第1問（理学部）
座標平面上の2点A(5，4)、B(-1，-6)を直径の両端とする円をCとし、
線分ABの垂直二等分線をLとする。以下の問いに答えよ。
(1) 円Cと直線Lの方程式をそれぞれ求めよ。
(2) 円C上にあり、x座標とy座標がともに整数である点をすべて求めよ。
(3) 直線L上にあり、x座標とy座標がともに整数である点をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ABの中点をMとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\left(\frac{5-1}{2},\frac{4-6}{2}\right)=\left(2,-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AM^2=\left(5-2\right)^2+\left(4+1\right)^2=34\end{align*}}$
であり、Cは中心M、半径AMの円なので、その方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=34}\end{align*}}$
また、ABの傾きは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4+6}{5+1}=\frac{5}{3}\end{align*}}$
なので、Lの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(-1\right)=-\frac{3}{5}\left(x-2\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-\frac{3}{5}x+\frac{1}{5}}\end{align*}}$
(2)
求める点の座標を(p，q) （p、qは整数）とおくと、
(p-2)2+(q+1)2=34 ･･････(#)
34以下の平方数は0、1、4、9、16、25の6つであり、このうちの2数の和が
34になるのは、9+25=34のみである。
(ⅰ) (p-2)2=9 のとき
p-2=±3 ⇔ p=5，-1
このとき(#)より
(q+1)2=25 ⇔ q+1=±5 ⇔ q=4，-6
(ⅱ) (p-2)2=25 のとき
p-2=±5 ⇔ p=7，-3
このとき(#)より
(q+1)2=9 ⇔ q+1=±3 ⇔ q=2，-4
複号は任意なので、
(p，q)=(5，4)、(5，-6)、(-1，4)、(-1，-6)、
(7，2)、(7，-4)、(-3，2)、(-3，-4)
(3)
求める点の座標を(s，t) （s、tは整数）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t-\left(-1\right)=-\frac{3}{5}\left(s-2\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ -3\left(s-2\right)=5\left(t+1\right)\end{align*}}$
s、tは整数であり、3と5は互いに素なので、s-2は5の倍数となる。
よって、整数ｋを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s-2=5k\ \ \Leftrightarrow\ \ s=5k+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{3}{5}\left(5s+2\right)+\frac{1}{5}=-3k-1\end{align*}}$
となるので、求める座標は(5k+2，-3k-1)と表せる。
(2)が少し難しいでしょうか？
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/07/30(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問（理学部）
関数f(x)= x(2x-1)et-3xについて、以下の問いに答えよ。
(1) x=0においてex＞xが成り立つことを示し、これを用いて
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\end{align*}}$ f(x)=0 を示せ。
(2) x≧0におけるf(x)の最大値と最小値をそれぞれ求めよ。
(3) 0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ において、曲線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の
面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
関数h(x)を h(x)=ex-x （x≧0）とおくと、
h’(x)=ex-1≧e0-1=0
となるので、h(x)は単調に増加する。
このことと、h(0)=e0=1より、x≧0でつねにh(x)＞0となる。
よって、ex＞xが成り立つ。
これより、x≧0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x\left(2x-1\right)e^{-3x}\lt e^x\left(2e^x-1\right)e^{-3x}=\frac{2}{e^x}-\frac{1}{e^{2x}}\end{align*}}$
また、十分に大きいxに対してはf(x)＞0なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt f(x)<\frac{2}{e^x}-\frac{1}{e^{2x}}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{2}{e^x}-\frac{1}{e^{2x}}\right)=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0\end{align*}}$
が成り立つ。
(2)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)&=\sf \left(4x-1\right)e^{-3x}+\left(2x^2-x\right)\cdot\left(-3e^{-3x}\right)\\ &=\sf -\left(6x^2-7x+1\right)e^{-3x}\\ &=\sf -\left(6x-1\right)\left(x-1\right)e^{-3x}\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)の最大値・最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)_{max}=f\left(1\right)=\underline{e^{-3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)_{min}=f\left(\frac{1}{6}\right)=\underline{-\frac{1}{9}e^{-\frac{1}{2}}}\end{align*}}$
(3)
0≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の範囲では常にf(x)≦0なので、求める面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf -\int_0^{\frac{1}{2}}\left(2x^2-x\right)e^{-3x}dx\\ &=\sf -\left[-\frac{1}{3}\left(2x^2-x\right)e^{-3x}\right]_0^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}\int_0^{\frac{1}{2}}\left(4x-1\right)e^{-3x}dx\\ &=\sf 0-\frac{1}{3}\left\{\left[-\frac{1}{3}\left(4x-1\right)e^{-3x}\right]_0^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}\int_0^{\frac{1}{2}}4e^{-3x}dx\right\}\\ &=\sf \frac{1}{9}\left(e^{-\frac{3}{2}}+e^0\right)-\frac{4}{9}\left[-\frac{1}{3}e^{-3x}\right]_0^{\frac{1}{2}}\\ &=\sf \underline{\frac{1}{27}\left(7e^{-\frac{3}{2}}-1\right)}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/07/31(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問（理学部）
