第1問
次の に適する数を、解答用紙の同じ記号のついた の
中に記入せよ。
(1) 関数y=f(x)の第n次導関数をy(n)とする。y=excosx のとき、
等式 y(1)=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$excos(x+ ア $\small\sf{\pi}$ ) が成り立ち、一般に y(n)=
イ excos(x+ ウ $\small\sf{\pi}$ ) が成り立つ。次に
y=ex(cosx+sinx)のとき、y(n)= エ exsin(x+ オ $\small\sf{\pi}$ )
が成り立つ。
(2) 数直線上の点Qは、はじめはx=2にあり、さいころを投げるたびに
以下のルールに従って移動する。Qがx=aにあるとき、
・ aが0か3であれば、出た目に関係なくx=aにとどまる。
・ aが1であれば、出た目が1のときはx=2へ、目が偶数のときは
x=0へ動き、目が3か5のときはx=1にとどまる。
・ aが2であれば、出た目が1のときはx=1へ、目が偶数のときは
x=3へ動き、目が3か5のときはx=2にとどまる。
さいころをn回投げたとき、Qがx=1、2、3にある確率をそれぞれ
P1(n)、P2(n)、P3(n)とすると、等式
P1(n+1)= カ P1(n)+$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ P2(n)
P2(n+1)=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ P1(n)+ キ P2(n )
が成り立つので、
P1(n+1)-P2(n+1)=-( ク )n+1
P1(n+1)+P2(n+1)=( ケ )n+1
となる。これとP3(n+1)=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ P2(n)+P3(n) から、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\end{align*}}$ P3(n)= コ
となる。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt2\right)^n\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{4}\end{align*}}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt2\right)^{n+1}\end{align*}}$ オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n+1}{4}\end{align*}}$
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{5}\end{align*}}$
【解説】
(ア)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y^{(1)}&=\sf e^x\cos x-e^x\sin x \\ &=\sf \sqrt2 e^x\left(\frac{1}{\sqrt2}\cos x-\frac{1}{\sqrt2}\sin x\right)\\ &=\sf \underline{ \sqrt2 e^x\cos\left(x+\frac{1}{4}\pi\right)}\end{align*}}$
(イ)(ウ)
(ア)と同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y^{(2)}&=\sf \sqrt2\left\{e^x\cos\left(x+\frac{1}{4}\pi\right)-e^x\sin\left(x+\frac{1}{4}\pi\right)\right\}\\ &=\sf \left(\sqrt2\right)^2 e^x\cos\left(x+\frac{2}{4}\pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y^{(3)}&=\sf \left(\sqrt2\right)^2\left\{e^x\cos\left(x+\frac{2}{4}\pi\right)-e^x\sin\left(x+\frac{2}{4}\pi\right)\right\}\\ &=\sf \left(\sqrt2\right)^3 e^x\cos\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\end{align*}}$
となり、以下も帰納的に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y^{(n)}=\underline{ \left(\sqrt2\right)^n e^x\cos\left(x+\frac{n}{4}\pi\right)}\end{align*}}$
(エ)(オ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y&=\sf \sqrt2 e^x\left(\frac{1}{\sqrt2}\sin x+\frac{1}{\sqrt2}\cos x\right)\\ &=\sf \sqrt2 e^x\sin\left(x+\frac{1}{4}\pi\right)\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y^{(1)}&=\sf \sqrt2\left\{e^x\sin\left(x+\frac{1}{4}\pi\right)+e^x\cos\left(x+\frac{1}{4}\pi\right)\right\}\\ &=\sf \left(\sqrt2\right)^2 e^x\sin\left(x+\frac{2}{4}\pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y^{(2)}&=\sf \left(\sqrt2\right)^2\left\{e^x\sin\left(x+\frac{2}{4}\pi\right)+e^x\cos\left(x+\frac{2}{4}\pi\right)\right\}\\ &=\sf \left(\sqrt2\right)^3 e^x\sin\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\end{align*}}$
となり、以下も帰納的に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y^{(n)}=\underline{ \left(\sqrt2\right)^{n+1} e^x\sin\left(x+\frac{n+1}{4}\pi\right)}\end{align*}}$
(カ)
以下、さいころをn回投げた時のQの位置をxnで表す。
xn+1=1となるのは、次の2つの場合がある。
・xn=1で、n+1回目のさいころの目が3か5
・xn=2で、n+1回目のさいころの目が1
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1\left(n+1\right)=\underline{\frac{1}{3}P_1\left(n\right)+\frac{1}{6}P_2\left(n\right)}\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅰ)
(キ)
xn+1=2となるのは、次の2つの場合がある。
