第4問
c、pは定数とする。漸化式
a1=c、 an+1=4an+pn+9 （n≧1）
で定義される数列{an}に対して、bn=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_n}{4^{n-1}}\end{align*}}$ （n≧1）とおくとき、
次の問いに答えよ。
(1) bn+1−bnをn、pの式で表せ。
(2) c=−2、p=4のとき、anをnの式で表せ。
(3) p=3のとき、anをnとcの式で表せ。
(4) p=3のとき、数列$\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{\frac{a_n}{3^{n-1}}\right\}\end{align*}}$ が収束するようにcの値を定めよ。
また、そのときの極限値$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{3^{n-1}}\end{align*}}$ を求めよ。
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【解答】
(1)
漸化式の両辺を4nで割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_{n+1}}{4^n}=\frac{a_n}{4^{n-1}}+\frac{p^n+9}{4^n}\ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}-b_n=\underline{\left(\frac{p}{4}\right)^n+9\left(\frac{1}{4}\right)^n}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=\frac{a_1}{4^0}=c\end{align*}}$
p=4、c=-2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}-b_n=1+9\left(\frac{1}{4}\right)^n\end{align*}}$
が成り立つので、n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n&=\sf b_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left\{1+9\left(\frac{1}{4}\right)^k\right\} \\ &=\sf -2+\left(n-1\right)+\frac{9}{4}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}}{1-\frac{1}{4}}\\ &=\sf n-3\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\end{align*}}$
これはn=1の時も成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=4^{n-1}b_n=\underline{n\cdot 4^{n-1}-3}\end{align*}}$
(3)
p=3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}-b_n=\left(\frac{3}{4}\right)^n+9\left(\frac{1}{4}\right)^n\end{align*}}$
が成り立つので、n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n&=\sf b_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left\{\left(\frac{3}{4}\right)^k+9\left(\frac{1}{4}\right)^k\right\} \\ &=\sf c+\frac{3}{4}\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}}{1-\frac{3}{4}}+\frac{9}{4}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}}{1-\frac{1}{4}}\\ &=\sf c+6-3\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}-3\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\end{align*}}$
これはn=1の時も成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=4^{n-1}b_n=\underline{\left(c+6\right)\cdot 4^{n-1}-3^{n-1}-3}\end{align*}}$
(4)
p=3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_n}{3^{n-1}}=\left(c+6\right)\left(\frac{4}{3}\right)^{n-1}-3-\frac{3}{3^{n-1}}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{4}{3}\right)^{n-1}=\infty\end{align*}}$
なので、数列$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\frac{a_n}{3^{n-1}}\right\}\end{align*}}$ が収束するのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c+6=0\ \ \Leftrightarrow\ \ c=\underline{-6}\end{align*}}$
のときである。このとき、極限値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{3^{n-1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(-3-\frac{3}{3^{n-1}}\right)=\underline{-3}\end{align*}}$
年々易しくなっていきますね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/11(火) 01:04:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2017(全学)
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