0でない複素数zに対し、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \alpha=z+\frac{1}{z}\ \ ,\ \ \beta=iz+\frac{1}{iz}\end{align*}}$
とする。ただし、i は虚数単位とする。以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\alpha}$ が実数となる点zの全体が表す図形を、複素数平面上に
図示せよ。
(2) 等式$\small\sf{|\alpha|=|\beta|}$ をみたす点zの全体が表す図形を、複素数
平面上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\alpha}$ が実数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\overline{\alpha}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf z+\frac{1}{z}=\overline{z}+\frac{1}{\overline{z}}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf z^2\overline{z}+\overline{z}=z\overline{z}^2+z\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(z\overline{z}-1\right)\left(z-\overline{z}\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf |z|^2=1\ \ or\ \ z=\overline{z} \end{align*}}$
よって、|z|=1 または zは実数（0を除く）なので、
点zの全体が表す図形は右図のようになる。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\beta|=\left|iz+\frac{1}{iz}\right|=\left|i\left(z-\frac{1}{z}\right)\right|=\left|z-\frac{1}{z}\right|\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\alpha|=|\beta|&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left|z+\frac{1}{z}\right|^2=\left|z-\frac{1}{z}\right|^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(z+\frac{1}{z}\right)\left(\overline{z}+\frac{1}{\overline{z}}\right)=\left(z-\frac{1}{z}\right)\left(\overline{z}-\frac{1}{\overline{z}}\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf z\overline{z}+\frac{z}{\overline{z}}+\frac{\overline{z}}{z}+\frac{1}{z\overline{z}}=z\overline{z}-\frac{z}{\overline{z}}-\frac{\overline{z}}{z}+\frac{1}{z\overline{z}}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{z}{\overline{z}}+\frac{\overline{z}}{z}=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf z^2+\overline{z}^2=0\ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
ここで、z=x+yi （x，yは実数、z≠0）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(x+yi\right)^2+\left(x-yi\right)^2=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2x^2-2y^2=2\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf y=\pm x\end{align*}}$
よって、点zの全体が表す図形は右図のようになる。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/08/01(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問（生活環境学部）
xを1より大きい実数とする。面積が1である三角形ABCにおいて、
辺BC、CA、ABをそれぞれx：1に内分する点をそれぞれD、E、F
とし、線分BEとCF、CFとAD、ADとBEの交点をそれぞれG、H、I
とする。以下の問いに答えよ。
(1) 三角形DEFの面積が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ となるxの値を求めよ。
(2) FG：GCをxを用いて表せ。
(3) 三角形GHIの面積が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ となるxの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
CE：AE=x：1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABE=\frac{1}{x+1}\triangle ABC=\frac{1}{x+1}\end{align*}}$ ・・・・・・(*)
また、AF：BF=x：1より 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle AEF=\frac{x}{x+1}\triangle ABE=\frac{x}{\left(x+1\right)^2}\end{align*}}$
同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle BFD=\triangle CDE=\frac{x}{\left(x+1\right)^2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle DEF=\triangle ABC-\left(\triangle AEF+\triangle BFD+\triangle CDE\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}=1-3\cdot\frac{x}{\left(x+1\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-4x+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{x=2+\sqrt3\ \left(>1\right)}\end{align*}}$
(2)
メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{EA}{CE}\cdot\frac{BF}{AB}\cdot\frac{GC}{FG}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x+1}\cdot\frac{GC}{FG}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ FG:GC=\underline{1:\left(x^2+x\right)}\end{align*}}$
(3)
(*)と同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle BCF=\frac{1}{x+1}\end{align*}}$
これと(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle BCG=\frac{x^2+x}{x^2+x+1}\triangle BCF=\frac{x}{x^2+x+1}\end{align*}}$
