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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017大阪教育大 後期数学1



第1問

  1から5までの自然数を1つずつ書いた5枚のカードを袋に入れる。
  この袋から無作為に1枚のカードを引き、それを戻すことを繰り返す。
  1回目からn回目までに引いたカードに書かれた数の和をanとする。
  anが偶数となる確率をpnとし、an2+an+12を4で割ったときの余りが
  0、1、2、3となる確率をそれぞれqn、rn、sn、tnとする。このとき、
  次の問いに答えよ。

 (1) pn+1をpnを用いて表せ。

 (2) pnをnを用いて表せ。

 (3) (ⅰ) 自然数kに対して、k2を4で割ったときの余りは0または1
       であることを示せ。
    (ⅱ) tn=0を示せ。
    (ⅲ) qn、rn、snをそれぞれnを用いて表せ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2017/11/19(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 後期 2017
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2017大阪教育大 後期数学2



第2問

  2つの正の定数a、b(a>b)と、0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ の範囲を動く$\small\sf{\theta}$ に対して、
  OA=a、OB=b、∠AOB=$\small\sf{\theta}$ となる△OABを考える。頂点Oから直線
  ABに下した垂線とABとの交点をHとし、tを
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=t\overrightarrow{\sf OA}+\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
  をみたす実数とする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) △OABの面積が最大となるときの$\small\sf{\theta}$ の値を求め、そのときのt、
    AH、BHをそれぞれa、bを用いて表せ。

 (2) tをa、b、$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (3) $\small\sf{\theta}$ が増加するとき、tは増加することを示せ。



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  1. 2017/11/20(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 後期 2017
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2017大阪教育大 後期数学3



第3問

  zを0、±1でない複素数都市、自然数nに対して
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{z^n-z^{-n}}{z-z^{-1}}\end{align*}}$
  とする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) zn-1anをzの多項式として表せ。

 (2) z=cos$\small\sf{\theta}$ +isin$\small\sf{\theta}$ とするとき、a1、a2、a3をcosk$\small\sf{\theta}$ (k=1,2,3,・・・)
    を用いて表せ。

 (3) mを自然数とする。zがzm=1をみたすとき、an=an+mを示せ。

 (4) z=cos$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$+isin$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$とするとき、anを求めよ。
     



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  1. 2017/11/21(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 後期 2017
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2017大阪教育大 後期数学4



第4問

  次の問いに答えよ。ただし、logxはxの自然対数である。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\frac{x}{1+x^2}dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) t>1とする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_1^t\frac{x\log\left(1+x^2\right)}{1+x^2}dx-\int_1^t\frac{2x\log x}{1+x^2}dx<\log\left(1+t^2\right)\end{align*}}$
    を示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{\left\{\log\left(1+t^2\right)\right\}^2}\int_1^t\frac{x\log x}{1+x^2}dx\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2017/11/22(水) 23:57:00|
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