第1問
次の問いに答えよ。
(1) x＜y＜zのとき、不等式
xy2－x2y+yz2－y2z+zx2－z2x＞0
が成り立つことを示せ。
(2) 1＜a＜b＜cのとき、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \log_a\frac{c}{b}+\log_b\frac{a}{c}+\log_c\frac{b}{a}>0\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
xy2－x2y+yz2－y2z+zx2－z2x
=(y－x)z2－(y2－x2)z+xy(y－x) ←zについて整理
=(y－x){z2－(y+x)z+xy}
=(y－x)(z－x)(z－y)
ここで、x＜y＜zなので、
y－x＞0 かつ z－x＞0 かつ z－y＞0．
よって、不等式
xy2－x2y+yz2－y2z+zx2－z2x＞0
が成り立つ。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_a\frac{c}{b}+\log_b\frac{a}{c}+\log_c\frac{b}{a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log_ac-\log_ab+\log_ba-\log_bc+\log_cb-\log_ca\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\log_{10}c}{\log_{10}a}-\frac{\log_{10}b}{\log_{10}a}+\frac{\log_{10}a}{\log_{10}b}-\frac{\log_{10}c}{\log_{10}b}+\frac{\log_{10}b}{\log_{10}c}-\frac{\log_{10}a}{\log_{10}c}\end{align*}}$ ････①
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\log_{10}a\ \ ,\ \ y=\log_{10}b\ \ ,\ \ z=\log_{10}c\end{align*}}$
とおくと、1＜a＜b＜cより、0＜x＜y＜z
となり、①は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{z}{x}-\frac{y}{x}+\frac{x}{y}-\frac{z}{y}+\frac{y}{z}-\frac{x}{z}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{yz^2-y^2z+zx^2-z^2x+xy^2-x^2y}{xyz}\end{align*}}$ ･････②
0＜x＜y＜zより、
②の分母＞0
また(1)より、
②の分子=xy2－x2y+yz2－y2z+zx2－z2x＞0
よって、②＞0となるので、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_a\frac{c}{b}+\log_b\frac{a}{c}+\log_c\frac{b}{a}>0\end{align*}}$
は成り立つ。
(2)の対数の底は、何にそろえてもできます。
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- 2012/01/27(金) 13:09:00|
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第2問
－1＜ｔ＜1とし、xy平面上に3点A(－1，0)、B(ｔ，$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1-t^2}\end{align*}}$ )、C(ｔ，0)
をとる。三角形ABCをx軸の周りに回転させて得られる円錐の側面積を
S(ｔ)とする。次の問いに答えよ。
(1) S(ｔ)を求めよ。
(2) S(ｔ)2が最大になるｔを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
得られる回転体は、
底面の半径 BC=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1-t^2}\end{align*}}$
高さ AC=ｔ+1
の円錐なので、その母線の長さは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\sqrt{AC^2+BC^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{(t+1)^2+(1-t^2)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{2(t+1)}\end{align*}}$
となる。
この円錐の側面は、母線ABを半径とし、
弧の長さが底面の円周と等しい扇形である。
扇形の面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ×母線×弧長
として求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=\frac{1}{2}\times AB \times 2\pi\cdot BC\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \sqrt{2(t+1)(1-t^2)}\ \pi\ \ }\end{align*}}$
(2)
(1)より、
S(ｔ)2=2$\scriptsize\sf{\pi}$ 2(ｔ+1)(1－ｔ2)
ここで、
T(ｔ)=(ｔ+1)(1－ｔ2)
=－ｔ3－ｔ2+ｔ+1
とおくと、
T’(ｔ)=－3ｔ2－2ｔ+1
=－(ｔ+1)(3ｔ－1)
－1＜ｔ＜1の範囲で増減表を書くと、
となるので、ｔ=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ のとき、T(ｔ)は最大となる。
よって、S(ｔ)が最大となるときのｔの値も
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=\frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$
円錐の側面積は求めれますか？？中学1年ぐらいで習っているはずですが･････
