第2問
tを正の実数とする。tに対して、複素数$\small\sf{\alpha}$ =2+ti とし、$\small\sf{\alpha}$ の共役な複素数を
$\small\sf{\alpha}$ とする。方程式z3=-8の解で虚部が正のものをωとする。複素数平面上の
3点をA(ω)、B($\small\sf{\alpha}$ ω)、C($\small\sf{\alpha}$ ω)とする。次の問いに答えよ。
(1) ωを極形式で表せ。ただし、ωの偏角argωは0≦argω＜2$\small\sf{\pi}$ とする。
(2) 線分AB、ACの長さをtで表せ。
(3) 3点A、B、Cを頂点とする。△ABCの外接円の半径をrとする。tが正の実数
全体を動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{t}\end{align*}}$ の最小値とそのときのtの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z^3=-8&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf z^3+2^3=\left(z+2\right)\left(z^2+2z+4\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf z=-2,-1\pm\sqrt3\ i\end{align*}}$
ωの虚部は正なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \omega&=\sf -1+\sqrt3\ i\\ &=\sf 2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\\ &=\sf \underline{2\left(\cos\frac{2}{3}\pi+i\sin\frac{2}{3}\pi\right)}\end{align*}}$
(2)
AB=|$\scriptsize\sf{\alpha}$ ω-ω|=|$\scriptsize\sf{\alpha}$ -1||ω|=2|1+ti|=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{2\sqrt{1+t^2}}\end{align*}}$
AC=|$\scriptsize\sf{\alpha}$ ω-ω|=|$\scriptsize\sf{\alpha}$ -1||ω|=2|1-ti|=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{2\sqrt{1+t^2}}\end{align*}}$
(3)
BC=|$\scriptsize\sf{\alpha}$ ω-$\scriptsize\sf{\alpha}$ ω|=|$\scriptsize\sf{\alpha}$ -$\scriptsize\sf{\alpha}$ ||ω|=2|(1+ti)-(1-ti)|=4t
△ABCは二等辺三角形なので、BCの中点をMとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AM=\sqrt{\left(2\sqrt{1+t^2}\right)^2-\left(2t\right)^2}=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin B=\frac{AM}{AB}=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\end{align*}}$
△ABCで正弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{AC}{2\sin B}=2\sqrt{1+t^2}\cdot\frac{\sqrt{1+t^2}}{2}=1+t^2\end{align*}}$
t＞0なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{r}{t}&=\sf \frac{1}{t}+t\\ &\geqq \sf 2\sqrt{\frac{1}{t}\cdot t}\\ &=\sf 2\end{align*}}$
等号成立は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{t}=t\ \ \Leftrightarrow\ \ t=1\ \left(>0\right)\end{align*}}$
以上より、t=1のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{t}\end{align*}}$ は最大値2をとる。
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第3問
楕円x2+2y2=1をDとする。rが正の実数のとき、点(1-r，0)を中心と
する半径rの円をCとする。次の問いに答えよ。
(1) DとCが3つの異なる共有点をもつようなrの値の範囲を求めよ。
(2) rが(1)で求めた範囲にあるとき、(1)の3つの共有点が作る三角形
の面積S(r)を求めよ。
(3) rが(1)で求めた範囲を動くとき、(2)で求めたS(r)の最大値とその
ときのrの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
D： x2+2y2-1
C： (x-1+r)2+y2=r2
(1)
2式を連立させると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1-x^2}{2}=r^2-\left(x-1+r\right)^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-4\left(1-r\right)x+3-4r=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-1\right)\left(x-3+4r\right)=0\sf \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=1,3-4r\end{align*}}$
DとCが異なる3点を共有するための条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1<3-4r<1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\frac{1}{2}\lt r<1}\end{align*}}$
(2)
x=3-4rのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(3-4r\right)^2+2y^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y^2=\sf \frac{1-\left(3-4r\right)^2}{2}= 4\left(1-r\right)\left(2r-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\pm 2\sqrt{\left(1-r\right)\left(2r-1\right)}\end{align*}}$
よって、DとCの3つの共有点で作られる三角形の面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(r\right)&=\sf 4\sqrt{\left(1-r\right)\left(2r-1\right)}\cdot\bigg\{1-\left(3-4r\right)\bigg\}\cdot\frac{1}{2} \\ &=\sf \underline{4\sqrt{\left(1-r\right)\left(2r-1\right)^3}}\end{align*}}$
(3)
