第3問
次の文章中の に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号の
ついた の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。
大、中、小の3個のさいころを同時に投げてでる目をそれぞれx、y、zとする。
(1) x=y=zとなる確率は ア であり、x、y、zがすべて異なる確率は イ
である。
(2) L=xyzとおくとき、Lが5の倍数にならない確率は ウ であり、Lが3の
倍数になる確率は エ である。
(3) m=x+y+zとおくとき、mのとりうる値の範囲は オ ≦m≦ カ であり、
m= オ となる確率は キ 、m= カ となる確率は ク である。
(4) n=100x+10y+zとおくとき、nが奇数になる確率は ケ であり、nが9の
倍数になる確率は コ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{36}\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{9}\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{125}{216}\end{align*}}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{19}{27}\end{align*}}$ オ 3
カ 18 キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{216}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{216}\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{13}{108}\end{align*}}$
【解説】
目の出方の総数は63通り
(ア)
x=y=z=1，2，3，4，5，6の6通りの場合があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{6}\times\frac{6}{6^3}=\underline{\frac{1}{36}}\end{align*}}$
(イ)
3つの数字の並べ方は6P3通りあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_6P_3}{6^3}=\underline{\frac{5}{9}}\end{align*}}$
(ウ)
x、y、zすべてが5と異なる場合は53通りあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{6}\times\frac{5^3}{6^3}=\underline{\frac{125}{216}}\end{align*}}$
(エ)
Lが3の倍数にならないのは、x、y、zすべてが3、6と異なる場合であり、
43通りあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6^3-4^3}{6^3}=\underline{\frac{19}{27}}\end{align*}}$
(オ)(キ)
x=y=z=1のとき、mが最小になり、その値は3である。また、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6^3}=\underline{\frac{1}{216}}\end{align*}}$
(カ)(ク)
x=y=z=6のとき、mが最大になり、その値は18である。また、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6^3}=\underline{\frac{1}{216}}\end{align*}}$
(ケ)
nが奇数になるのは、zが奇数の場合なので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{6}=\underline{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
(コ)
nが9の倍数になるのは、x+y+zが9の倍数の場合である。
x+y+z=9となるのは
1+2+6 →順序も考えると6通り
1+3+5 →6通り
1+4+4 →3通り
2+2+5 →3通り
2+3+4 →6通り
3+3+3 →1通り
x+y+z=18となるのは
6+6+6 →1通り
以上より、nが9の倍数になる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{26}{6^3}=\underline{\frac{13}{108}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/08(土) 02:07:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2017(個別)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
nを2以上の整数とする。関数fn(x)=x-nlogx （x＞0）が最大値をとる
xの値をanとおき、In=$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{a_n}\end{align*}}$fn(x)dxとおくとき、次の問いに答えよ。
(1) anの値およびfn(x)の最大値を求めよ。
(2) 極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\end{align*}}$ fn(x)および $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\end{align*}}$ fn(x)を求めよ。
(3) 不定積分 ∫fn(x)dxを求めよ。また、Inをnの式で表せ。
(4) 極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^2\rm I^{\sf n}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
fn(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_n\ '\left(x\right)&=\sf -nx^{-n-1}\log x+x^{-n}\cdot \frac{1}{x} \\ &=\sf \left(1-n\log x\right) x^{-n-1}\end{align*}}$
なので、fn(x)の増減は次のようになる。
よって、fn(x)が最大値をとるxの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\underline{e^{\frac{1}{n}}}\end{align*}}$
であり、fn(x)の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_n\left(e^{\frac{1}{n}}\right)=\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^{-n}\cdot\log e^{\frac{1}{n}}=\underline{\frac{1}{en}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}f_n\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow +0}\frac{\log x}{x^n}=\underline{-\infty}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x^n}=\underline{0}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int f_n\left(x\right)dx&=\sf \int x^{-n}\log x\ dx \\ &=\sf \frac{1}{-n+1}x^{-n+1}\log x-\frac{1}{-n+1}\int x^{-n+1}\cdot\frac{1}{x}dx\\ &=\sf -\frac{1}{n-1}\left(x^{-n+1}\log x-\int x^{-n}dx\right)\\ &=\sf -\frac{1}{n-1}\left(x^{-n+1}\log x+\frac{1}{n-1}x^{-n+1}\right)+C\\ &=\sf \underline{-\frac{x^{-n+1}}{\left(n-1\right)^2}\bigg\{\left(n-1\right)\log x+1\bigg\}+C}\end{align*}}$ （C：積分定数）
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf I_n&=\sf \int_1^{a_n}f_n\left(x\right)dx \\ &=\sf \left[-\frac{x^{-n+1}}{\left(n-1\right)^2}\bigg\{\left(n-1\right)\log x+1\bigg\}\right]_1^{e^{\frac{1}{n}}}\\ &=\sf -\frac{1}{\left(n-1\right)^2}\left\{e^{\frac{-n+1}{n}}\left(\frac{n-1}{n}+1\right)-1\right\}\\ &=\sf \underline{-\frac{1}{\left(n-1\right)^2}\left\{e^{-1+\frac{1}{n}}\left(2-\frac{1}{n}\right)-1\right\}}\end{align*}}$
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^2I_n&=\sf -\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2}{\left(n-1\right)^2}\left\{e^{-1+\frac{1}{n}}\left(2-\frac{1}{n}\right)-1\right\} \\ &=\sf -\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^2}\left(e^{-1}\cdot 2-1\right)\\ &=\sf \underline{1-\frac{2}{e}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/08(土) 02:08:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2017(個別)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
