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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017立命館大 理系(2月2日) 数学1



第1問

  p≧0、q≧0に対して、定積分I(p,q)を次のように定める。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf \left(p,q\right)=\int_0^1x^p\left(1-x\right)^qdx\end{align*}}$

 (1) I(p,0)= ア  である。q>0のとき、I(p,q)に対し、部分積分法を1回
    用いると
       I(p,q)= イ  I(p+1, ウ  )
    を得る。この関係式より、m、nを自然数とすると
            0002_20170911171145b24.jpg
    が得られる。
       (注: エ  には、Iを用いないm、nの式を入れよ。)

 (2) 3次関数y=f(x)のグラフが、x軸と2つの共有点$\small\sf{\sf (\alpha,\ 0)\ ,\ (\beta,\ 0)\ \ (\alpha\lt\beta\ ,\ \alpha\beta\ne 0)}$
    をもち、$\small\sf{\sf x=\beta}$ でx軸に接するとする。この3次関数f(x)について、
    $\small\sf{\sf f(0)=2\alpha\beta^2}$ であるとき、f(x)の最高次の係数は オ  である。このとき、
    この3次関数のグラフとx軸で囲まれた図形の面積SをI(1,2)を用いて表すと
        S= カ  I⁡(1,2)
    となる。特に $\small\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{3}{8}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\beta-\alpha}$ = キ  である。
       (注:  カ  には、積分記号を含まない$\small\sf{\alpha,\ \beta}$ の式を入れよ。 キ 
        には、数を入れよ。)

 (3) 最高次の係数が1である6次関数$\small\sf{\begin{align*} \sf y=g(x)\end{align*}}$ について、方程式$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)=0\end{align*}}$ が$\small\sf{x=\alpha}$
    のとき2重解、$\small\sf{x=\beta}$ のとき4重解をもつとする。ただし、$\small\sf{\alpha\lt\beta}$ とする。このとき、
    曲線$\small\sf{\begin{align*} \sf y=g(x)\end{align*}}$ とx軸で囲まれた図形の面積は ク  である。




2017立命館大 理系(2月2日) 数学2



第2問

  Oを原点とする座標平面上において、$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\lt\theta\lt\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ を満たす実数$\small\sf{\theta}$ に対し、
  方程式
          $\small\sf{\sf (1 +\sin\theta)x-(\cos\theta)y=\cos\theta}$
  で表される直線を$\small\sf{L_{\theta}}$ とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf\theta\ne \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、直線$\small\sf{L_{\theta}}$ はx軸と点P( ケ  ,0)
    で交わり、y軸と点Q(0, コ  )で交わる。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf\theta= \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、直線$\small\sf{L_{\theta}}$ は
  y軸と一致する。
  一方、$\small\sf{\theta}$ を媒介変数とする点R( サ  ,$\small\sf{\sin\theta}$ )は、直線$\small\sf{_{\theta}}$ 上に存在する。
  点(-1,0)と点(1,0)を結ぶ線分上に点Pが存在する$\small\sf{\theta}$ の範囲は シ  である。
  また、点Pのx座標をtと書くとき、sin$\small\sf{\theta}$ 、cos$\small\sf{\theta}$ はtを用いて
          $\small\sf{\sin\theta}$ = ス  、 $\small\sf{\cos\theta}$ = セ 
  と表せる。
  $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\lt\alpha\le\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ を満たす実数$\small\sf{\alpha}$ に対して、$\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ から$\small\sf{\alpha}$ まで変化するとき、
  点Rの軌跡を$\small\sf{C_{\alpha}}$ とする。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \theta=- \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、点Rの座標は(0,-1)と定める。
  曲線$\small\sf{C_{\alpha}}$ と直線$\small\sf{L_{\alpha}}$ で囲まれた図形の面積を$\small\sf{S(\alpha)}$ とする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} -\sf \frac{\pi}{2}\le\alpha\le\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{S(\alpha)}$ = ソ  である。$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で、$\small\sf{\alpha=\cos\alpha}$ を満たす
    $\small\sf{\alpha}$ を$\small\sf{\beta}$ とする。このとき、$\small\sf{S(\beta)}$ = タ  である。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ のとき、S($\small\sf{\alpha}$ )= チ  である。(1)の$\small\sf{\beta}$ に対して、$\small\sf{S(\pi -\beta)}$ =
     ツ  である。

 (3) 曲線$\small\sf{C_{\alpha}}$ の長さの半分が$\small\sf{S(\alpha)}$ に一致するとき、$\small\sf{\alpha}$ = テ  である。


2017立命館大 理系(2月2日) 数学3



第3問

  Oを原点とする座標空間における4点A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)、
  D(0,0,-1)をとる。
 
 (1) 3点A、B、Cの定める平面ABCと原点を通る直線Lが交わる点をPとする。
    直線Lが点$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1,\ \frac{1}{2},\ 1\right)\end{align*}}$ を通るとき、点Pの座標は
            ( ト  ナ  ニ  )
    となる。
    0<a<1である実数aを用いて、線分ABをa:(1-a)に内分する点をMと
    したとき、Mの座標は
            ( ヌ  ネ  ノ  )
    と表せる。このとき、線分MPの長さの2乗をaを用いて表すと、
            MP2=2(a- ハ  )2+  ヒ 
    となる。よって、線分MPの長さを最小にするaの値は ハ  となる。
        (注:  ハ  ヒ  には、数を入れよ。)

 (2) 点Pを通るz軸に平行な直線と3点A、B、Dの定める平面ABDとの交点を
    Qとする。(1)で定めた線分MPの長さを最小にするaの値を用いるとき、
    線分MQの長さは フ  となるので、∠PMQを$\small\sf{\theta}$ としたとき、cos$\small\sf{\theta}$ = ヘ 
    となる。よって、△PMQの面積は ホ  となる。
    3点P、M、Qの定める平面PMQへ点Cから垂線を下ろす。垂線の足をHと
    するとき、線分CHの長さは マ  となる。よって、四面体CPMQの体積は
     ミ  となる。




2017立命館大 理系(2月2日) 数学4



第4問

  図1のように10点がそれぞれ辺で結ばれている図をAさんとBさんに渡した。
  さらにBさんは図2のように横軸と縦軸に数字を書き込んだ。図1においてA
  さんが無作為に選んだ点を、Bさんが見てその点を横軸と縦軸の数字で評価
  する。例えば、図2の点Pの横軸の評価は2で、縦軸の評価は7である。

 (1) Aさんが10点の中から1点を選ぶとき、Bさんによる横軸の評価が2以上で
    ある確率は ム  である。また、横軸と縦軸の評価の積が 18 以上になる
    確率は メ  である。

 (2) (1)と同様に、Aさんが10点の中から1点を選ぶ試行を2回繰り返すとき、
    その2点が同じ点である確率は モ  である。また、その2点を結ぶ辺の
    数の最小値が2以上である確率は ヤ  である。ただし、図3において、
    2点を結ぶ辺の数の最小値の例を挙げる。
    次に、1点目の縦軸の評価と2点目の横軸の評価の積が18以上になる確率
    は ユ  になる。また。2点目の横軸の評価が2以上であることがわかった
    ときに、1点目の縦軸の評価と2点目の横軸の評価の積が18以上になる確
    率は ヨ  である。

 (3) 最後に、Aさんが10点の中から1点を選ぶ試行を10回繰り返すとき、選んだ
    全ての点が異なる点である確率は ラ  である。
        (注: ム  ヨ  は、既約分数で答えよ。)