同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle CAH=\triangle ABI=\frac{x}{x^2+x+1}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle GHI=\triangle ABC-\left(\triangle BCG+\triangle CAH+\triangle ABI\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{4}=1-3\cdot\frac{x}{x^2+x+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-3x+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\frac{3+\sqrt5}{2}\ \ \left(>1\right)}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/08/02(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第5問（生活環境学部）
nは2以上の整数とする。また、a、bは実数とする。以下の問いに答えよ。
(1) xn-ax-bがx-1で割り切れるとき、bをaを用いて表せ。
(2) xn-ax-bがx2+x-2で割り切れるとき、bをaを用いて表せ。
(3) xn-ax-bがx2-2x+1で割り切れるとき、bをaを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
f(x)=xn-ax-bとおく
(1)
f(x)をx-1で割ったときの商をg1(x)とすると、
f(x)=xn-ax-b=(x-1)g1(x)
と表せる。x=1を代入すると、
f(1)=1-a-b=0 ⇔ b=1-a
(2)
f(x)をx2+x-2で割ったときの商をg2(x)とすると、
f(x)=xn-ax-b=(x-1)(x+2)g2(x)
と表せる。x=1とx=-2を代入すると、
f(1)=1-a-b=0
f(-2)=(-2)n+2a-b=0
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{a=\frac{1-\left(-2\right)^n}{3}\ \ ,\ \ b=\frac{2+\left(-2\right)^n}{3}}\end{align*}}$
(3)
f(x)をx2-2x+1で割ったときの商をg3(x)とすると、
f(x)=xn-ax-b=(x-1)2g3(x)
と表せる。両辺をxで微分すると
f’(x)=nxn-1-a=2(x-1)g3(x)+(x-1)2g’3(x)
これらにx=1を代入すると、
f(1)=1-a-b=0
f’(1)=n-a=0
これら2式を連立させて解くと、
a=n、 b=1-n
(3)の答案はインチキでありますがｗｗ
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/08/03(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第6問（生活環境学部）
変量xの9個のデータx1、x2、x3、・・・、x9について考える。この9個の
データの平均値はm、標準偏差はsであり、sは0ではないとする。以下
の問いに答えよ。
(1) a、bを実数とし、a＞0とする。変量xの9個のデータと、変量yの9個
のデータy1、y2、y3、・・・、y9との間に
yk= axk+b (k=1，2，3，・・・，9)
の関係があるとする。変量yの9個のデータの平均値は0、標準偏差
は1であるとき、a、bをm、sを用いて表せ。
(2) 変量xの9個のデータのうちの4個のデータx1、x2、x3、x4の平均値が
m、標準偏差がs+1であるとする。このとき、残りの5個のデータx5、x6、
x7、x8、x9の平均値と標準偏差をm、sを用いて表し、s≧2でなければ
ならないことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
変量xの平均がm、標準偏差がs（≠0）なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{9}\sum_{k=1}^9x_k=m\end{align*}}$ ・・・・・・(i)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{9}\sum_{k=1}^9\left(x_k-m\right)^2=s^2\end{align*}}$ ・・・・・・(ii)
(1)
変量yの平均が0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0&=\sf \frac{1}{9}\sum_{k=1}^9y_k\\ &=\sf \frac{1}{9}\sum_{k=1}^9\left(ax_k+b\right)\\ &=\sf \frac{a}{9}\sum_{k=1}^9x_k+b\\ &=\sf am+b\ \ \ \left(\because\ (i)\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b=-am\end{align*}}$ ・・・・・・(iii)
変量yの標準偏差が1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1^2&=\sf \frac{1}{9}\sum_{k=1}^9\left(y_k-0\right)^2\\ &=\sf \frac{1}{9}\sum_{k=1}^9\left(ax_k-am\right)^2\ \ \ \ \left(\because\ (iii)\right)\\ &=\sf \frac{a^2}{9}\sum_{k=1}^9\left(x_k-m\right)^2\\ &=\sf a^2s^2\ \ \ \left(\because\ (ii)\right) \end{align*}}$
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{a=\frac{1}{s}\ \left(>0\right)\ \ ,\ \ b=-\frac{m}{s}}\end{align*}}$
(2)
x1、x2、x3、x4の平均値がm、標準偏差がs+1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\sum_{k=1}^4x_k=m\end{align*}}$ ・・・・・・(iv)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\sum_{k=1}^4\left(x_k-m\right)^2=\left(s+1\right)^2\end{align*}}$ ・・・・・・(v)
x5、x6、x7、x8、x9の平均値をm’、標準偏差をs’とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m'&=\sf \frac{1}{5}\sum_{k=5}^9 x_k\\ &=\sf \frac{1}{5}\left(\sum_{k=1}^9 x_k-\sum_{k=1}^4 x_k\right)\\ &=\sf \frac{1}{5}\left(9m-4m\right)\ \ \ \ \left(\because\ (i)(iv)\right)\\ &=\sf \underline{\ m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s'^2&=\sf \frac{1}{5}\sum_{k=5}^9\left(x_k-m\right)^2\\ &=\sf \frac{1}{5}\left\{\sum_{k=1}^9\left(x_k-m\right)^2-\sum_{k=1}^4\left(x_k-m\right)^2\right\}\\ &=\sf \frac{1}{5}\left\{9s^2-4\left(s+1\right)^2\right\}\\ &=\sf \frac{1}{5}\left(5s^2-8s-4\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s'=\underline{\sqrt{\frac{1}{5}\left(5s^2-8s-4\right)}}\end{align*}}$
一方、s’2≧0なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\left(5s^2-8s-4\right)=\frac{1}{5}\left(5s+2\right)\left(s-2\right)\geqq 0\end{align*}}$
であり、s＞0よりs≧2が成り立つ。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/08/04(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
