第1問
次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\sf 0\lt x\lt \pi}$ を満たすxのうち、$\small\sf{\sf \tan x}$ の値が存在して$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\tan x}<\sqrt3\end{align*}}$ となる
ようなxの範囲を求めよ。
(2) xy平面上の曲線$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\tan x\ \ \left(-\frac{\pi}{2}\lt x\lt\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ の点$\small\sf{\sf (t,\ \tan t)}$ における
接線の傾きをmtとする。mt=2であるようなtのうち最小のものをaとし、
mt=4であるようなtのうち最小のものをbとする。aとbの値を求めよ。
(3) (2)で求めたa、bについて、曲線$\small\sf{\sf y=\tan x}$ の直線x=aと直線x=bの間
にある部分と、曲線$\small\sf{\sf y=\tan x}$ の点$\small\sf{\sf (a,\ \tan a)}$ における接線と、直線x=b
とで囲まれる領域の面積Sを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\sf \tan x\gt 0}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\tan x}>\sqrt3\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{sqrt3}<\tan x\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{6}\lt x<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\sf \tan x\lt 0}$ のときは常に成り立つ。
以上より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\frac{\pi}{6}\lt x<\frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{\pi}{2}\lt x<\pi}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\tan x\right)'=\frac{1}{\cos^2x}\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\lt t\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m_t=\frac{1}{\cos^2t}=2\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos t=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\pm\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m_t=\frac{1}{\cos^2t}=4\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos t=\pm\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\pm\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{a=-\frac{\pi}{4}\ ,\ b=-\frac{\pi}{3}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\sf (a,\ \tan a)}$ における接線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left\{\tan\left(-\tan\frac{\pi}{4}\right)\right\}=2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=2x+\frac{\pi}{2}-1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_b^a\left(2x+\frac{\pi}{2}-1-\tan x\right)dx\\ &=\sf \left[x^2+\left(\frac{\pi}{2}-1\right)x-\log |\cos x|\right]_{-\frac{\pi}{3}}^{-\frac{\pi}{4}}\\ &=\sf \underline{-\frac{\pi^2}{144}-\frac{\pi}{12}+\frac{1}{2}\log 2}\end{align*}}$
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- 2017/09/04(月) 23:57:00|
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第2問
実数a、b、cで0＜a＜b＜cを満たすものに対し、xy平面の曲線y=x2
上に3点A(a，a2)、B(b，b2)、C(c，c2)をとる。直線ABとx軸のなす
角を$\small\sf{\begin{align*} \sf \theta_1\ \ \left(0\lt\theta_1\lt\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ 、曲線y=x2のBにおける接線とx軸のなす角を
$\small\sf{\begin{align*} \sf \theta_2\ \ \left(0\lt\theta_2\lt\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ 、直線BCとx軸のなす角を$\small\sf{\begin{align*} \sf \theta_3\ \ \left(0\lt\theta_3\lt\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ とする。
このとき、条件
(*) $\small\sf{\sf \theta_2-\theta_1=\theta_3-\theta_2 }$
と、条件
(**) $\small\sf{\sf 4b^3+(2-4ac)b-a-c=0}$
を考える。
(1) (*)が成立するとき、(**)が成立することを示せ。
(2) 0＜a＜c を満たす実数a、cに対して、a＜b＜cを満たす実数bで、
(**)を満たすものが存在することを示せ。
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【解答】
(1)
AB、BCの傾きは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta_1=\frac{b^2-a^2}{b-a}=a+b\ \ ,\ \ \tan\theta_3=\frac{b^2-c^2}{b-c}=b+c\end{align*}}$
また、(x2)’=2xより、点Bにおける接線の傾きは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta_2=2b\end{align*}}$
