第１問
a1=3、 an+1=3an+4n (n=1，3，2，･･･)により定められた数列{an}に
ついて考える。以下の問いに答えよ。
(１) p、qを定数とする。bn=an+pn+qで定められた数列{bn}が公比3の
等比数列となるp、qの値を求めよ。
(２) 数列{an}の一般項を求めよ。
(３) Sn=a1+a2+a3+・・・+anとする。Sn＞330となる最小の自然数nを
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
a1=3、 an+1=3an+4n (n=1，3，2，･･･) ･･････(ⅰ)
(１)
bn=an+pn+qより、
an=bn-pn-q
an+1=bn+1-p(n+1)-q
これらを(ⅰ)に代入すると、
bn+1-p(n+1)-q=3(bn-pn-q)+4n
⇔ bn+1=3bn+(4-2p)n+p-2q
数列{bn}が公比3の等比数列となるとき、任意のnに対して
(4-2p)n+p-2q=0
が成り立てばよいので、
4-2p=p-2q=0 ⇔ p=2、q=1
(２)
(１)より、bn=an+2n+1 ･･････(ⅱ)
b1=a1+2+1=6
なので、等比数列{bn}の一般項は
bn=6・3n-1=2・3n
よって、(ⅱ)より
an=bn-2n-1
=2・3n-2n-1
(３)
(２)より
 \\ &=\rm \frac{6\left(3^n-1\right)}{3-1}-2\cdot\frac{1}{2}n\left(n+1\right)-n\\ &=\rm 3^{n+1}-n^2-2n-3\end{align*})
よって、
S29=330-902＜330
S30=331-1026=330+(2・330-1026)＞330
より、題意を満たす最小の自然数はn=30である。
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- 2017/11/16(木) 23:57:00|
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第2問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{3}\sin 3x\end{align*}}$
について、以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}f\left(x\right)dx\end{align*}}$ を求めよ。
(2) 区間0≦x≦$\small\sf{\pi}$ におけるf(x)の最大値と最小値をそれぞれ求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\pi}f\left(x\right)dx&=\sf \int_0^{\pi}\left(\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{3}\sin 3x\right)dx \\ &=\sf \left[-\cos x-\frac{1}{4}\cos 2x-\frac{1}{9}\cos 3x\right]_0^{\pi}\\ &=\sf \underline{\frac{20}{9}} \end{align*}}$
(2)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(x\right)&=\sf \cos x+\cos 2x+\cos 3x \\ &=\sf 2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{2x-x}{2}+\cos 2x\\ &=\sf 2\cos 2x+\cos x+\cos 2x\\ &=\sf \cos 2x\left(2\cos x+1\right) \end{align*}}$
なので、区間0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ におけるf(x)の増減は次のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2\sqrt2}{3}+\frac{1}{2}\ \ ,\ \ f\left(\frac{2}{3}\pi\right)=\frac{\sqrt3}{4}\ \ ,\ \ f\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\frac{2\sqrt2}{3}-\frac{1}{2}\end{align*}}$
なので、f(x)の最大値・最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)_{max}=f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\underline{\frac{2\sqrt2}{3}+\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)_{min}=f\left(0\right)=f\left(\pi\right)=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
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- 2017/11/17(金) 23:57:00|
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第3問
自然数nに対して
An={x|xは、各位の数が1または2であるn桁の自然数}
とする。たとえば、A1={1，2}、A2={11，12，21，22}となる。
以下の問いに答えよ。
(1) A3の要素で、23で割り切れるものを求めよ。
(2) A4の要素で、24で割り切れるものを求めよ。
(3) すべてのnに対し、Anの要素で2nで割り切れるものが存在する
ことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
下2桁の数が22で割り切れる必要があるので、112または212.
このうち23で割り切れるのは112
(2)
下3桁の数が23で割り切れる必要があるので、1112または2112.
このうち24で割り切れるのは2112
(3)
Anの要素で2nで割り切れるもの（anとする）が存在することを
数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のとき、a1=2なのでOK
(ⅱ) n=kのとき
Akの要素で2kで割り切れるものが存在すると仮定し、
ak=2k・m （mは自然数）とおく。
ここで2数
b1=10k+ak=2k・(5k+m)
b2=2・10k+ak=2k・(2・5k+m)
を考えると、これらはいずれもAk+1の要素である。
5kは奇数なので、5k+mと2・5k+mのいずれか一方は
2で割り切れる。
よって、b1、b2のいずれか一方は2k+1で割り切れることになるので、
Ak+1の要素で2k+1で割り切れるものが存在する。
以上より、すべてのnに対し、Anの要素で2nで割り切れるものが存在する。
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- 2017/11/18(土) 23:57:00|
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