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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017三重大 工学部 数学1



第1問

  数列{an}を次のように定める。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=2\ ,\ a_{n+1}=\frac{2n}{n+1}a_n+\frac{2^{n+1}}{n+1}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)\end{align*}}$

 (1) a2、a3、a4を求めよ。

 (2) 一般項anを推測し、それが正しいことを数学的帰納法によって示せ。

 (3) 次の極限値を求めよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^na_k^ {\ 2}}{\left(\sum_{k=1}^na_k\right)^2}\end{align*}}$



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  1. 2017/10/10(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2017(工)
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2017三重大 工学部 数学2



第2問

  虚部が正の複素数zが表す複素数平面上の点をPとし、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{z^2}{|z|}\end{align*}}$
  で与えられる点をQとする。また、原点をOとする。

 (1) zの極形式を$\small\sf{\sf z=r(\cos\theta+i \sin\theta)}$ とするとき、wの極形式を
    求めよ。さらに△OPQの面積をrと$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) zが|z−4i|=2|z−i|を満たして動くとき、△OPQの面積の
    最大値を求めよ。



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  1. 2017/10/11(水) 23:57:00|
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2017三重大 工学部 数学3



第3問

  kを定数として$\small\sf{\theta}$ の方程式
       $\small\sf{\begin{align*}\sf \cos 2\theta=k\sin\theta\ \ \left(-\frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
  を考える。

 (1) この方程式が異なる二つの解を持つようなkの範囲を求めよ。

 (2) kが(1)の範囲にあるとして、二つの解を$\small\sf{\theta=\alpha\ ,\ \beta}$ とおく。
    $\small\sf{\sin\alpha\sin\beta}$ を求めよ。さらに$\small\sf{\sf sin\alpha+\sin\beta\ ,\ \cos(\alpha+\beta)}$ の値を
    kを用いて表せ。



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  1. 2017/10/12(木) 23:57:00|
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2017三重大 工学部 数学4



第4問

  実数a、bに対し
         $\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf \left(a,b\right)=\int_{-\pi}^{\pi}\left(x-a-b\sin x\right)^2dx\end{align*}}$
  とする。

 (1) $\small\sf{\rm I\sf (a,\ b)=\rm I\sf (0,\ b)+2\pi\ a^2}$ を示せ。

 (2) $\small\sf{\rm I\sf (0,\ b)}$を求めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf \left(a,b\right)=\frac{2\pi\left(\pi^2-6\right)}{3}\end{align*}}$ を示せ。また等号が成り立つときのa、bの値
    を求めよ。




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  1. 2017/10/13(金) 23:57:00|
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