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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾　青木ゼミの塾長ブログ

2017立命館大　理系(2月2日)　数学１



第1問

　　p≧0、q≧0に対して、定積分I(p，q)を次のように定める。
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf \left(p,q\right)=\int_0^1x^p\left(1-x\right)^qdx\end{align*}}$

　(1) I(p，0)=　ア　 である。q＞0のとき、I(p，q)に対し、部分積分法を1回
　　　 用いると
　　　　　　　I(p，q)=　イ　 I(p+1，　ウ　 )
　　　 を得る。この関係式より、m、nを自然数とすると
　　　　　　　　　　　　0002_20170911171145b24.jpg
　　　 が得られる。
　　　　　　　（注：　エ　 には、Iを用いないm、nの式を入れよ。）

　(2) 3次関数y=f(x)のグラフが、x軸と2つの共有点$\small\sf{\sf (\alpha,\ 0)\ ,\ (\beta,\ 0)\ \ （\alpha\lt\beta\ ,\ \alpha\beta\ne 0)}$
　　　 をもち、$\small\sf{\sf x=\beta}$ でx軸に接するとする。この3次関数f(x)について、
　　　 $\small\sf{\sf f(0)=2\alpha\beta^2}$ であるとき、f(x)の最高次の係数は　オ　 である。このとき、
　　　 この3次関数のグラフとx軸で囲まれた図形の面積SをI(1，2)を用いて表すと
　　　　　　　　S=　カ　 I⁡(1，2)
　　　 となる。特に $\small\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{3}{8}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\beta-\alpha}$ =　キ　 である。
　　　　　　　（注： 　カ　 には、積分記号を含まない$\small\sf{\alpha,\ \beta}$ の式を入れよ。　キ　
　　　　　　　　には、数を入れよ。）

　(3) 最高次の係数が1である6次関数$\small\sf{\begin{align*} \sf y=g(x)\end{align*}}$ について、方程式$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)=0\end{align*}}$ が$\small\sf{x=\alpha}$
　　　 のとき2重解、$\small\sf{x=\beta}$ のとき4重解をもつとする。ただし、$\small\sf{\alpha\lt\beta}$ とする。このとき、
　　　 曲線$\small\sf{\begin{align*} \sf y=g(x)\end{align*}}$ とx軸で囲まれた図形の面積は　ク　 である。




2017立命館大　理系(2月2日)　数学２



第2問

　　Oを原点とする座標平面上において、$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\lt\theta\lt\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ を満たす実数$\small\sf{\theta}$ に対し、
　　方程式
　　　　　　　　　　$\small\sf{\sf (1 +\sin\theta)x-(\cos\theta)y=\cos\theta}$
　　で表される直線を$\small\sf{L_{\theta}}$ とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf\theta\ne \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、直線$\small\sf{L_{\theta}}$ はx軸と点P(　ケ　 ，0)
　　　 で交わり、y軸と点Q(0，　コ　 )で交わる。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf\theta= \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、直線$\small\sf{L_{\theta}}$ は
　　y軸と一致する。
　　一方、$\small\sf{\theta}$ を媒介変数とする点R(　サ　 ，$\small\sf{\sin\theta}$ )は、直線$\small\sf{_{\theta}}$ 上に存在する。
　　点(-1，0)と点(1，0)を結ぶ線分上に点Pが存在する$\small\sf{\theta}$ の範囲は　シ　 である。
　　また、点Pのx座標をtと書くとき、sin$\small\sf{\theta}$ 、cos$\small\sf{\theta}$ はtを用いて
　　　　　　　　　　$\small\sf{\sin\theta}$ =　ス　 、 $\small\sf{\cos\theta}$ =　セ　
　　と表せる。
　　$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\lt\alpha\le\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ を満たす実数$\small\sf{\alpha}$ に対して、$\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ から$\small\sf{\alpha}$ まで変化するとき、
　　点Rの軌跡を$\small\sf{C_{\alpha}}$ とする。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \theta=- \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、点Rの座標は(0，-1)と定める。
　　曲線$\small\sf{C_{\alpha}}$ と直線$\small\sf{L_{\alpha}}$ で囲まれた図形の面積を$\small\sf{S(\alpha)}$ とする。