これらと(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\left(\theta_2-\theta_1\right)=\tan\left(\theta_3-\theta_2\right)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{\tan\theta_2-\tan\theta_1}{1+\tan\theta_2\tan\theta_1}=\frac{\tan\theta_3-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_3\tan\theta_2}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{2b-\left(a+b\right)}{1+2b\left(a+b\right)}=\frac{\left(b+c\right)-2b}{1+2b\left(b+c\right)}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(b-a\right)\left(2b^2+2bc+1\right)=\left(c-b\right)\left(2b^2+2ab+1\right) \end{align*}}$
となり、これを展開して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (**)\ 4b^3+\left(2-4ac\right)b-a-c=0\end{align*}}$
を得る。
(2)
関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=4x^3+\left(2-4ac\right)x-a-c\end{align*}}$
とおくと、a＜cより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(a\right)&=\sf 4a^3+\left(2-4ac\right)a-a-c \\ &=\sf 4a^3-4a^2c+a-c\\ &=\sf \left(a-c\right)\left(4a^2+1\right)<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(c\right)&=\sf 4c^3+\left(2-4ac\right)c-a-c \\ &=\sf 4c^3-4ac^2+c-a\\ &=\sf \left(c-a\right)\left(4c^2+1\right)>0\end{align*}}$
f(x)は連続関数なので、中間値の定理より、方程式f(x)=0は
a＜x＜cの範囲に実数解をもつ。その値をbとすると、(**)を満たすことになる。
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- 2017/09/05(火) 23:57:00|
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第3問
次の問いに答えよ。
(1) 複素数zが条件
|z-1|=1 かつ |z2-1|=1
を満たすとき、zのとり得る値をすべて求めよ。
(2) nを自然数とし、aを正の実数とする。複素数zが|z|=aを満たしながら
動くときの|zn-1|の最大値および最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
|z-1|=1より、点zは点1を中心とする半径1の円周上にある。
また、|z2-1|=|z-1||z+1|=1より、|z+1|=1となり、
点zは点-1を中心とする半径1の円周上にある。
以上より、題意を満たすzの値はz=0である。
(2)
|z|=aより、点zは点0を中心とする半径aの円周上にあるので、
点znは、点0を中心とする半径anの円周上にある。
|zn-1|は点znと1の間の距離を表すので、
zn=-1のとき、最大値an+1をとり、
zn=1のとき、最小値|an-1|をとる。
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第4問
nを5以上の自然数とする。1からnまでの番号のついたn枚の
カードがある。これらのn枚のカードから3枚のカードを同時に
取り除き、残った(n-3)枚のカードの番号のうち、最小のものを
aとし、最大のものをbとする。
(1) a=1かつb=nとなる確率pnを求めよ。
(2) a、bの組(a，b)で起こり得るものをすべて求めよ。また、
積abのとり得る値をすべて求め、それらを大きいものから
順に並べよ。
(3) ab≧nとなる確率qnを求めよ。
(4) ab≦2nとなったときのab＞nとなる条件付き確率rnを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
a=1かつb=nとなるのは、2～n-1のカードの中から3枚取り除く
場合なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\frac{_{n-2}C_3}{_nC_3}=\underline{\frac{\left(n-3\right)\left(n-4\right)}{n\left(n-1\right)}}\end{align*}}$
(2)
(a，b)=(1，n)、(2，n)、(3，n)、(4，n)、
(1，n-1)、(2，n-1)、(3，n-1)、
(1，n-2)、(2，n-2)、(1，n-3)
n≧5より、積abのとり得る値を大きいものから順に並べると、
4n，3n，3n-3，2n，2n-2，2n-4，n，n-1，n-2，n-3
(3)
余事象を考える。
・ab=n-1となるのは
2～n-2のカードの中から2枚と、nのカードを取り除く
ときで、n-3C2通り
・ab=n-2となるのは
2～n-3のカードの中から1枚と、n、n-1のカードを取り
除くときで、n-4C1通り
・ab=n-3となるのは
n、n-1、n-2のカードを取り除くときで、1通り
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q_n&=\sf 1-\frac{_{n-3}C_2+_{n-4}C_1+1}{_nC_3}\\ &=\sf 1-\frac{\frac{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{2}+n-3}{\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3!}}\\ &=\sf \underline{\frac{n^2-4n-9}{n\left(n-1\right)}}\end{align*}}$
(4)
・ab=nとなるのは
(1)よりn-2C3通り
・ab=2n-4となるのは
1、n、n-1のカードを取り除くときで、1通り
・ab=2n-2となるのは
3～n-2のカードの中から1枚と、1、nのカードを取り除く
ときで、n-4C1通り
・ab=2nとなるのは
3～n-1のカードの中から2枚と、1のカードを取り除く
ときで、n-3C2通り
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r_n&=\sf \frac{_{n-3}C_2+_{n-4}C_1+1}{_{n-3}C_2+_{n-4}C_1+1+_{n-2}C_3+1+_{n-4}C_1+_{n-3}C_2} \\ &=\sf \frac{\frac{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{2}+\left(n-4\right)+1}{\frac{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{2}\cdot 2+2\left(n-4\right)+2+\frac{\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)}{3!}} \\ &=\sf \underline{\frac{3}{n+2}}\end{align*}}$
最後は上手く計算すると簡単な式になります。
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- 2017/09/07(木) 23:57:00|
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