・xn=2で、n+1回目のさいころの目が3か5
・xn=1で、n+1回目のさいころの目が1
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2\left(n+1\right)=\underline{\frac{1}{6}P_1\left(n\right)+\frac{1}{3}P_2\left(n\right)}\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅱ)
(ク)
(ⅰ)-(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1\left(n+1\right)-P_2\left(n+1\right)=\frac{1}{6}\bigg\{P_1\left(n\right)-P_2\left(n\right)\bigg\}\end{align*}}$
数列{P1(n)-P2(n)}は等比数列をなす。
P1(0)=0、 P2(0)=1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1\left(n+1\right)-P_2\left(n+1\right)=\left(\frac{1}{6}\right)^{n+1}\bigg\{P_1\left(0\right)-P_2\left(0\right)\bigg\}=\underline{-\left(\frac{1}{6}\right)^{n+1}}\end{align*}}$・・・・・・(ⅲ)
(ケ)
(ⅰ)+(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1\left(n+1\right)+P_2\left(n+1\right)=\frac{1}{2}\bigg\{P_1\left(n\right)+P_2\left(n\right)\bigg\}\end{align*}}$
数列{P1(n)+P2(n)}は等比数列をなす。
P1(0)=0、 P2(0)=1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1\left(n+1\right)+P_2\left(n+1\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\bigg\{P_1\left(0\right)+P_2\left(0\right)\bigg\}=\underline{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}\end{align*}}$・・・・・・(ⅳ)
(コ)
{(ⅳ)-(ⅲ)}÷2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2\left(n+1\right)=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}+\left(\frac{1}{6}\right)^{n+1}\right\}\end{align*}}$
これと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3\left(n+1\right)-P_3\left(n\right)=\frac{1}{2}P_2\left(n\right)\end{align*}}$
より、n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_3\left(n\right)&=\sf P_3\left(1\right)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2}P_2\left(k\right) \\ &=\sf \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n-1}\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{k}+\left(\frac{1}{6}\right)^{k}\right\}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_3\left(n\right)&=\sf \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{\infty}\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{k}+\left(\frac{1}{6}\right)^{k}\right\}\\ &=\sf \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left\{\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}+\frac{\frac{1}{6}}{1-\frac{1}{6}}\right\}\\ &=\sf \underline{\frac{4}{5}}\end{align*}}$
穴埋めなので、(イ)～(オ)は誤魔化しました。
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- 2017/08/19(土) 23:57:00|
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第2問
座標空間において、正四面体の3つの頂点がO(0，0，0)、A(1，1，0)、
B(0，1，1)であるとき、x座標が正である第4の頂点をCとする。
0＜p＜1を満たすpに対し、点Pは線分OAをp：(1-p)に内分する点と
する。点Qは直線OB上にあり、∠CPQは直角になっている。次の問い
に答えよ。
(1) 点Cの座標を求めよ。また、点Qの座標をpで表せ。
(2) 点Qは線分OB上にあって2点O、Bと異なるものとする。このとき、
pが満たす条件を求め、四面体OPQCの体積Vをpで表せ。
(3) (2)の四面体OPQCの体積Vに対して、pが(2)の条件を満たしながら
変化するとき、Vを最大にするpの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点Cの座標を(X，Y，Z) とおくと、OC=AC=BC=OAより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^2+Y^2+Z^2=\left(X-1\right)^2+\left(Y-1\right)^2+Z^2\ \ \Leftrightarrow\ \ X=1-Y\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^2+Y^2+Z^2=X^2+\left(Y-1\right)^2+\left(Z-1\right)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ Z=1-Y\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^2+Y^2+Z^2=\left(1-Y\right)^2+Y^2+\left(1-Y\right)^2=2\ \ \Leftrightarrow\ \ Y=0,\frac{4}{3}\end{align*}}$
Cのx座標は正なので、Cの座標は(1，0，1)である。
Pは、線分OAをp：(1-p)に内分する点なので(p，p，0)であり、
OBをq：(1-q)に内分する点をQとすると、Qの座標は(0，q，q).
