第1問
次の に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた
の中に記入せよ。
(1) 関数f(t)=ecostに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ '\left(t\right)}{f\left(t\right)}\end{align*}}$ = ア である。次に、座標平面上の
曲線C ：(logx)2+(logy)2=1とし、C上の点Pの座標を(a，b)とする。
PがC上の点全体を動くとき、aの最小値と最大値はそれぞれ イ 、
ウ であり、a2+b2の最小値は エ である。また、PにおけるCの
接線の傾きが0となるのはa= オ のときである。
(2) 袋に1から7までの異なる番号をつけた7個の玉が入っている。袋から
玉を1個取り出し、玉の番号を調べて玉を袋に戻す。この試行を3回繰
り返したとき、1回目の玉の番号をa、2回目の玉の番号をb、3回目の
玉の番号をcとする。a＜b＜c となる確率は カ である。a×b×cの
値が偶数となる確率は キ である。a+b+cの値が奇数となる確率は
ク である。2以上6以下の自然数kに対して、a+b=kかつc≦7-kと
なる確率は$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(7-k\right)}{343}\end{align*}}$ ( ケ ) であるので、a+b+c≦7となる確率は コ
である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sin t\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{e}\end{align*}}$ ウ e エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2e^{-\sqrt 2}\end{align*}}$ オ 1
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{49}\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{279}{343}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{172}{343}\end{align*}}$ ケ k-1 コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{49}\end{align*}}$
【解説】
(ア)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left(t\right)=e^{\cos t}\left(\cos t\right)=-e^{\cos t}\sin t\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ '\left(t\right)}{f\left(t\right)}=\frac{-e^{\cos t}\sin t}{e^{\cos t}}=\underline{-\sin t}\end{align*}}$
(イ)(ウ)
点PがC上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\log a\right)^2+\left(\log b\right)^2=1\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
bは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\log b\right)^2=1-\left(\log a\right)^2\geqq 0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -1\leqq \log a\leqq 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\sf \frac{1}{e}\leqq a\leqq e\ \ \ \ \left(\because\ e>1\right)}\end{align*}}$
(エ)
a、bは(#)を満たすので、実数tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log a=\cos t\ \ ,\ \ \log b=\sin t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=e^{\cos t}\ \ ,\ \ b=e^{\sin t}\ \ \ \ \left(0\leqq t<2\pi\right)\end{align*}}$
と表すことができる。
a、b＞0なので、相加相乗平均より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a^2+b^2&\geqq \sf 2\sqrt{a^2 b^2}\\ &=\sf 2ab\\ &=\sf 2e^{\cos t}\cdot e^{\sin t}\\ &=\sf 2e^{\sin t+\cos t}\\ &=\sf 2e^{\sqrt 2 \sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)}\\ &\geqq \sf \underline{2e^{-\sqrt 2}}\end{align*}}$
(オ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\log x\right)^2+\left(\log y\right)^2=1\end{align*}}$
の両辺をxで微分すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\log x\cdot\frac{1}{x}+2\log y\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx}=0\end{align*}}$
接線の傾きが0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\log x\cdot\frac{1}{x}+2\log y\cdot\frac{1}{y}\cdot 0=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \log x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{x=1}\end{align*}}$
(カ)
3回の玉の取り出し方の総数は73=343通り。
7個の数から異なる3数を選ぶ方法は7C3=35通り
よって、a＜b＜cとなる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{35}{343}=\underline{\frac{5}{49}}\end{align*}}$
(キ)
a、b、cがすべて奇数となる場合は、43=64通り。
よって、a×b×cが偶数となる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{64}{343}=\underline{\frac{279}{343}}\end{align*}}$
