第1問
数列{an}に対して、数列{bn}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ \ \ \left(n=1,2,\cdots\right)\end{align*}}$
で定める。このとき、次の問に答えよ。
(1) {an}が等差数列ならば、{bn}も等差数列であることを証明せよ。
(2) {bn}は公差dの等差数列とする。
(ⅰ) {an}をb1、d、nを用いて表せ。
(ⅱ) {an}も等差数列であることを証明せよ。
(3) {bn}が等差数列で、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^5b_{2k-1}=65\ \ ,\ \ \sum_{k=1}^5b_{2k}=75\end{align*}}$
のとき、{an}の一般項を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
数列{an}の公差をδとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\delta\left(n-1\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{\frac{1}{2}n\left(a_1+a_n\right)}{n}=\frac{1}{2}\bigg\{2a_1+\delta\left(n-1\right)\bigg\}\end{align*}}$
数列{bn}の階差を考えると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_{n+1}-b_n&=\sf \frac{1}{2}\left(2a_1+\delta n\right)-\frac{1}{2}\bigg\{2a_1+\delta\left(n-1\right)\bigg\}\\ &=\sf \frac{1}{2}\delta\end{align*}}$
となり、一定値を示すので、数列{bn}は等差数列である。
(2)(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}=b_1+d\left(n-1\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_1+a_2+\cdots +a_n=n\bigg\{b_1+d\left(n-1\right)\bigg\} \end{align*}}$
n=1のとき、a1=b1
n≧2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n&=\sf n\bigg\{b_1+d\left(n-1\right)\bigg\} -\left(n-1\right)\bigg\{b_1+d\left(n-2\right)\bigg\} \\ &=\sf \underline{b_1+2d\left(n-1\right)}\end{align*}}$
これはn=1のときも成り立つ。
(2)(ⅱ)
数列{an}の階差を考えると、(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}-a_n&=\sf \left(b_1+2dn\right)-\bigg\{b_1+2d\left(n-1\right)\bigg\}\\ &=\sf 2d \end{align*}}$
となり、一定値を示すので、数列{an}は等差数列である。
(3)
数列{bn}の公差をdとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{2k-1}=b_1+d\left(2k-2\right)\ \ ,\ \ b_{2k}=b_1+d\left(2k-1\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^5b_{2k-1}&=\sf \sum_{k=1}^5\bigg\{b_1+d\left(2k-2\right)\bigg\}\\ &=\sf 5b_1+2d\cdot\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6-2d\cdot 5\\ &=\sf 5b_1+20d=65\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^5b_{2k}&=\sf \sum_{k=1}^5\bigg\{b_1+d\left(2k-1\right)\bigg\}\\ &=\sf 5b_1+2d\cdot\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6-d\cdot 5\\ &=\sf 5b_1+25d=75\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=5\ ,\ d=2\end{align*}}$
(2)(ⅱ)より、{an}の一般項は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=5+4\left(n-1\right)=\underline{\sf 4n+1}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/07/26(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
次の問に答えよ。
(1) 次の不等式をみたす実数xの範囲を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf x^4-2x^3-x+2\leqq 0\end{align*}}$
(2) 次の不等式をみたす複素数zの範囲を複素数平面上に図示せよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf |z|^4-2|z|^3-|z|+2\leqq 0\end{align*}}$
(3) 次の不等式をみたす複素数zの範囲を複素数平面上に図示せよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left|z-iz-1-i\right|^4-2\left|z-iz-1-i\right|^3-\left|z-iz-1-i\right|+2\leqq 0\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^4-2x^3-x+2&=\sf \left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+x+1\right) \\ &=\sf \left(x-1\right)\left(x-2\right)\left\{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right\}\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{1\leqq x\leqq 2}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |z|^4-2|z|^3-|z|+2\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq |z|\leqq 2\end{align*}}$
これをみたす複素数zの範囲は下図のようになる。
（境界線上の点も含む）
(3)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z-iz-1-i\right|^4-2\left|z-iz-1-i\right|^3-\left|z-iz-1-i\right|+2\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq \left|z-iz-1-i\right|\leqq 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq \left|\left(1-i\right)z-\left(1+i\right)\right|\leqq 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq \left|1-i\right|\left|z-\frac{1+i}{1-i}\right|\leqq 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq \sqrt2\left|z-\frac{\left(1+i\right)^2}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}\right|\leqq 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\sqrt2}\leqq \left|z-i\right|\leqq \sqrt2\end{align*}}$
