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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017京都府立医科大 数学1



第1問

  正二十面体Xを考える。

 (1) Xのそれぞれの面が正三角形であることを用いて、Xの辺の数と
    頂点の数および1つの頂点にあつまる辺の数を求めよ。

  次にXの1辺の長さは2とし、Xは球Qの表面に内接しているとする。
  Qの中心をOとする。X上の1つの頂点Aとそのとなりにある頂点Bを
  1 つとる。直線OA上にあるAと異なるXの頂点をC、直線OB上にある
  Bと異なるXの頂点をDとおく。

 (2) 頂点A、B、C、Dは同一平面上にあり、四角形ABCDは長方形で
    あることを証明せよ。

 (3) 線分ADの長さを求めよ。

 (4) Qの表面積を求めよ。

 (5) Xの体積を求めよ。

 (6) Xの1つの辺を共有する2つの面にOから下ろした垂線をそれぞれ
    OH、OKとする。このときベクトル$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OK}\end{align*}}$ の内積を求めよ。




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2017京都府立医科大 数学2



第2問

  関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=xe^{-\sqrt{x}}\end{align*}}$ (x≧0)を考える。

 (1) 増減と凹凸を調べて、関数f(x)のグラフの概形をかけ。

 (2) xy平面上において曲線y=f(x)と直線y=$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{x}{e^2}\end{align*}}$ で囲まれた部分の
    面積を求めよ。




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2017京都府立医科大 数学3



第3問

  xyz空間において、原点Oを中心とする半径1の球面をSとする。
  aを正の実数とし、点A(1,0,0)と点P(0,a,0)を通りz軸に平行
  な平面をHとする。Hとzx平面のなす角を$\small\sf{\begin{align*}\theta\ \ \left(0\lt\theta\lt\sf \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ とおく。
  HとSの交わりである円をCとおく。

 (1) aを$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) Cの中心の座標を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (3) H上のCで囲まれた部分を底面とし、原点Oを頂点とする円錐の
    体積をVとする。Vの最大値とそのときのaの値を求めよ。




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2017京都府立医科大 数学4



第4問

   0<a<1である実数aに対して、数列{an}を
     a1=a 、 an+1=4an(1-an)   (n=1,2,3,・・・)
  で定義する。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf a=\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、an ( n=1,2,3,・・・) を求めよ。

 (2) すべての自然数nについて、0≦an≦1であることを証明せよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a_k\lt\frac{1}{4}\end{align*}}$ をみたす自然数kについて、ak+1>3akであることを
    証明せよ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*}\sf a_m\geqq\frac{3}{4}\end{align*}}$ をみたす自然数mが存在することを証明せよ。

 (5) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\end{align*}}$ であるとき、aN=0 となる自然数Nが存在することを
    証明せよ。



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