(ク)
a、b、cがすべて奇数となる場合は、43=64通り。
a、b、cのうち、奇数が1つ、偶数が2つとなる場合は、
3C1・4・32=108通り。
よって、a+b+cが奇数となる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{64+108}{343}=\underline{\frac{172}{343}}\end{align*}}$
(ケ)
a+b=kとなるのは、
(a，b)=(1，k-1)、(2，k-2)、・・・、(k-1，1)のk-1通り
c≦7-kとなるのは、
c=1，2，・・・，7-kの7-k通り
よって、a+b=kかつc≦7-kとなる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\frac{\left(k-1\right)\left(7-k\right)}{343}}\end{align*}}$
(コ)
(ケ)においてk=2，3，・・・，6の場合を考えると、
a+b+c≦7となる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=2}^6\frac{\left(k-1\right)\left(7-k\right)}{343}=\sf \frac{1\cdot 5+2\cdot 4+3\cdot 3+4\cdot 2+5\cdot 1}{343}=\sf \underline{\frac{5}{49}}\end{align*}}$
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第2問
f(x)=11x-9$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$x2とする。原点をOとする座標平面上に曲線C1： y=f(x)と、
直線L1： y=xがある。次の問いに答えよ。
(1) L1上の点A(a，a)を通りL1に垂直な直線L2が、C1上の点B(b，f (b))で
C1に接している。aとbの値をそれぞれ求めよ。
(2) (1)で求めたaとbの値を用いて、実数tは0＜t＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ aを満たすとし、曲線
C2：y=f(x) （0≦x≦b）とする。第1象限にあるL1上の点PがOP=tである
とき、Pを通りL1に垂直な直線とC2の交点をQとする。Qのx座標をtを用い
て表せ。
(3) (1)で定まるL2と(2)で定めたC2に対して、L1、L2、C2で囲まれた部分を
L1のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=11x-9\sqrt2 x^2\ \ ,\ \ f\ '\left(x\right)=11-18\sqrt2x\end{align*}}$
(1)
点B(b，f(b))における接線L2の傾きは-1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left(b\right)=11-18\sqrt2b=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\underline{\frac{\sqrt2}{3}}\end{align*}}$
このときL2の式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-f\left(\frac{\sqrt2}{3}\right)=-\left(x-\frac{\sqrt2}{3}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-x+2\sqrt2\end{align*}}$
となり、これが点A(a，a)を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=-a+2\sqrt2\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\sqrt2}\end{align*}}$
(2)
OP=tを満たすL1上の点Pの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(\frac{t}{\sqrt2},\frac{t}{\sqrt2}\right)\ \ \ \left(0\lt t<2\right)\end{align*}}$
であり、Pを通りL1と垂直な直線をL3とすると、その方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{t}{\sqrt2}=-\left(x-\frac{t}{\sqrt2}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-x+\sqrt2t\end{align*}}$ ．
点Qは、C2とL3の交点なので、そのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x+\sqrt2t=11x-9\sqrt2 x^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 9x^2-6\sqrt2x+t=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\ \frac{\sqrt2-\sqrt{2-t}}{3}}\ \ \ \ \left(\because\ 0\leqq x\leqq b=\frac{\sqrt2}{3}\right)\end{align*}}$
(3)
線分PQの傾きは-1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ=\sqrt2\left|\frac{t}{\sqrt2}-\frac{\sqrt2-\sqrt{2-t}}{3}\right|\end{align*}}$
よって、求める回転体の体積をVとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \pi\int_0^{2}PQ^2dt\\ &=\sf 2\pi\int_0^2\left|\frac{t}{\sqrt2}-\frac{\sqrt2-\sqrt{2-t}}{3}\right|^2dt\\ &=\sf \frac{\pi}{9}\int_0^2\left(9t^2-14t+8\right)dt+\frac{2\sqrt2\pi}{9}\int_0^2\left(3t-2\right)\sqrt{2-t}dt\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^2\left(9t^2-14t+8\right)dt=\left[3t^3-7t^2+8t\right]_0^2=12\end{align*}}$