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PC}=\left(1-p,-p,1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf PQ}=\left(-p,q-p,q\right)\end{align*}}$
であり、∠CPQ=90より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PC}\cdot\overrightarrow{\sf PQ}=-p\left(1-p\right)-p\left(q-p\right)+q=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q=\frac{p\left(1-2p\right)}{1-p}\ \ \ \left(\because\ 0\lt p<1\right)\end{align*}}$
よって、Qの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\left(0,\frac{p\left(1-2p\right)}{1-p},\frac{p\left(1-2p\right)}{1-p}\right)}\end{align*}}$
(2)
点Qが線分OB上（端点を除く）にあるためのpの条件は、
0＜p＜1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{p\left(1-2p\right)}{1-p}<1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{0\lt p<\frac{1}{2}}\end{align*}}$
ここで、4点D(1，0，0)、E(0，1，0)、F(0，0，1)、G(1，1，1)
をとる。
四面体AOBCは、立方体ODAE-FCGBから4つの四面体
DOAC、EOAB、FOBC、GABCを除いたものなので、
正四面体OABCの体積をUとおくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf U=1^3-\left(\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot 1\cdot\frac{1}{3}\right)\times 4=\frac{1}{3}\end{align*}}$
OP：AP=p：(1-p)、OQ：BQ=q：(1-q)なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=pqU=\underline{\frac{p^2\left(1-2p\right)}{3\left(1-p\right)}}\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{p^2-2p^3}{3\left(1-p\right)}\ \ \ \ \ \left(0\lt p<\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
これをpで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dV}{dp}&=\sf \frac{\left(2p-6p^2\right)\left(1-p\right)+\left(p^2-2p^3\right)}{3\left(1-p\right)^2}\\ &=\sf \frac{4p^3-7p^2+2p}{3\left(1-p\right)^2}\\ &=\sf \frac{p\left(4p^2-7p+2\right)}{3\left(1-p\right)^2}\end{align*}}$
となり、Vの増減は次のようになる。
よって、Vが最大となるpの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{p=\frac{7-\sqrt{17}}{8}}\end{align*}}$
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- 2017/08/20(日) 23:57:00|
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第3問
y軸を回転軸として、線分y=0 (0≦x≦12)を1回転したものを底面とし、
放物線の一部y=x2- $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ( $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ ≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{10}\end{align*}}$ ) を1回転したものを側面と
する容器をVとする。半径が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ の鉄球をBとする。次の問いに答えよ。
ただし、容器Vに水が入っているときの水面は底面に平行であるとする。
また、高さは底面から測るものとする。水が入っている容器Vに鉄球Bを
入れるときは、容器Vにつかえて止まるまで鉄球Bをゆっくり沈めるもの
とする。
(1) 空の容器Vに水を入れたところ水面の高さがpとなった。Vに入って
いる水の体積をpで表せ。
(2) 水が入っている容器Vに鉄球Bを入れた。このときの鉄球Bの中心の
高さを求めよ。
(3) 体積が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{63}{8}\end{align*}}$$\small\sf{\pi}$ の水が入っている容器Vに鉄球Bを入れた。このときの
水面の高さを求めよ。
(4) 容器Vに水が入っている。この容器Vに鉄球Bを入れると水面が鉄球
Bの中心より $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ だけ高くなった。入っていた水の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=x^2-\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=y+\frac{1}{2}\ \ \ \left(\frac{1}{\sqrt2}\leqq x\leqq \sqrt{10}\ \ ,\ \ 0\leqq y\leqq \frac{19}{2}\right)\end{align*}}$
(1)
求める体積をV(p)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V\left(p\right)&=\sf \pi\int_0^px^2dy \\ &=\sf \pi\int_0^p\left(y+\frac{1}{2}\right)dy\\ &=\sf \pi\left[\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2}y\right]_0^p\\ &=\sf \underline{\frac{\pi}{2}p\left(p+1\right)}\end{align*}}$
(2)
Bをxy平面で切った断面円（C2とする）を考える。
中心の座標を(0，b)をおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_2:\ x^2+\left(y-b\right)^2=\frac{9}{4}\end{align*}}$
C1とC2を連立させてできたyについての二次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y+\frac{1}{2}+\left(y-b\right)^2=\frac{9}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ y^2+\left(1-2b\right)y+b^2-\frac{7}{4}=0\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
の判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=\left(1-2b\right)^2-4\left(b^2-\frac{7}{4}\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=2\end{align*}}$
このとき、(#)は重解y=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ を持ち、これは0≦y≦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{19}{2}\end{align*}}$ を満たす。
