明せよ。
(４) $\small\sf{\begin{align*}\sf a_m\geqq\frac{3}{4}\end{align*}}$ をみたす自然数mが存在することを証明せよ。
(５) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\end{align*}}$ であるとき、aN=0 となる自然数Nが存在することを
証明せよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_2=4\cdot\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_3=4\cdot 1\cdot\left(1-1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_4=4\cdot 0\cdot\left(1-0\right)=0\end{align*}}$
以下も帰納的に
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_5=a_6=\cdots =0\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a_1=\frac{1}{2}\ ,\ a_2=1\ ,\ a_n=0\ \left(n\geqq 3\right)}\end{align*}}$
(２)
すべての自然数nについて、0≦an≦1であることを、数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のときは、0＜a＜1なのでOK
(ⅱ) n=kのとき、0≦ak≦1であると仮定する。
ここで、関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=4x\left(1-x\right)=-4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+1\ \ \ \ \left(0\leqq x\leqq 1\right)\end{align*}}$
と定義すると、y=f(x)のグラフは右図のようになり、
定義域は0≦f(x)≦1となる。
よって、0≦ak≦1であるakに対して
0≦f(ak)≦1 ⇔ 0≦ak+1≦1
が成り立つ。
以上より、すべての自然数nについて、0≦an≦1である。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{k+1}-3a_k&=\sf 4a_k\left(1-a_k\right)-3a_k \\ &=\sf a_k\left(1-4a_k\right)\\ &\gt\sf 0\ \ \ \ \left(\because\ 0\lt a_k\lt\frac{1}{4}\right)\end{align*}}$
なので、ak+1＞3akである。
(４)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=4x\left(1-x\right)\geqq\frac{3}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{4}\leqq x\leqq\frac{3}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=4x\left(1-x\right)=\frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{2\pm\sqrt3}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (I)\ \frac{1}{4}\leq a\leq\frac{3}{4}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_2=f\left(a\right)\geqq\frac{3}{4}\end{align*}}$
となるので、m=2とすればOK
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (II)\ 0\lt a\lt\frac{1}{4}\end{align*}}$ のとき、(３)より
a2＞3a1=3a
a3＞3a2＞3２a
a4＞3a3＞3２a2＞33a
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \vdots\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{M-1}\lt\frac{1}{4}\leqq a_{M}\lt\frac{3}{4}\end{align*}}$
となる自然数Mが存在する。このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{M+1}=f\left(a_{M}\right)\geqq\frac{3}{4}\end{align*}}$
となるので、m=M+1とすればOK
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (III)\ \frac{3}{4}\lt a\leqq\frac{2+\sqrt3}{4}\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{4}\leqq f\left(a\right)\lt\frac{3}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{4}\leq a a_2\lt\frac{3}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{3}=f\left(a_{2}\right)\geq\frac{3}{4}\end{align*}}$
となるので、m=3とすればOK
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (IV)\ \frac{2+\sqrt3}{4}\lt a\lt 1\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt f\left(a\right)\lt\frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt a_2\lt\frac{1}{4}\end{align*}}$
この後は(Ⅱ)と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{M-1}\lt\frac{1}{4}\leqq a_{M}\lt\frac{3}{4}\end{align*}}$
となる自然数Mが存在し、このMに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{M+1}=f\left(a_{M}\right)\geqq\frac{3}{4}\end{align*}}$
となるので、m=M+1とすればOK
(５)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\end{align*}}$ のとき、aN=0 となる自然数Nが存在しないと仮定する。
(２)より、すべての自然数nについて、0≦an≦1なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\end{align*}}$
となるためには、ある自然数Lが存在して、L≦nを満たすすべての
自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a_n\lt\frac{1}{4}\end{align*}}$
が成り立つ。
このとき(３)より
aL+1＞3aL
aL+2＞3aL+1＞3２aL
aL+3＞3aL+2＞3２aL+1＞33aL
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \vdots\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{M-1}\lt\frac{1}{4}\leqq a_{M}\lt\frac{3}{4}\end{align*}}$
となる自然数Mが存在することになり、矛盾する。
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\end{align*}}$ であるとき、aN=0 となる自然数Nが存在する。
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