また、s=2-tと置換すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^2\left(3t-2\right)\sqrt{2-t}dt&=\sf \int_2^0\left\{3\left(2-s\right)-2\right\}\sqrt{s}\cdot\left(-ds\right)\\ &=\sf \int_0^2\left(4s^{\frac{1}{2}}-3s^{\frac{3}{2}}\right)ds\\ &=\sf \left[\frac{8}{3}s^{\frac{3}{2}}-\frac{6}{5}s^{\frac{5}{2}}\right]_0^2\\ &=\sf \frac{8\sqrt2}{15}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{\pi}{9}\cdot 12+\frac{2\sqrt2\pi}{9}\cdot\frac{8\sqrt2}{15}=\underline{\frac{212}{135}\pi}\end{align*}}$
最後の計算がめんどくさいです。
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第3問
座標平面上の円C1： x2+y2-6x+4y+12=0とし、円C2：x2+y2+2x-2y-2=0
とする。点Aの座標を(1，-2)とし、点PはC1上に、点QはC2上にあるとする。
また、
$\small\sf{\begin{align*} \sf f=\left|\overrightarrow{\sf AP}+\overrightarrow{\sf AQ}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf AP}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf AQ}\right|^2\end{align*}}$
とする。次の問いに答えよ。
(1) Pの座標を(3，-1)とする。QがC2上の点全体を動くとき、fが最大となるときの
Qの座標を求めよ。
(2) Pの座標が(3，-1)のとき、直線APを考える。C2上の点RにおけるC2の接線は
直線AQと垂直になるという。このときのRの座標をすべて求めよ。
(2) Pを定めたとき、QがC2上の点全体を動くときのfの最大値をmとする。PがC1
上の点全体を動くとき、m=0となるようなPの座標をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ \left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2=1\ \ ,\ \ C_2:\ \left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f&=\sf \left|\overrightarrow{\sf AP}+\overrightarrow{\sf AQ}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf AP}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf AQ}\right|^2 \\ &=\sf \left|\overrightarrow{\sf AP}\right|^2+2\overrightarrow{\sf AP}\cdot\overrightarrow{\sf AQ}+\left|\overrightarrow{\sf AQ}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf AP}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf AQ}\right|^2\\ &=\sf 2\overrightarrow{\sf AP}\cdot\overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$
(1)
QはC2上の点なので、変数$\scriptsize\sf{\theta}$ （0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ ）を用いて
Q(-1+2cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ，1+2sin$\scriptsize\sf{\theta}$ )
と表せる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=\left(2,1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AQ}=\left(-2+2\cos\theta,3+2\sin\theta\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f&=\sf 2\bigg\{2\left(-2+2\cos\theta\right)+\left(3+2\sin\theta\right)\bigg\}\\ &=\sf 4\sin\theta+8\cos\theta-2\\ &=\sf 4\sqrt5\sin\left(\theta+\alpha\right)\ \ \ \ \left(\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt5}\ ,\ \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt5}\ ,\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
となり、これが最大になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\left(\theta+\alpha\right)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta+\alpha=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\pi}{2}-\alpha\end{align*}}$
のときである。
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt5}\end{align*}}$
なので、Qの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\left(-1+\frac{4}{\sqrt5}\ ,\ 1+\frac{2}{\sqrt5}\right)}\end{align*}}$
(2)
点Rにおける接線をL、円C2の中心をO2(-1，1)とおくと、
題意より、L⊥AP、L⊥O2RよりOR//APとなる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=\left(2,1\right)\end{align*}}$ よりAPの傾きは$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ なので、直線O2Rの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-1=\frac{1}{2}\left(x+1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\end{align*}}$
