第１問
xy平面において、楕円
$\small\sf{\begin{align*}\sf E:\ \frac{x^2}{4}+\left(y-1\right)^2=1\end{align*}}$
を考える。aを定数とする。
(１) 直線y=x-aとEがただ1つの共有点を持つようなaの値を求めよ。
(２) 関数y=|x-a|のグラフとEが4つの共有点を持つようなaの範囲を
求めよ。
(３) 関数y=||x-a|-1|のグラフとEが共有点を持たないようなaの範囲
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
y=x-aとEの2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{4}+\left(x-a-1\right)^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ 5x^2-8\left(a+1\right)x+4a^2+8a=0\end{align*}}$ ･･････(ⅰ)
直線y=x-aとEがただ1つの共有点を持つとき、(ⅰ)が重解を持つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=16\left(a+1\right)^2-5\left(4a^2+8a\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2+2a-4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{-1\pm\sqrt5}\end{align*}}$
(２)
x≧aのとき、y=|x-a|=x-a であり、これがEと接するのは、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=-1\pm\sqrt5\end{align*}}$
のときである。
x≦aのとき、y=|x-a|=-x+aであり、これととEの2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{4}+\left(-x+a-1\right)^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ 5x^2-8\left(a-1\right)x+4a^2-8a=0\end{align*}}$ ･･････(ⅱ)
直線y=-x+aとEが接するとき、(ⅱ)が重解を持つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=16\left(a-1\right)^2-5\left(4a^2-8a\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=1\pm\sqrt5\end{align*}}$
また、a=0のとき、y=-xとy=-xはいずれもＥと(0，0)を共有する。
下図より、y=|x-a|のグラフとEが4つの共有点を持つような
aの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{1-\sqrt5\lt a\lt 0\ ,\ 0\lt a<-1+\sqrt5}\end{align*}}$
(３)
a+1≦xのとき
y=||x-a|-1|=|x-a-1|=x-a-1
a≦x≦a+1のとき
y=||x-a|-1|=|x-a-1|=-x+a+1
a-1≦x≦aのとき
y=||x-a|-1|=|-x+a-1|=x-a+1
x≦a-1のとき
y=||x-a|-1|=|-x+a-1|=-x+a-1
y=x-a-1は、直線y=x-aをx軸方向に+1平行移動したものなので、
Eと接するのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=-2\pm\sqrt5\end{align*}}$
のときである。
y=-x+a-1は、直線y=-x+aをx軸方向に-1平行移動したものなので、
Eと接するのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=2\pm\sqrt5\end{align*}}$
のときである。
下図より、y=||x-a|-1|のグラフとEが共有点を持たないような
aの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a\lt -2-\sqrt5\ ,\ 2+\sqrt5\lt a}\end{align*}}$
(２)のa≠0に注意です。
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第２問
座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標を(f(t)，$\small\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(t))と表し、
点Ptを座標が(f(t)，$\small\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(t))である点とする。ただしf(t)、$\small\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(t)は微分可能
で、導関数f’(t)、$\small\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$’(t)について{f’(t)｝2+{$\small\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$’(t)}2＞0とする。点Pの
時刻tにおける速度$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ =(f’(t)，$\small\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$’(t))を考える。a、bを正の定数（a＜b）
とする。
(１) 点Paの座標を(0，0)として、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ が時刻tによらずに(1，0)に等しいとき、
点Pbの座標(f(b)，$\small\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(b))をa、bを用いて表せ。
(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf f\left(t\right)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*}\sf g\left(t\right)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ が$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf P_aP_b}\end{align*}}$ と平行になる時刻t
（a＜t＜b）をa、bを用いて表せ。
(３) Pa≠Pbのとき、ある時刻t （a＜t＜b）で$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ が$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf P_aP_b}\end{align*}}$ と平行になることを
示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f’(t)=1より
f(t)=∫f’(t)dt=t+C1 (C1は積分定数）
f(a)=a+C1=0 ⇔ C1=-a
なので、f(t)=t-a
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$’(t)=0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(t)=∫$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$’(t)dt=C2 (C2は積分定数）
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(a)=C2=0
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(t)=0
以上より、Pb(f(b)，$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(b))=(b-a，0)
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(t\right)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}\ ,\ g\left(t\right)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}\end{align*}}$