また、このときBの下端の高さは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}>0\end{align*}}$
となるため、Bが底面と接することはない。
以上より、Bの高さは2である。
(3)
水とBの体積の合計は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{63}{8}\pi+\frac{4}{3}\pi\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{99}{8}\pi\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V\left(p\right)=\frac{\pi}{2}p\left(p+1\right)=\frac{99}{8}\pi&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 4p^2+4p-99=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p=\frac{9}{2},-\frac{11}{2}\end{align*}}$
Bの上端の高さは $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{2}\end{align*}}$ なので、Bはすべて水面下にあり、
水面の高さは $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\frac{9}{2}}\end{align*}}$ となる。
(3)
水面の高さは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{7}{2}=\frac{35}{8}\pi\end{align*}}$
水面下にあるBの体積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \pi\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{5}{2}}x^2dy&=\sf \pi\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{5}{2}}\left\{\frac{9}{4}-\left(y-2\right)^2\right\}dy\\ &=\sf \left[\frac{9}{4}y-\frac{1}{3}\left(y-2\right)^3\right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{5}{2}}\\ &=\sf \frac{10}{3}\pi\end{align*}}$
よって、水の体積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{35}{8}\pi-\frac{10}{3}\pi=\underline{\frac{25}{24}\pi}\end{align*}}$
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第4問
nを自然数とする。関数f(x) （x≧0） を単調に増加する連続関数とする。
kを0以上の整数としたとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf x_k=\frac{\pi k}{2n}\ \ ,\ \ S_k=\int_{x_k}^{x_{k+1}}f\left(x\right)\cos^2n\ xdx\end{align*}}$
とする。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{x_k}^{x_{k+1}}\cos^2nx\ dx\end{align*}}$ を求めよ．
(2) Skが不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4n}f\left(x_{k}\right)\end{align*}}$ ≦Sk≦ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4n}f\left(x_{k+1}\right)\end{align*}}$ を満たすことを示せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)dx\end{align*}}$ とする。 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)\cos^2nx\ dx\end{align*}}$ をIで表せ。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\cos^2nx-\cos^4nx\right)\log\left(1+\frac{4}{\pi}x\right)dx\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
半角公式を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_{x_k}^{x_{k+1}}\cos^2nx\ dx&=\sf \frac{1}{2}\int_{x_k}^{x_{k+1}}\left(1+\cos 2nx\right)\ dx\\ &=\sf \frac{1}{2}\left[x+\frac{1}{2n}\sin 2nx\right]_{x_k}^{x_{k+1}}\\ &=\sf \frac{1}{2}\left(x_{k+1}-x_k\right)+\frac{1}{4n}\left(\sin 2nx_{k+1}-\sin 2nx_k\right)\\ &=\sf \frac{1}{2}\left\{\frac{\pi\left(k+1\right)}{2n}-\frac{\pi k}{2n}\right\}+\frac{1}{4n}\bigg\{\sin\left(k+1\right)\pi-\sin k\pi\bigg\}\\ &=\sf \underline{\frac{\pi}{4n}}\end{align*}}$
(2)
f(x)は単調増加関数なので、xk≦x≦xk+1を満たす実数xに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x_k\right)\leqq f\left(x\right)\leqq f\left(x_{k+1}\right)\end{align*}}$
cos2nx≧0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x_k\right)\cos^2nx\leqq f\left(x\right)\cos^2nx\leqq f\left(x_{k+1}\right)\cos^2nx\end{align*}}$
この不等式はxk≦x≦xk+1の範囲で常に成り立つので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{x_k}^{x_{k+1}}f\left(x_k\right)\cos^2nx\ dx\leqq \int_{x_k}^{x_{k+1}}f\left(x\right)\cos^2nx\ dx\leqq \int_{x_k}^{x_{k+1}}f\left(x_{k+1}\right)\cos^2nx\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ f\left(x_k\right)\int_{x_k}^{x_{k+1}}\cos^2nx\ dx\leqq S_k\leqq f\left(x_{k+1}\right)\int_{x_k}^{x_{k+1}}\cos^2nx\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{4n}f\left(x_{k}\right)\leqq S_k\leqq \frac{\pi}{4n}f\left(x_{k+1}\right)\ \ \ \ \left(\because\ \ (1)\right)\end{align*}}$
(3)