　(1) $\small\sf{\begin{align*} -\sf \frac{\pi}{2}\le\alpha\le\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{S(\alpha)}$ =　ソ　 である。$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で、$\small\sf{\alpha=\cos\alpha}$ を満たす
　　　 $\small\sf{\alpha}$ を$\small\sf{\beta}$ とする。このとき、$\small\sf{S(\beta)}$ =　タ　 である。

　(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ のとき、S($\small\sf{\alpha}$ )=　チ　 である。(1)の$\small\sf{\beta}$ に対して、$\small\sf{S(\pi -\beta)}$ =
　　　 　ツ　 である。

　(3) 曲線$\small\sf{C_{\alpha}}$ の長さの半分が$\small\sf{S(\alpha)}$ に一致するとき、$\small\sf{\alpha}$ =　テ　 である。


2017立命館大　理系(2月2日)　数学３



第3問

　　Oを原点とする座標空間における4点A(1，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，1)、
　　D(0，0，-1)をとる。
　
　(1) 3点A、B、Cの定める平面ABCと原点を通る直線Lが交わる点をPとする。
　　　 直線Lが点$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1,\ \frac{1}{2},\ 1\right)\end{align*}}$ を通るとき、点Pの座標は
　　　　　　　　　　　　(　ト　 ，　ナ　 ，　ニ　 )
　　　 となる。
　　　 0＜a＜1である実数aを用いて、線分ABをa：(1-a)に内分する点をMと
　　　 したとき、Mの座標は
　　　　　　　　　　　　(　ヌ　 ，　ネ　 ，　ノ　 )
　　　 と表せる。このとき、線分MPの長さの2乗をaを用いて表すと、
　　　　　　　　　　　　MP2=2(a-　ハ　 )2+ 　ヒ　
　　　 となる。よって、線分MPの長さを最小にするaの値は　ハ　 となる。
　　　　　　　　（注： 　ハ　 、　ヒ　 には、数を入れよ。）

　(2) 点Pを通るz軸に平行な直線と3点A、B、Dの定める平面ABDとの交点を
　　　 Qとする。(1)で定めた線分MPの長さを最小にするaの値を用いるとき、
　　　 線分MQの長さは　フ　 となるので、∠PMQを$\small\sf{\theta}$ としたとき、cos$\small\sf{\theta}$ =　ヘ　
　　　 となる。よって、△PMQの面積は　ホ　 となる。
　　　 3点P、M、Qの定める平面PMQへ点Cから垂線を下ろす。垂線の足をHと
　　　 するとき、線分CHの長さは　マ　 となる。よって、四面体CPMQの体積は
　　　 　ミ　 となる。




2017立命館大　理系(2月2日)　数学４



第4問

　　図1のように10点がそれぞれ辺で結ばれている図をAさんとBさんに渡した。
　　さらにBさんは図2のように横軸と縦軸に数字を書き込んだ。図1においてA
　　さんが無作為に選んだ点を、Bさんが見てその点を横軸と縦軸の数字で評価
　　する。例えば、図2の点Pの横軸の評価は2で、縦軸の評価は7である。

　(1) Aさんが10点の中から1点を選ぶとき、Bさんによる横軸の評価が2以上で
　　　 ある確率は　ム　 である。また、横軸と縦軸の評価の積が 18 以上になる
　　　 確率は　メ　 である。

　(2) (1)と同様に、Aさんが10点の中から1点を選ぶ試行を2回繰り返すとき、
　　　 その2点が同じ点である確率は　モ　 である。また、その2点を結ぶ辺の
　　　 数の最小値が2以上である確率は　ヤ　 である。ただし、図3において、
　　　 2点を結ぶ辺の数の最小値の例を挙げる。
　　　 次に、1点目の縦軸の評価と2点目の横軸の評価の積が18以上になる確率
　　　 は　ユ　 になる。また。2点目の横軸の評価が2以上であることがわかった
　　　 ときに、1点目の縦軸の評価と2点目の横軸の評価の積が18以上になる確
　　　 率は　ヨ　 である。

　(3) 最後に、Aさんが10点の中から1点を選ぶ試行を10回繰り返すとき、選んだ
　　　 全ての点が異なる点である確率は　ラ　 である。
　　　　　　　　（注：　ム　 ～　ヨ　 は、既約分数で答えよ。）