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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017立命館大 理系(2月3日) 数学1



第1問

  Oを原点とする座標平面上において、点Pは点Oを中心とする半径2の
  円周上を反時計回りに動き、点Qは点Pを中心とする半径1の円周上を
  反時計回りに動く。時刻t=0のとき、点Pは(2,0)にあり、点Qは(3,0)
  にある。時刻tのとき、線分OPは、x軸の正の部分を始線とした角tの
  動径とする。また、時刻tのとき、線分PQは、点Pを始点とし動径OPを
  延長した半直線を始線とした角tの動径とする。ただし、0≦t≦$\small\sf{\pi}$ とする。

 (1) 時刻 t における点Qの座標は( ア  イ  ) である。

 (2) 時刻t=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ における点Qの速度ベクトルは( ウ  エ  ) 、速さは
     オ  である。

 (3) 点Qのx座標は、t= カ  のとき最小値 キ  となる。

 (4) 点Qのy座標の最大値は ク  である。

 (5) 点Qの軌跡とx軸で囲まれた図形の面積は ケ  である。



2017立命館大 理系(2月3日) 数学2



第2問

  a、b、kは0ではない実数とし、i は虚数単位とする。複素数からなる数列
  {zn}を次の漸化式で定める。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf z_1=a+bi\ \ ,\ \ z_{n}=\left(k+2i\right)z_{n-1}+2\overline{z_{n-1}}\ \ \ \left(n=2,3,\cdots\right)\end{align*}}$
  数列{zn} の一般項を次の手順で求める。まず、zn=xn+yni とおく。
  ただし、xn、ynは実数である。このとき数列{zn}の漸化式から、数列{xn}、
  {yn} に関する漸化式
         xn=( コ  )xn-1- サ  yn-1
         yn= シ  xn-1+( ス  )⁢yn-1     (n= 2,3,・・・)
  を得る。これよりxn-yn= セ  を得る。したがって、数列{xn}は漸化式
         xn= ソ  ⁢xn-1+ タ     (n=2,3,・・・)
  を満たす。これより、数列{xn} の一般項は
         xn= チ    (n=1,2,・・・)
  と求まり、数列{yn} の一般項も
         yn= ツ    (n=1,2,・・・)
  と求まる。
      (注: セ  タ  ツ  は、a、b、k、nを用いて表せ。 ソ 
       はkを用いて表せ。)

  次に、znの実部xnと虚部ynとの比を調べる.

 (1) a=bのとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x_n}{y_n}\end{align*}}$ = テ  である。また、a<0かつk>0のとき、arg zn=
     ト  である。ただし、znの偏角 arg znは 0≦arg zn<2⁢$\small\sf{\pi}$ とする。

 (2) a≠bのとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}\end{align*}}$= ナ  である。




2017立命館大 理系(2月3日) 数学3



第3問

  Oを原点とする座標空間において、8点A1(1,1,1)、A2(1,-1,1)、
  A3(-1,-1,1)、A4(-1,1,1)、B1(1,1,-1)、B2(1,-1,-1)、
  B3(-1,-1,-1)、B4(-1,1,-1)を頂点とする立方体A1A2A3A4
  B1B2B3B4がある.また、正の定数a、b、cに対し、原点を通りベクトル
  (a,b,c)に垂直な平面をHとする。

 (1) 点A1、B1を通る直線と平面Hとの共有点のz座標は ニ  であり、
    点 A4、B4を通る直線と平面Hとの共有点のz座標は ヌ  である。
    これより、4つの線分A1B1、A2B2、A3B3、A4B4の全てと平面Hが
    共有点を持つためのa、b、cが満たすべき必要十分条件は ネ 
    かつ ノ  である。a、b、cが ネ  かつ ノ  を満たすとき、立方
    体A1A2A3A4‐B1B2B3B4の平面Hによる切り口の面積は
           ハ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{align*}}$
    である。 (注: ネ  ノ  には、a、b、cの関係式を入れよ。)

 (2) 線分A1B1と平面Hが共有点を持たず、線分A4B4と平面Hが共有点
    を持つためのa、b、cが満たすべき必要十分条件は ヒ  かつ フ 
    である。a、b、cが ヒ  かつ フ  を満たすとき、線分A3A4と平面
    H、線分A2A3と平面Hはそれぞれ共有点を持つ。これらをそれぞれ
    点P、Qとすると、点Pのy座標は ヘ  であり、点Qのx座標は ホ 
    である。点A3,B3を通る直線と平面Hとの共有点をRとすると、△PQR
    の面積は マ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{align*}}$ である。よって、立方体A1A2A3A4‐B1
    B2B3B4の平面Hによる切り口の面積は ミ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{align*}}$ となる。
     (注: ヒ  フ  には、a、b、cの関係式を入れよ。)




2017立命館大 理系(2月3日) 数学4



第4問

  点Pが数直線上の原点から出発して、1ステップごとに、正の方向もしくは
  負の方向に1だけ動くとする。点Pがi ステップ後にjの位置にあることを
  (i,j)と表す。ただし、0ステップで点Pが原点の位置にあることを(0,0)と
  表す。このとき、ちょうど3ステップで(0,0)から(3,1)にたどり着く経路は
  3通りである。その一例を図に実線で示す。また、それら3通りの経路の中
  で少なくとも1回はj=2の位置を通っているものは1通りである。

 (1) ちょうど7ステップで(0,0)から(7,1)にたどり着く経路を考える。(0,0)
    から(7,1)にたどり着く経路は ム  通りである。その経路の中で少な
    くとも1回はj=2の位置を通るものを考える。この中で最後にj=2の位置
    を通るのがちょうど2ステップ後である経路は メ  通りである。同様に、
    最後にj=2の位置を通るのがちょうど4ステップ後である経路は モ 
    通りである。また、最後にj=2の位置を通るのがちょうど6ステップ後で
    ある経路は ヤ  通りである。したがって(0,0)から(7,1)にたどり着く
    経路の中で、少なくとも1回はj=2の位置を通っているものは ユ  通り
    である。

 (2) ちょうど9ステップで(0,0)から(9,1)にたどり着く経路を考える。(0,0)
    から(9,1)にたどり着く経路は ヨ  通りであり、その中で少なくとも1回
    はj=2の位置を通っているものは ラ  通りである。また、(0,0)から
    (9,1)にたどり着く経路で、j=-2の位置を少なくとも1回は通りかつ、j=2
    の位置を1回も通っていないものは リ  通りである。したがって、j=2
    またはj=-2の位置を少なくとも1回は通っているものは ル  通りである。

              0005_20170911203418587.jpg
解答はこちら↓