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- 2012/01/27(金) 13:10:00|
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第3問
円x2+(y－2)2=1をCとし、放物線y=x2の上に相異なる3点
A(2，4)、P(p，p2)、Q(q，q2)（p＜q）をとる。直線AP、AQ
がともに円Cに接するとき、次の問いに答えよ。
(1) p、qを求めよ。
(2) 直線PQが円Cに接することを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
放物線y=x2上に点(ｔ，ｔ2)をとる。
この点とAを通る直線Ｌの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-4=\frac{t^2-4}{t-2}(x-2)\ \ \Leftrightarrow\ \ L:\ (t+2)x-y-2t=0\end{align*}}$
Ｌが円Cに接するためには、
Cの中心(0，2)からＬまでの距離が半径1に等しければよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|\ 0-2-2t\ \right|}{\sqrt{(t+2)^2+(-1)^2}}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4+8t+4t^2=t^2+42+4+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3t^2+4t-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{-2\pm\sqrt7}{3}\end{align*}}$
題意より、これらの値はp、q（p＜q）と一致するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=\frac{-2-\sqrt7}{3}\ \ ,\ \ q=\frac{-2+\sqrt7}{3}}\end{align*}}$
(2)
直線PQの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-q^2=\frac{q^2-p^2}{q-p}\ (x-p)\ \ \Leftrightarrow\ \ (p+q)x-y-pq=0\end{align*}}$ ･････①
ここで(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=-\frac{4}{3}\ \ ,\ \ pq=-\frac{1}{3}\end{align*}}$
なので、
① ⇔ 4x+3y－1=0
円Cの中心から直線PQまでの距離dは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{\left|0+6-1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=1\end{align*}}$
となり、円Cの半径と等しくなるので、
直線PQは円Cに接する。
円に接するという条件は、判別式を使って処理しても構いませんが、
計算量が少し多くなってしまいます。
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- 2012/01/27(金) 13:12:00|
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第4問
a、b2人が、下の図のような正方形の上で次の規則に従って、
ゲームを行う。
・まず最初は、aは頂点Aを出発点とし、bは頂点Bを出発点とする。
・2人はそれぞれ硬貨を持ち、2人同時に各自の硬貨を投げて、表が
出たときは、図の矢印の向きに隣の頂点に移動し、裏が出たときは、
そのまま頂点にとどまることにする。
・このような硬貨投げを繰り返して行った結果、ある頂点で2人がいっ
しょになったとき、後から移動してきた方を勝ちとする。
次の問いに答えよ。
(1) 2回目の硬貨投げの結果で勝負がつく確率を求めよ。
(2) 2回目の硬貨投げの結果ではまだ勝負がつかず、3回目の硬貨投げの
結果で勝負がつく確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
まず、aが勝つ場合を考える。
bがBの位置にとどまったままで、aが2回でBにたどり着けばよいので、
硬貨の表裏の出方は、
a：表表 b：裏裏
となればよい。
同様に考えると、bが勝つのは、
a：裏裏 b：表表
のときなので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\times 2=\underline{\ \frac{1}{8}\ \ }\end{align*}}$
(2)
まず、aが勝つ場合を考えると、
(ア)3回目に点Bに到達して勝つ
(イ)3回目に点Pに到達して勝つ
の2つの場合が考えられる。
(ア)のとき
bはBに止まったままなので、bの硬貨は
b：裏裏裏
aが3回目にBに到達すればよいので、
a：表裏表 または a:裏表表
（↑表表裏 は2回目でBに達するのでダメ！）
(イ)のとき
aが3回目にPに到達すればよいので、
a：表表表
bは2回投げた時点でPに移動していなければならないので、
b：表裏裏 または b：裏表裏
よって、aが勝つ確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^3\times\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot 2\times 2=\frac{1}{16}\end{align*}}$
bが勝つ確率も等しいので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{16}\times 2=\underline{\ \frac{1}{8}\ \ }\end{align*}}$
状況をキチンと整理さえできれば、難しくないでしょう。
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- 2012/01/27(金) 13:15:00|
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