第１問
nを自然数とする。1から3n+1までの自然数を並べかえて、順に
a1、a2、・・・、an+1、b1、b2、・・・、bn、c1、c2、・・・、cn
とおく。また、次の条件(C1)、(C2)が成立しているとする。
(C1) 3n個の値
|a1-a2|、|a2-a3|、・・・、|an-an+1|、
|a1-b1|、|a2-b2|、・・・、|an-bn|、
|a1-c1|、|a2-c2|、・・・、|an-cn|
は、すべて互いに異なる。
(C2) 1以上n以下のすべての自然数kに対し
|ak-bk|＞|ak-ck|＞|ak-ak+1|
が成り立つ。
このとき以下の各問いに答えよ。
(１) n=1かつa1=1のとき、a2、b1、c1を求めよ。
(２) n=2 かつa1=7のとき、a2、a3、b1、b2、c1、c2を求めよ。
(３) n≧2 かつa1=1のとき、a3を求めよ。
(４) n=2017かつa1=1のとき、a29、b29、c29を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
n=1かつa1=1のとき、(C2)より
|a1-b1|＞|a1-c1|＞|a1-a2|
⇔ |1-b1|＞|1-c1|＞|1-a2|
⇔ b1-1＞c1-1＞a2-1
⇔ b1＞c1＞a2
なので、
(a2，b1，c1)=(2，4，3)
(２)
n=2のとき、(C2)より
|a1-b1|＞|a1-c1|＞|a1-a2|
|a2-b2|＞|a2-c2|＞|a2-a3|
a1=7より、1≦a2≦6 、 1≦b2≦6なので、|a2-b2|≦5.
よって、|a1-b1|=6 ⇔ b1=1
このとき、2≦a2≦6 、 2≦b2≦6なので、|a2-b2|≦4.
よって、|a1-c1|=5 ⇔ c1=2
このとき、3≦a2≦6 、 3≦b2≦6なので、|a2-b2|≦3.
よって、|a1-a2|=4 ⇔ a2=3
このとき、|a2-b2|＞|a2-c2|＞|a2-a3|なので、
|a2-b2|=3、 |a2-c2|=2、 |a2-a3|=1
⇔ b2=6、 c2=5、 a3=4
以上より、
(a2，a3，b1，b2，c1，c2)=(3，4，1，6，2，5)
(３)
n≧2のとき、(C2)より
|a1-b1|＞|a1-c1|＞|a1-a2|
|a2-b2|＞|a2-c2|＞|a2-a3|
・
・
・
|an-bn|＞|an-cn|＞|an-an+1|
a1=1より、k=2，3，･･･，nに対して
2≦ak≦3n+1 、 2≦bk≦3n+1なので、|ak-bk|≦3n-1.
よって、|a1-b1|=3n ⇔ b1=3n+1
このとき、k=2，3，･･･，nに対して
2≦ak≦3n 、 2≦bk≦3nなので、|ak-bk|≦3n-2.
よって、|a1-c1|=3n-1 ⇔ c1=3n
このとき、k=2，3，･･･，nに対して
2≦ak≦3n-1 、 2≦bk≦3n-1なので、|ak-bk|≦3n-3.
よって、|a1-a2|=3n-2 ⇔ a2=3n-1
このとき、k=3，4，･･･，nに対して
2≦ak≦3n-2 、 2≦bk≦3n-2なので、|ak-bk|≦3n-4.
よって、|a2-b2|=3n-3 ⇔ b2=2
このとき、k=3，4，･･･，nに対して
3≦ak≦3n-2、 3≦bk≦3n-2なので、|ak-bk|≦3n-5.
よって、|a2-c2|=3n-4 ⇔ c2=3
このとき、k=3，4，･･･，nに対して
4≦ak≦3n-2、 4≦bk≦3n-2なので、|ak-bk|≦3n-6.