関数f(r)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(r\right)=\left(1-r\right)\left(2r-1\right)^3\ \ \ \left(\frac{1}{2}\lt r<1\right)\end{align*}}$
とおくと、導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(r\right)&=\sf -\left(2r-1\right)^3+\left(1-r\right)\cdot 3\left(2r-1\right)^2\cdot 2 \\ &=\sf \left(2r-1\right)^2\left(7-8r\right)\end{align*}}$
となるので、f(r)の増減は次のようになる。
S(r)が最大になるのはf(r)が最大になるとき、すなわち $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{7}{8}\end{align*}}$
のときであり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(r\right)_{max}&=\sf S\left(\frac{7}{8}\right)\\ &=\sf 4\sqrt{f\left(\frac{7}{8}\right)}\\ &=\sf 4\sqrt{\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{7}{4}-1\right)^3}\\ &=\sf \underline{\frac{3}{8}\sqrt6}\end{align*}}$
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第4問
0＜h＜1とする。xy平面上の曲線y= $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\log x}{x^2}\end{align*}}$ （x≧1）をC1、曲線y=3h2logx
（x≧1）をC2とする＞次の問いに答えよ。必要であれば、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow +0}\end{align*}}$hlogh=0を
証明なしに用いてよい。
(1) 曲線C1とC2の共有点をすべて求めよ。
(2) nを自然数とする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=\frac{\left(\log x\right)^n}{x^{2n-1}}\ \ ,\ \ g\left(x\right)=x\left(\log x\right)^n\end{align*}}$
のとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left(x\right)=\left(-2n+1\right)\frac{\left(\log x\right)^n}{x^{2n}}+v\left(x\right)\ \ ,\ \ g\ '\left(x\right)=\left(\log x\right)^n+w\left(x\right)\end{align*}}$
と表される。v(x)、w(x)を求めよ。
(3) 曲線C1とC2で囲まれた部分の面積をS(h)とする。S(h)をhで表せ。
(4) (3)で求めたS(h)に対して、極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{ h\rightarrow +0}\end{align*}}$ S(h)を求めよ。
(5) 曲線C1とC2で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転させてできる立体の
体積をT(h)とする。極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{ h\rightarrow +0}\end{align*}}$ T(h)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3\log x}{x^2}=3h^2\log x&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 3\left(h^2 x^2-1\right)\log x=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=1\ ,\ \pm\frac{1}{h}\end{align*}}$
0＜h＜1、1≦xより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=1\ ,\ \frac{1}{h}\end{align*}}$
なので、C1とC2の共有点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\left(1,0\right)\ ,\ \left(\frac{1}{h},-3h^2\log h\right)}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=\frac{\left(\log x\right)^n}{x^{2n-1}}=x^{-2n+1}\left(\log x\right)^n\ \ ,\ \ g\left(x\right)=x\left(\log x\right)^n\end{align*}}$
に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(x\right)&=\sf \left(-2n+1\right)x^{-2n}\left(\log x\right)^n+x^{-2n+1}\cdot n\left(\log x\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{x} \\ &=\sf \left(-2n+1\right)\frac{\left(\log x\right)^n}{x^{2n}}+\frac{n\left(\log x\right)^{n-1}}{x^{2n}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ '\left(x\right)&=\sf \left(\log x\right)^n+x\cdot n\left(\log x\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{x} \\ &=\sf \left(\log x\right)^n+n\left(\log x\right)^{n-1}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf v\left(x\right)=\underline{\frac{n\left(\log x\right)^{n-1}}{x^{2n}} }\ \ ,\ \ w\left(x\right)=\underline{n\left(\log x\right)^{n-1}}\end{align*}}$
(3)
1≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{h}\end{align*}}$ の範囲で常に不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\log x}{x^2}-3h^2\log x=\frac{3\left(\frac{1}{h^2}- x^2\right)\log x}{h^2x^2}\geqq 0\end{align*}}$
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(h\right)&=\sf \int_1^{\frac{1}{h}}\left(\frac{3\log x}{x^2}-3h^2\log x\right)dx\\ &=\sf 3\int_1^{\frac{1}{h}}\frac{\log x}{x^2}dx-3h^2\int_1^{\frac{1}{h}}\log x dx\end{align*}}$
