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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017京都工芸繊維大学 前期 数学1



第1問

  s、tを0<s<1、0<t<1を満たす実数とする。xy平面において、原点
  O(0,0)、点A(p,q) (q>0)および点B(1,0)を頂点とする三角形OAB
  を考える。線分AOをs:(1-s)の比に内分する点をCとし、線分ABを
  t:(1-t)の比に内分する点をDとする。点Aから直線CDにおろした垂線
  をAHとし、線分AHの長さをhとおく。また、線分CDの長さをLとおく。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とする。ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CD}\end{align*}}$ をs、tおよび $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて
    表せ。

 (2) hとs、t、qおよびLを用いて表せ。また、Lをs、t、p、qを用いて表せ。

 (3) s、tおよびqを固定する。pが実数全体を動くときのhの最大値を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2017/08/05(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2017
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2017京都工芸繊維大学 前期 数学2



第2問

  関数f(x)を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=\int_x^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\ d\theta\ \ \ \ \left(0\lt x\leqq\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
  により定める$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt t\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たす実数tに対し、xy平面における曲線
  $\small\sf{\begin{align*} \sf y=f(x)\ \ \left(t\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ の長さをL(t)とおく。

 (1) 極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}f\left(x\right)\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) f(t)を求めよ。

 (3) 極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow +0}\bigg(L\left(t\right)-f\left(t\right)\bigg)\end{align*}}$ を求めよ。




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  1. 2017/08/06(日) 23:57:00|
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2017京都工芸繊維大学 前期 数学3



第3問

  aを正の実数とし、nを自然数とする。iを虚数単位とし、複素数 $\small\sf{\begin{align*} \sf z_n=1+ \frac{a}{n}\ i\end{align*}}$
  を考え、 $\small\sf{\begin{align*} \sf r_n=|z_n|\ ,\ \ \theta_n=\arg z_n\ \ \left(0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ とおく。このとき、次の問い
  に答えよ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、$\small{\sf \sin x\lt x\lt\tan x}$ が成り立つことを
  証明なしに用いてよい。

 (1) 関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=\frac{x}{\tan x}\end{align*}}$ の$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲における増減を調べよ。

 (2) 不等式n$\small\sf{\theta_n\lt (n+1)\theta_{n+1}\ \ (n=1,2,3,\cdots)}$ が成り立つことを示せ。

 (3) 極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}n\theta _n\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(r_n\right)^n\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2017/08/07(月) 23:57:00|
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2017京都工芸繊維大学 前期 数学4



第4問

  nを2以上の自然数とする。n個の実数a1、a2、・・・、anが条件
  a1<a2<・・・<anを満たすとする。b1、b2、・・・、bnはn個の数
  a1、a2、・・・、anをすべて並べた順列であり、順列a1、a2、・・・、an
  とは異なるとする。

 (1) 実数p1,p2,q1,q2がp1<p2およびq1<q2を満たすとき、不等式
        p1q2+p2q1<p1q1+p2q2
    が成り立つことを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf b_i>b_j\end{align*}}$ を満たす2つの自然数i、j (1≦i<j≦n)が存在することを
    示せ。

 (3) n個の数a1、a2、・・・、anをすべて並べた順列c1、c2、・・・、cnで、
    不等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^na_kb_k<\sum_{k=1}^na_kc_k\end{align*}}$
    を満たすものが存在することを示せ。



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  1. 2017/08/08(火) 23:57:00|
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