(2)の不等式はk=0，1，2，・・・，n-1に対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=0}^{n-1}\frac{\pi}{4n}f\left(x_{k}\right)\leqq \sum_{k=0}^{n-1}S_k\leqq \sum_{k=0}^{n-1}\frac{\pi}{4n}f\left(x_{k+1}\right)\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=0}^{n-1}S_k&=\sf \sum_{k=0}^{n-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}f\left(x\right)\cos^2n\ xdx \\ &=\sf \int_{0}^{\frac{\pi}{2n}}f\left(x\right)\cos^2n\ xdx+\int_{\frac{\pi}{2n}}^{\frac{2\pi}{2n}}f\left(x\right)\cos^2n\ xdx+\cdots +\int_{\frac{(n-1)\pi}{2n}}^{\frac{n\pi}{2n}}f\left(x\right)\cos^2n\ xdx\\ &=\sf \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)\cos^2n\ xdx\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=0}^{n-1}\frac{\pi}{4n}f\left(x_{k}\right)\leqq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)\cos^2n\ xdx\leqq \sum_{k=0}^{n-1}\frac{\pi}{4n}f\left(x_{k+1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{\pi}{2}x\end{align*}}$ と置換し、区分求積法を用いると、左辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\pi}{4n}f\left(x_{k}\right)&=\sf \frac{\pi}{4}\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}f\left(\frac{\pi k}{2n}\right)\\ &=\sf \frac{\pi}{4}\int_0^1f\left(\frac{\pi}{2}x\right)dx\\ &=\sf \frac{\pi}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(t\right)\cdot\frac{2}{\pi}dt\\ &=\sf \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(t\right)dt\\ &=\sf \frac{1}{2}I\end{align*}}$
右辺も同様にして
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\pi}{4n}f\left(x_{k+1}\right)=\frac{\pi}{4}\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}f\left(\frac{\pi k}{2n}\right)=\frac{1}{2}I\end{align*}}$
はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)\cos^2n\ xdx=\underline{\frac{1}{2}I}\end{align*}}$
(4)
与えられた定積分をJとする。$\scriptsize\sf{\theta}$ =2xと置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf J&=\sf \int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\cos^2nx-\cos^4nxx\right)\log\left(1+\frac{4}{\pi}x\right)dx\\ &=\sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos^2\frac{n\theta}{2}-\cos^4\frac{n\theta}{2}\right)\log\left(1+\frac{2}{\pi}\theta\right)\cdot\frac{d\theta}{2}\end{align*}}$
ここで、倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos^2\frac{n\theta}{2}-\cos^4\frac{n\theta}{2}&=\sf \cos^2\frac{n\theta}{2}\left(1-\cos^2\frac{n\theta}{2}\right)\\ &=\sf \cos^2\frac{n\theta}{2}\sin^2\frac{n\theta}{2}\\ &=\sf \left(\frac{1}{2}\sin n\theta\right)^2\\ &=\sf \frac{1}{4}\left(1-\cos^2n\theta\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J=\frac{1}{8}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\cos^2n\theta\right)\log\left(1+\frac{2}{\pi}\theta\right)d\theta\end{align*}}$
ここで、関数f($\scriptsize\sf{\theta}$ ) （$\scriptsize\sf{\theta}$ ≧0）を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\theta\right)=\log\left(1+\frac{2}{\pi}\theta\right)\end{align*}}$
とおき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=1+\frac{2}{\pi}\theta\end{align*}}$
と置換すると、(3)で定義したIの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \rm I\sf &=\sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}\log\left(1+\frac{2}{\pi}\theta\right)d\theta\\ &=\sf \int_1^2\log u\cdot\frac{\pi}{2}du\\ &=\sf \frac{\pi}{2}\bigg[u\log u-u\bigg]_1^2\\ &=\sf \frac{\pi}{2}\left(2\log 2-1\right)\end{align*}}$ ・・・・・・(*)
また、f($\scriptsize\sf{\theta}$ )は単調増加関数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}J&=\sf \frac{1}{8}\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\cos^2n\theta\right)f\left(\theta\right)d\theta\\ &=\sf \frac{1}{8}\bigg\{\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(\theta\right)d\theta-\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(\theta\right)\cos^2n\theta\ d\theta \bigg\}\\ &=\sf \frac{1}{8}\left(\rm I\sf -\frac{1}{2}\rm I\right)\ \ \ \ \left(\because\ (3)\right)\\ &=\sf \frac{1}{16}\rm I\\ &=\sf \underline{\frac{\pi}{32}\left(2\log 2-1\right)}\ \ \ \left(\because\ (*)\right)\end{align*}}$
今年の同志社理工は例年より難しいです。
(4)は捨てましょうｗｗ
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/08/22(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2017(理工)
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