第1問
直角を挟む2辺の長さの和が12である直角三角形のうち、
斜辺の長さが最小である直角三角形の 3 辺の長さを求めよ。
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【解答】
直角を挟む2辺の長さをx、12-x (0＜x＜12) とし、
斜辺の長さをyとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y&=\sf \sqrt{x^2+\left(12-x\right)^2} \\ &=\sf \sqrt{2x^2-24x+144} \\ &=\sf \sqrt{2\left(x-6\right)^2+72}\end{align*}}$
となるので、x=6のときyは最大値6$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ をとる。
このとき、3辺の長さは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{6,6,6\sqrt2}\end{align*}}$
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- 2017/10/26(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良教育大 2017
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第2問
以下の場合の数を求めよ。
(1) 0から9までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。
これらの10枚のカードを使って作られる、3桁の自然数は何通り
あるか。
(2) 3桁の自然数の百の位の数字をa1、十の位の数字をa2、一の位
の数字をa3とする。
このとき、(1)での10枚のカードを使って作られる、a1＜a2＜a3を
満たす自然数は何通りあるか。
(3) これまでの10枚に、数字0のカードと数字1のカードを加える。
これらの12枚のカードを使って作られる、3桁の自然数は何通り
あるか。
(4) (3)での12枚のカードを使って作られる、a1≦a2≦a3を満たす
自然数は何通りあるか。
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【解答】
3桁の自然数の百の位の数字をa1、十の位の数字をa2、一の位
の数字をa3とする。
(1)
a1・・・・・・ 0以外の9通り
a2・・・・・・ a1以外の9通り、
a3・・・・・・ a1、a2以外の8通り
よって、
9×9×8=648通り
(2)
a1≠0なので、1～9の中から3つの数を選び、小さいほうから順に
a1、a2、a3とすればよいので、
9C3=84通り
(3)
・a1=a2=1のもの・・・・・・・9通り
・a1=a3=1のもの・・・・・・・9通り
・a2=a3=1のもの・・・・・・・8通り
・a2=a3=0のもの・・・・・・・9通り
これと(1)より
648+9+9+8+9=683通り
(4)
a1=a2=1＜a3のもの・・・・・・・8通り
これと(1)より
84+8=92通り
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- 2017/10/27(金) 23:57:00|
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第3問
以下の問に答えよ。
(1) 次の命題1が真であることを示せ。
命題1：「x2+y2≦4y-3 ならば y≧x2となる」
(2) 次の命題2が偽であることを示せ。
命題2：「x2+y2≦1 ならば y≧x2となる」
(3) 次の命題3が真であるような、aの範囲を求めよ。
命題3：「x2+y2-2ay≦1-a2 ならば y≧x2となる」
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【解答】
(3)
円C：x2+y2-2ay=1-a2 と放物線D：y=x2の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y+y^2-2ay=1-a^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf y^2-\left(2a-1\right)y+a^2-1=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(y-a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{4a-5}{4}=0\end{align*}}$
これが重解を持つための条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4a-5}{4}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{5}{4}\end{align*}}$
このとき、この方程式の重解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\end{align*}}$
となり、CとDは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{3}{4}\end{align*}}$ である点で接する。
円Cの中心の座標は(0，a)なので、a≧$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{4}\end{align*}}$ のとき、
領域x2+y2-2ay≦1-a2は領域y≧x2に含まれる。
よって、命題3が真となるようなaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{a\geqq \frac{5}{4}}\end{align*}}$
(1)
a=2のとき、命題3は真なので、命題1は真である。
(2)
a=0のとき、命題3は偽なので、命題2は偽である。
面倒なので(3)を先にやりましたｗｗｗ
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- 2017/10/28(土) 23:57:00|
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