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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017同志社大 理工学部 数学1



第1問

  次の    に適する数を、解答用紙の同じ記号のついた   
  中に記入せよ。

 (1) 関数y=f(x)の第n次導関数をy(n)とする。y=ex⁢cosx のとき、
    等式 y(1)=⁢excos(x+ ア  π) が成り立ち、一般に y(n)=
     イ excos(x+ ウ  π) が成り立つ。次に
    y=ex(cosx+sinx)のとき、y(n)= エ exsin(x+ オ  π)
    が成り立つ。

 (2) 数直線上の点Qは、はじめはx=2にあり、さいころを投げるたびに
    以下のルールに従って移動する。Qがx=aにあるとき、
     ・ aが0か3であれば、出た目に関係なくx=aにとどまる。
     ・ aが1であれば、出た目が1のときはx=2へ、目が偶数のときは
       x=0へ動き、目が3か5のときはx=1にとどまる。
     ・ aが2であれば、出た目が1のときはx=1へ、目が偶数のときは
       x=3へ動き、目が3か5のときはx=2にとどまる。
    さいころをn回投げたとき、Qがx=1、2、3にある確率をそれぞれ
    P(n)、P2(n)、P3(n)とすると、等式
        P(n+1)= カ  P(n)+ ⁢P2(n)
        P2(n+1)= P(n)+ キ  P2(n )
    が成り立つので、
        P(n+1)-P2(n+1)=-( ク  )n+1
        P(n+1)+P2(n+1)=( ケ  )n+1
    となる。これとP3(n+1)= P2(n)+P3(n) から、 P3(n)= コ 
    となる。




2017同志社大 理工学部 数学2



第2問

  座標空間において、正四面体の3つの頂点がO(0,0,0)、A(1,1,0)、
  B(0,1,1)であるとき、x座標が正である第4の頂点をCとする。
  0<p<1を満たすpに対し、点Pは線分OAをp:(1-p)に内分する点と
  する。点Qは直線OB上にあり、∠CPQは直角になっている。次の問い
  に答えよ。

 (1) 点Cの座標を求めよ。また、点Qの座標をpで表せ。

 (2) 点Qは線分OB上にあって2点O、Bと異なるものとする。このとき、
    pが満たす条件を求め、四面体OPQCの体積Vをpで表せ。

 (3) (2)の四面体OPQCの体積Vに対して、pが(2)の条件を満たしながら
    変化するとき、Vを最大にするpの値を求めよ。



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  1. 2017/08/20(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2017(理工)
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2017同志社大 理工学部 数学3



第3問

  y軸を回転軸として、線分y=0 (0≦x≦12)を1回転したものを底面とし、
  放物線の一部y=x- ( ≦x≦ ) を1回転したものを側面と
  する容器をVとする。半径が の鉄球をBとする。次の問いに答えよ。
  ただし、容器Vに水が入っているときの水面は底面に平行であるとする。
  また、高さは底面から測るものとする。水が入っている容器Vに鉄球Bを
  入れるときは、容器Vにつかえて止まるまで鉄球Bをゆっくり沈めるもの
  とする。

 (1) 空の容器Vに水を入れたところ水面の高さがpとなった。Vに入って
    いる水の体積をpで表せ。

 (2) 水が入っている容器Vに鉄球Bを入れた。このときの鉄球Bの中心の
    高さを求めよ。

 (3) 体積が πの水が入っている容器Vに鉄球Bを入れた。このときの
    水面の高さを求めよ。

 (4) 容器Vに水が入っている。この容器Vに鉄球Bを入れると水面が鉄球
    Bの中心より だけ高くなった。入っていた水の体積を求めよ。




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  1. 2017/08/21(月) 23:57:00|
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2017同志社大 理工学部 数学4



第4問

  nを自然数とする。関数f(x) (x≧0) を単調に増加する連続関数とする。
  kを0以上の整数としたとき、
         
  とする。次の問いに答えよ。

 (1) を求めよ.

 (2) Skが不等式 ≦Sk を満たすことを示せ。

 (3) とする。 をIで表せ。

 (4) を求めよ。



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  1. 2017/08/22(火) 23:57:00|
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