よって、|a2-a3|=3n-5 ⇔ a3=4
(４)
n=2017かつa1=1のとき、(３)と同様に考えると、
a2=6050、 a3=4、 b1=6052、 b2=2、 c1=6051、 c2=3
ここで、
Ak=ak-2-3 （k=3，4，･･･，2018）
Bk=bk-2-3 （k=3，4，･･･，2017）
Ck=ck-2-3 （k=3，4，･･･，2017）
とおくと、これら6046個の数は1から6046までの自然数を並べかえた
ものであり、次の条件(D1)、(D2)を満たすことになる。
(D1) 2045個の値
|A1-A2|、|A2-A3|、・・・、|A2015-A2016|、
|A1-B1|、|A2-B2|、・・・、|A2015-B2015|、
|A1-C1|、|A2-C2|、・・・、|A2015-C2015|
は、すべて互いに異なる。
(D2) 1以上2015以下のすべての自然数kに対し
|Ak-Bk|＞|Ak-Ck|＞|Ak-Ak+1|
が成り立つ。
A1=1なので、(３)と同様に考えると、
A2=6046、 A3=4、 B1=6048、 B2=2、 C1=6047、 C2=3
よって、
a4=6049、 a5=7、 b3=6051、 b4=5、 c3=6050、 c4=6
この考え方を繰り返し用いると、k=1，2，･･･，1009に対して
a2k-1=3k-2
b2k-1=-3k+6055
c2k-1=-3k+6054
となるので、
(a29，b29，c29)=(43，6010，6009)
なんとも答案が書きにくいですね＾＾；；
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- 2018/11/16(金) 01:19:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京医科歯科大 2017
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第２問
xyz空間において、点O(0，0，0)と点A(0，0，1)を結ぶ線分OAを直径に
もつ球面をσとする。このとき以下の各問いに答えよ。
(１) 球面σの方程式を求めよ。
(２) xy平面上にあってOと異なる点Pに対して、線分APと球面σとの交点
をQとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ ⊥$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ を示せ。
(３) 点S(p，q，r)を、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}\end{align*}}$ ・$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AS}\end{align*}}$ =-|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}\end{align*}}$ |2を満たす、xy平面上にない定点と
する。σ上の点Qが$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}\end{align*}}$ ⊥$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf SQ}\end{align*}}$ を満たしながら動くとき、直線AQとxy平
面との交点Pはどのような図形を描くか。p、q、rを用いて答えよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
OAの中点をMとすると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\left(0,0,\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
なので、σはMを中心とし、半径OMの球面なので、
その方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{x^2+y^2+\left(z-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}}\end{align*}}$
(２)
QはOAを直径とする球面上にあるので、∠OQA=90°.
Pは直線AQ上の点なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ ⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ である。
(３)
△OAPにおいて、P(X，Y，0)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA=1\ \ ,\ \ OP=\sqrt{X^2+Y^2}\ \ ,\ \ AP=\sqrt{X^2+Y^2+1}\end{align*}}$
△OAP∽△QAOなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AQ:AO=AO:AP&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf AQ:1=1:\sqrt{X^2+Y^2+1} \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf AQ=\frac{1}{\sqrt{X^2+Y^2+1}} \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=\frac{AQ}{AP}\ \overrightarrow{\sf AP}=\frac{1}{X^2+Y^2+1}\left(X,Y,-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf MQ}&=\sf \overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf AQ}-\overrightarrow{\sf OM} \\ &=\sf \left(0,0,1\right)+\frac{1}{X^2+Y^2+1}\left(X,Y,-1\right)-\left(0,0,\frac{1}{2}\right)\\ &=\sf \frac{1}{X^2+Y^2+1}\left(X,Y,\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2}Y^2-\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}=\left(p,q,r\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AS}=\left(p,q,r-1\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}\cdot\overrightarrow{\sf AS}=-|\overrightarrow{\sf OS}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2+q^2+r\left(r-1\right)=-\left(p^2+q^2+r^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2+q^2+r^2-\frac{r}{2}=0\ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2+q^2+\left(r-\frac{1}{4}\right)^2=\left(\frac{1}{4}\right)^2\end{align*}}$
となるので、Sは線分OMを直径とする球面上（ただし、Oは除く）
にあり、∠OSM=90°.