ここで、(2)のf(x)においてn=1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\log x}{x}\right)'=-\frac{\log x}{x^2}+\frac{1}{x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_1^{\frac{1}{h}}\frac{\log x}{x^2}dx&=\sf \int_1^{\frac{1}{h}}\left\{\frac{1}{x^2}-\left(\frac{\log x}{x}\right)'\right\}dx\\ &=\sf \left[-\frac{1}{x}-\frac{\log x}{x}\right]_1^{\frac{1}{h}}\\ &=\sf -h+h\log h+1\end{align*}}$
(2)の$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$(x)においてn=1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x\log x\right)'=\log x+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_1^{\frac{1}{h}}\log x\ dx&=\sf \int_1^{\frac{1}{h}}\bigg\{\left(x\log x\right)'-1\bigg\}dx\\ &=\sf \bigg[x\log x-x\bigg]_1^{\frac{1}{h}}\\ &=\sf -\frac{1}{h}\log h-\frac{1}{h}+1\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(h\right)&=\sf 3\left(-h+h\log h+1\right)-3h^2\left(-\frac{1}{h}\log h-\frac{1}{h}+1\right) \\ &=\sf \underline{6h\log h-3h^2+3}\end{align*}}$
(4)
(3)で得られたS(h)において、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow +0}h\log h=0\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow +0}S\left(h\right)=\underline{3}\end{align*}}$
(5)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T\left(h\right)&=\sf \pi \int_1^{\frac{1}{h}}\bigg\{\left(\frac{3\log x}{x^2}\right)^2-\left(3h^2\log x\right)^2\bigg\}dx\\ &=\sf 9\pi\int_1^{\frac{1}{h}}\frac{\left(\log x\right)^2}{x^4}dx-9\pi h^4\int_1^{\frac{1}{h}}\left(\log x\right)^2 dx\end{align*}}$
ここで、(2)のf(x)においてn=2とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\frac{\left(\log x\right)^2}{x^3}\right\}'=-\frac{3\left(\log x\right)^2}{x^4}+\frac{2\log x}{x^4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_1^{\frac{1}{h}}\frac{\left(\log x\right)^2}{x^4}&=\sf \frac{1}{3}\int_1^{\frac{1}{h}}\left(\frac{2\log x}{x^4}-\left\{\frac{\left(\log x\right)^2}{x^3}\right\}'\right)dx\\ &=\sf \frac{1}{3}\left[-\frac{2\log x}{3x^3}-\frac{\left(\log x\right)^2}{x^3}\right]_1^{\frac{1}{h}}+\frac{2}{9}\int_1^{\frac{1}{h}}\frac{1}{x^3}\cdot\frac{dx}{x}\\ &=\sf \frac{2}{9}h^3\log h-\frac{1}{3}h^3\left(\log h\right)^2+\frac{2}{9}\left[-\frac{1}{3x^3}\right]_1^{\frac{1}{h}}\\ &=\sf \frac{2}{9}h^3\log h-\frac{1}{3}h^3\left(\log h\right)^2-\frac{2}{27}h^3+\frac{2}{27}\end{align*}}$
(2)の$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$(x)においてn=2とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{x\left(\log x\right)^2\right\}'=\left(\log x\right)^2+2\log x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_1^{\frac{1}{h}}\left(\log x\right)^2 dx&=\sf \int_1^{\frac{1}{h}}\bigg(\left\{x\left(\log x\right)^2\right\}'-2\log x\bigg)dx\\ &=\sf \bigg[x\left(\log x\right)^2-2\left(x\log x-x\right)\bigg]_1^{\frac{1}{h}}\\ &=\sf \frac{1}{h}\left(\log h\right)^2+\frac{2}{h}\log h+\frac{2}{h}-2\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T\left(h\right)&=\sf 9\pi\left(\frac{2}{9}h^3\log h-\frac{1}{3}h^3\left(\log h\right)^2-\frac{2}{27}h^3+\frac{2}{27}\right)-9\pi h^4\left(\frac{1}{h}\left(\log h\right)^2+\frac{2}{h}\log h+\frac{2}{h}-2\right) \\ &=\sf \pi\left\{-12h^3\left(\log h\right)^2-16h^3\log h+18h^4-\frac{56}{3}h^3+\frac{2}{3}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow +0}h\log h=0\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow +0}T\left(h\right)=\underline{\frac{2}{3}}\end{align*}}$
最後の計算がイヤです。
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- 2017/08/26(土) 23:57:00|
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