これとCの方程式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)^2+2x-2\left(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)-2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 5x^2+10x-11=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{-5\pm4\sqrt5}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}\cdot\frac{-5\pm4\sqrt5}{5}+\frac{3}{2}=\frac{5\pm2\sqrt5}{5}\end{align*}}$
よって、Rの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\left(\frac{-5\pm4\sqrt5}{5}\ ,\ \frac{5\pm2\sqrt5}{5}\right)}\end{align*}}$ (複号同順)
(3)
C2上の点B(1，1)を考えると、∠PAQ≧∠PABなので、
・∠PABが鋭角のとき
f＞0となるような点Qが存在し、最大値m=0に矛盾する。
・∠PABが鈍角のとき
常にf＜0となり、最大値m=0に矛盾する。
よって、題意を満たすのは、∠PABが直角のときであり、
その時の点Pの座標は、(2，-2)、(4，-2)である。
丁寧に図を描けばイメージしやすいと思います。
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- 2017/08/17(木) 23:57:00|
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第4問
次の条件によって定められる数列をそれぞれ{an}、{bn}、{cn}とする。
a1=1、 a2=1、 an+2= 4an+1-an （n=1，2，3，・・・）
b1=1、 b2=2、 bn+2= 4bn+1-bn （n=1，2，3，・・・）
c1=1、 c2=1、 cn+2= $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{c_{n+1}\left(c_{n+1}+1\right)}{c_n}\end{align*}}$ （n=1，2，3，・・・）
次の問いに答えよ。
(1) a3b3、a4b3、a4b4の値を求めよ。
(2) 次の等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。
anbn+1=an+1bn+1 （n=1，2，3，・・・）
an+2bn=an+1bn+1+1 （n=1，2，3，・・・）
(3) nが3以上の自然数のとき、cnは整数であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
a1=1、 a2=1、 an+2= 4an+1-an ・・・・・・(A)
b1=1、 b2=2、 bn+2= 4bn+1-bn ・・・・・・(B)
c1=1、 c2=1、 cn+2= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{c_{n+1}\left(c_{n+1}+1\right)}{c_n}\end{align*}}$ ・・・・・・(C)
(1)
与えられた漸化式(A)、(B)より
a3=4a2-a1=4-1=3
a4=4a3-a2=12-1=11
b3=4b2-b1=8-1=7
b4=4b3-b2=28-2=26
なので、
a3b3=21、 a4b3=77、 a4b4=286
(2)
任意の自然数nに対して
anbn+1=an+1bn+1 ・・・・・・①
an+2bn=an+1bn+1+1 ・・・・・・②
が成り立つことを数学的帰納法で示す。
(Ⅰ) n=1のとき
a1b2=a2b1+1=2
a3b1=a2b3+1=3
より、①、②は成り立つ。
(Ⅱ) n=kのとき
akbk+1=ak+1bk+1 ・・・・・・③
ak+2bk=ak+1bk+1+1 ・・・・・・④
が成り立つと仮定すると、
ak+1bk+2-(ak+2bk+1+1)
=ak+1(4bk+1-bk)-(4ak+1-ak)bk+1-1 ← (A)(B)より
=-ak+1bk+akbk+1-1
=-ak+1bk+(ak+1bk+1)-1 ←③より
=0
ak+3bk+1-ak+2bk+2-1
=(4ak+2-bk+1)bk+1-ak+2(4bk+1-bk)-1 ← (A)(B)より
=-ak+1bk+1+ak+2bk-1
=-ak+1bk+1+(ak+1bk+1+1)-1 ←④より
=0
となるので、n=k+1のときも①、②は成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して①、②は成り立つ。
(3)
(C)を用いて、項を順次計算してくと、
c1=1、 c2=1、 c3=2、 c4=6
c5=21、 c6=77、 c7=286
となり、このことと(1)より、自然数mに対して
c2m-1=ambm、 c2m=am+1bm ・・・・・・(ⅰ)
であると類推することができる。
このことを数学的帰納法で示す。
(Ⅲ) m=1のときはOK
(Ⅳ) m=kのとき
c2k-1=akbk、 c2k=ak+1bk ・・・・・・(ⅱ)
が成り立つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c_{2k+1}&=\sf \frac{c_{2k}\left(c_{2k}+1\right)}{c_{2k-1}}\\ &=\sf \frac{a_{k+1}b_k\left(a_{k+1}b_k+1\right)}{a_kb_k}\ \ \ \ \left(\because\ (ii)\right)\\ &=\sf \frac{a_{k+1}b_k\cdot a_{k}b_{k+1}}{a_kb_k}\ \ \ \ \left(\because\ (2)\right)\\ &=\sf a_{k+1}b_{k+1}\ \ \cdots\cdots\cdots (iii) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c_{2k+2}&=\sf \frac{c_{2k+1}\left(c_{2k+1}+1\right)}{c_{2k}}\\ &=\sf \frac{a_{k+1}b_{k+1}\left(a_{k+1}b_{k+1}+1\right)}{a_{k+1}b_k}\ \ \ \ \left(\because\ (ii)(iii)\right)\\ &=\sf \frac{a_{k+1}b_{k+1}\cdot a_{k+2}b_{k}}{a_{k+1}b_k}\ \ \ \ \left(\because\ (2)\right)\\ &=\sf a_{k+2}b_{k+1}\end{align*}}$
となるので、m=k+1のときも(ⅰ)は成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して(ⅰ)は成り立つ。
一方、a1、a2は整数なので(A)よりa3も整数であり、以下も帰納的に
anは整数である。同様にしてbnもすべて整数なので、cnは整数である。
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- 2017/08/18(金) 23:57:00|
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