これをみたす複素数zの範囲は下図のようになる。
（境界線上の点も含む）
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/07/27(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
平面上の四角形ABCDが円に内接している。
a=AB、 b=BC、 c=CD、 d=DA
とおく。このとき、次の問に答えよ。
(1) $\small\sf{\theta}$ =∠ABCとおくとき、cos$\small\sf{\theta}$ をa、b、c、dを用いて表せ。
(2) 次の式を因数分解せよ。
4(ab+cd)2-(a2+bt2条2-c2-d2)2
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{a+b+c+d}{2}\end{align*}}$ とする。このとき、四角形ABCDの面積Sは
次の式で表されることを証明せよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf S=\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
四角形ABCDは円に内接するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle ADC=\cos\left(180^{\circ}-\theta\right)=-\cos\theta\end{align*}}$
△ABCと△ADCに余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AC^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta=c^2+d^2-2cd\cdot\left(-\cos\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2ab+2cd\right)\cos\theta=a^2+b^2-c^2-d^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta=\underline{\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2\left(ab+cd\right)}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\left(ab+cd\right)-\left(a^2+b^2-c^2-d^2\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg\{2\left(ab+cd\right)-\left(a^2+b^2-c^2-d^2\right)\bigg\}\bigg\{2\left(ab+cd\right)+\left(a^2+b^2-c^2-d^2\right)\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg\{-\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(c^2+2cd+d^2\right)\bigg\}\bigg\{\left(a^2+2ab+b^2\right)-\left(c^2-2cd+d^2\right)\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg\{-\left(a-b\right)^2+\left(c+d\right)^2\bigg\}\bigg\{\left(a+b\right)^2-\left(c-d\right)^2\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\left(-a+b+c+d\right)\left(a-b+c+d\right)\left(a+b-c+d\right)\left(a+b+c-d\right)}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \triangle ABC+\triangle ADC\\ &=\sf \frac{1}{2}ab\sin\theta+\frac{1}{2}cd\sin\left(180^{\circ}-\theta\right)\\ &=\sf \frac{1}{2}\left(ab+cd\right)\sin\theta\\ &=\sf \frac{1}{2}\left(ab+cd\right)\sqrt{1-\cos^2\theta}\\ &=\sf \frac{1}{2}\left(ab+cd\right)\sqrt{1-\left\{\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2\left(ab+cd\right)}\right\}^2}\ \ \ \ \left(\because\ (1)\right)\\ &=\sf \frac{1}{4}\sqrt{4\left(ab+cd\right)-\left(a^2+b^2-c^2-d^2\right)^2}\\ &=\sf \frac{1}{4}\sqrt{\left(-a+b+c+d\right)\left(a-b+c+d\right)\left(a+b-c+d\right)\left(a+b+c-d\right)}\ \ \ \ \left(\because\ (2)\right)\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -a+b+c+d=\left(a+b+c+d\right)-2a=2s-2a\end{align*}}$
などより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \frac{1}{4}\sqrt{\left(2s-2a\right)\left(2s-2b\right)\left(2s-2c\right)\left(2s-2d\right)}\\ &=\sf \sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}\end{align*}}$
以上より、題意は示された。
ヘロンの公式の証明に似てますね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/07/28(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
f(x)=(1-xt2)e-x とおく。このとき、次の問に答えよ。
(1) 関数y=f(x)の増減と極値を調べ、そのグラフの概形をかけ。
(2) 関数y=f(x)のグラフのy=0の部分とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)&=\sf -2xe^{-x}+ \left(1-x^2\right)\cdot\left(-e^{-x}\right)\\ &=\sf \left(x^2-2x-1\right)e^{-x}\end{align*}}$
となるので、f(x)の増減およびグラフの概形は次のようになる。
また、f(x)の極大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(1-\sqrt2\right)=\underline{2\left(\sqrt2-1\right)e^{\sqrt2-1}}\end{align*}}$
f(x)の極小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(1+\sqrt2\right)=\underline{-2\left(\sqrt2+1\right)e^{-\sqrt2-1}}\end{align*}}$
(2)
求める面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_{-1}^1\left(1-x^2\right)e^{-x}dx \\ &=\sf \bigg[\left(1-x^2\right)\cdot\left(-e^{-x}\right)\bigg]_{-1}^1+\int_{-1}^1\left(-2x\right)e^{-x}dx\\ &=\sf 0-2\left\{\bigg[-xe^{-x}\bigg]_{-1}^1+\int_{-1}^1e^{-x}dx\right\}\\ &=\sf \underline{4e^{-1}}\end{align*}}$
大教大は毎年いい問題を出しますね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/07/29(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