よって、OS⊥SQのとき、OS⊥平面SMQであり、OS⊥MQとなるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}\cdot\overrightarrow{\sf MQ}=\frac{1}{X^2+Y^2+1}\bigg\{pX+qY+r\left(\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2}Y^2-\frac{1}{2}\right)\bigg\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ rX^2+rY^2+2pX+2qY=r=\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X+\frac{p}{r}\right)^2+\left(Y+\frac{q}{r}\right)^2&=\sf \frac{p^2+q^2+r^2}{r^2}\ \ \ \ \ \left(\because\ r\ne 0\right) \\ &=\sf \frac{1}{2r}\ \ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\end{align*}}$
以上より、
点Pはxy平面上で点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-\frac{p}{r},-\frac{q}{r}\right)\end{align*}}$ 、半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{2r}}\end{align*}}$ の円を描く。
相似に気づくと楽です。
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- 2018/11/16(金) 01:20:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京医科歯科大 2017
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第３問
連続関数f(x)と定数aが次の関係式を満たしている。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^xf\left(t\right)dt=4ax^3+\left(1-3a\right)x+\int_0^x\bigg\{\int_0^uf\left(t\right)dt\bigg\}du+\int_x^1\bigg\{\int_u^1f\left(t\right)dt\bigg\}du\end{align*}}$
このとき以下の各問いに答えよ。
(１) aとf(0)+f(1)の値を求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)=e-2xf(x)とおくとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)の導関数$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$’(x)を求めよ。
ここでeは自然対数の底を表す。
(３) f(x)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^xf\left(t\right)dt=4ax^3+\left(1-3a\right)x+\int_0^x\bigg\{\int_0^uf\left(t\right)dt\bigg\}du+\int_x^1\bigg\{\int_u^1f\left(t\right)dt\bigg\}du\end{align*}}$ ･････(ⅰ)
(１)
(ⅰ)にx=0を代入
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=\int_0^1\bigg\{\int_u^1f\left(t\right)dt\bigg\}du\end{align*}}$
(ⅰ)にx=1を代入
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1f\left(t\right)dt=a+1+\int_0^1\bigg\{\int_0^uf\left(t\right)dt\bigg\}du\end{align*}}$
これら2式を辺々加えると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1f\left(t\right)dt&=\sf a+1+\int_0^1\bigg\{\int_0^uf\left(t\right)dt\bigg\}du+ \int_0^1\bigg\{\int_u^1f\left(t\right)dt\bigg\}du\\ &=\sf a+1+\int_0^1\bigg\{\int_0^uf\left(t\right)dt+\int_u^1f\left(t\right)dt\bigg\}du \\ &=\sf a+1+\int_0^1\bigg\{\int_0^1f\left(t\right)dt\bigg\}du\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\int_0^1f\left(t\right)dt\end{align*}}$
とおくと、kは定数なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=a+1+\int_0^1kdx\ \ \Leftrightarrow\ \ k=a+1+k\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{a=-1}\end{align*}}$
このとき(ⅰ)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^xf\left(t\right)dt=-4x^3+4x+\int_0^x\bigg\{\int_0^uf\left(t\right)dt\bigg\}du+\int_x^1\bigg\{\int_u^1f\left(t\right)dt\bigg\}du\end{align*}}$ ･････(A)’
となり、両辺をxで微分すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=-12x^2+4+\int_0^xf\left(t\right)dt-\int_x^1f\left(t\right)dt\end{align*}}$ ･････(ⅱ)
(ⅱ)にx=0を代入
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(0\right)=4-\int_0^1f\left(t\right)dt\end{align*}}$
(ⅱ)にx=1を代入
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(1\right)=-8+\int_0^1f\left(t\right)dt\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(0\right)+f\left(1\right)=\left(4-\int_0^1f\left(t\right)dt\right)+\left(-8+\int_0^1f\left(t\right)dt\right)=\underline{-4}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(x\right)=e^{-2x}f\left(x\right)\end{align*}}$ ･･････(ⅲ)
をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '\left(x\right)=-2e^{-2x}f\left(x\right)+e^{-2x}f\ '\left(x\right)\end{align*}}$
ここで、(ⅱ)をxで微分すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left(x\right)=-24x+f\left(x\right)+f\left(x\right)=-24x+2f\left(x\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ '\left(x\right)&=\sf -2e^{-2x}f\left(x\right)+e^{-2x}\left(-24x+2f\left(x\right)\right) \\ &=\sf \underline{-24e^{-2x}}\end{align*}}$
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\left(x\right)&=\sf \int g\ '\left(x\right)dx \\ &=\sf \int\left(-24e^{-2x}\right)dx \\ &=\sf 12xe^{-2x}-12\int e^{-2x}dx \\ &=\sf 12xe^{-2x}+6e^{-2x}+C \end{align*}}$ (C：積分定数)
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{e^{-2x}}=12x+6+Ce^{2x}\end{align*}}$
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(0\right)+f\left(1\right)=\left(6+C\right)+\left(18+Ce^{2}\right)=-4\ \ \Leftrightarrow\ \ C=-\frac{28}{e^2+1}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=\underline{12x+6-\frac{28e^{2x}}{e^2+1}}\end{align*}}$
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