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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017同志社大 理工学部 数学1



第1問

  次の    に適する数を、解答用紙の同じ記号のついた   
  中に記入せよ。

 (1) 関数y=f(x)の第n次導関数をy(n)とする。y=ex⁢cosx のとき、
    等式 y(1)=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$⁢excos(x+ ア  $\small\sf{\pi}$ ) が成り立ち、一般に y(n)=
     イ excos(x+ ウ  $\small\sf{\pi}$ ) が成り立つ。次に
    y=ex(cosx+sinx)のとき、y(n)= エ exsin(x+ オ  $\small\sf{\pi}$ )
    が成り立つ。

 (2) 数直線上の点Qは、はじめはx=2にあり、さいころを投げるたびに
    以下のルールに従って移動する。Qがx=aにあるとき、
     ・ aが0か3であれば、出た目に関係なくx=aにとどまる。
     ・ aが1であれば、出た目が1のときはx=2へ、目が偶数のときは
       x=0へ動き、目が3か5のときはx=1にとどまる。
     ・ aが2であれば、出た目が1のときはx=1へ、目が偶数のときは
       x=3へ動き、目が3か5のときはx=2にとどまる。
    さいころをn回投げたとき、Qがx=1、2、3にある確率をそれぞれ
    P1(n)、P2(n)、P3(n)とすると、等式
        P1(n+1)= カ  P1(n)+$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ ⁢P2(n)
        P2(n+1)=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ P1(n)+ キ  P2(n )
    が成り立つので、
        P1(n+1)-P2(n+1)=-( ク  )n+1
        P1(n+1)+P2(n+1)=( ケ  )n+1
    となる。これとP3(n+1)=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ P2(n)+P3(n) から、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\end{align*}}$ P3(n)= コ 
    となる。




2017同志社大 理工学部 数学2



第2問

  座標空間において、正四面体の3つの頂点がO(0,0,0)、A(1,1,0)、
  B(0,1,1)であるとき、x座標が正である第4の頂点をCとする。
  0<p<1を満たすpに対し、点Pは線分OAをp:(1-p)に内分する点と
  する。点Qは直線OB上にあり、∠CPQは直角になっている。次の問い
  に答えよ。

 (1) 点Cの座標を求めよ。また、点Qの座標をpで表せ。

 (2) 点Qは線分OB上にあって2点O、Bと異なるものとする。このとき、
    pが満たす条件を求め、四面体OPQCの体積Vをpで表せ。

 (3) (2)の四面体OPQCの体積Vに対して、pが(2)の条件を満たしながら
    変化するとき、Vを最大にするpの値を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2017/08/20(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2017(理工)
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2017同志社大 理工学部 数学3



第3問

  y軸を回転軸として、線分y=0 (0≦x≦12)を1回転したものを底面とし、
  放物線の一部y=x2- $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ( $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ ≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{10}\end{align*}}$ ) を1回転したものを側面と
  する容器をVとする。半径が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ の鉄球をBとする。次の問いに答えよ。
  ただし、容器Vに水が入っているときの水面は底面に平行であるとする。
  また、高さは底面から測るものとする。水が入っている容器Vに鉄球Bを
  入れるときは、容器Vにつかえて止まるまで鉄球Bをゆっくり沈めるもの
  とする。

 (1) 空の容器Vに水を入れたところ水面の高さがpとなった。Vに入って
    いる水の体積をpで表せ。

 (2) 水が入っている容器Vに鉄球Bを入れた。このときの鉄球Bの中心の
    高さを求めよ。

 (3) 体積が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{63}{8}\end{align*}}$$\small\sf{\pi}$ の水が入っている容器Vに鉄球Bを入れた。このときの
    水面の高さを求めよ。

 (4) 容器Vに水が入っている。この容器Vに鉄球Bを入れると水面が鉄球
    Bの中心より $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ だけ高くなった。入っていた水の体積を求めよ。




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  1. 2017/08/21(月) 23:57:00|
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2017同志社大 理工学部 数学4



第4問

  nを自然数とする。関数f(x) (x≧0) を単調に増加する連続関数とする。
  kを0以上の整数としたとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf x_k=\frac{\pi k}{2n}\ \ ,\ \ S_k=\int_{x_k}^{x_{k+1}}f\left(x\right)\cos^2n\ xdx\end{align*}}$
  とする。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{x_k}^{x_{k+1}}\cos^2nx\ dx\end{align*}}$ を求めよ.

 (2) Skが不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4n}f\left(x_{k}\right)\end{align*}}$ ≦Sk≦ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4n}f\left(x_{k+1}\right)\end{align*}}$ を満たすことを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)dx\end{align*}}$ とする。 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)\cos^2nx\ dx\end{align*}}$ をIで表せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\cos^2nx-\cos^4nx\right)\log\left(1+\frac{4}{\pi}x\right)dx\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2017/08/22(火) 23:57:00|
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