に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf P_aP_b}&=\sf \left(f(b),g(b)\right)-\left(f(a),g(a)\right) \\ &=\sf \left(\frac{e^b+e^{-b}-\left(e^a+e^{-a}\right)}{2},\frac{e^b-e^{-b}-\left(e^a-e^{-a}\right)}{2}\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf v}=\left(f\ '(t),g\ '(t)\right)=\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2},\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf P_aP_b}//\overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{e^b+e^{-b}-\left(e^a+e^{-a}\right)}{2}:\frac{e^b-e^{-b}-\left(e^a-e^{-a}\right)}{2}=\frac{e^t-e^{-t}}{2}:\frac{e^t+e^{-t}}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(e^b+e^{-b}-e^a-e^{-a}\right)\left(e^t+e^{-t}\right)=\left(e^b-e^{-b}-e^a+e^{-a}\right)\left(e^t-e^{-t}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(e^{-b}-e^{-a}\right)e^t=\left(e^a-e^{b}\right)e^{-t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{e^{a}-e^{b}}{e^ae^b}\ e^{2t}=e^a-e^b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e^{2t}=e^ae^b=e^{a+b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\underline{\frac{a+b}{2}}\end{align*}}$
(３)
時刻をt=c (a＜c＜b)において、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf P_aP_b}//\overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ になるとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \bigg\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\bigg\}:\bigg\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\bigg\}=f\ '\left(c\right):g\ '\left(c\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \bigg\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\bigg\}f\ '\left(c\right)-\bigg\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\bigg\}g\ '\left(c\right)=0\end{align*}}$
これを満たすc (a＜c＜b)が存在することを証明すればよい。
ここで、関数h(t)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\left(t\right)=\bigg\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\bigg\}f\left(t\right)-\bigg\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\bigg\}g\left(t\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\left(a\right)&=\sf \bigg\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\bigg\}f\left(a\right)-\bigg\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\bigg\}g\left(a\right) \\ &=\sf f\left(a\right)g\left(b\right)-f\left(b\right)g\left(a\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\left(b\right)&=\sf \bigg\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\bigg\}f\left(b\right)-\bigg\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\bigg\}g\left(b\right) \\ &=\sf f\left(a\right)g\left(b\right)-f\left(b\right)g\left(a\right)\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\left(b\right)-h\left(a\right)=0\end{align*}}$
また、f(t)、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(t)は微分可能な関数なので、h(t)も微分可能であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ '\left(t\right)=\bigg\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\bigg\}f\ '\left(t\right)-\bigg\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\bigg\}g\ '\left(t\right)\end{align*}}$ .
よって、平均値の定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ '\left(c\right)=\frac{h\left(b\right)-h\left(a\right)}{b-a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \bigg\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\bigg\}f\ '\left(c\right)-\bigg\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\bigg\}g\ '\left(c\right)=0\end{align*}}$
を満たすc (a＜c＜b)が存在するので、題意は示された。
(３)は捨て問題ですかねｗｗｗ
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第３問
AB=3、BC=4、CA=5である△ABCについて、∠C=$\small\sf{\theta}$ とする。
次を示せ。
(１) 30°＜$\small\sf{\theta}$
(２) $\small\sf{\theta}$ ＜40°
(３) 36°＜$\small\sf{\theta}$
(４) n$\small\sf{\theta}$ =30°+m×360°となる整数n、mは存在しない。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
32+42=52より、△ABCは∠B=90°の直角三角形である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\theta=\frac{4}{5}\ ,\ \sin\theta=\frac{3}{5}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\theta-\cos30^{\circ}=\sf \frac{4}{5}-\frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt{64}-\sqrt{75}}{10}<0\end{align*}}$ .
よって、cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜cos30°であり、$\scriptsize\sf{\theta}$ は鋭角なので、
$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞30°である。
(２)
3倍角の公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos3\theta=4\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^3-3\cdot\frac{4}{5}=-\frac{44}{125}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos3\theta-\cos120^{\circ}=\sf -\frac{44}{125}-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{37}{250}>0\end{align*}}$ .
よって、cos3$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞cos120°であり、$\scriptsize\sf{\theta}$ は鋭角なので、
3$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜120°すなわち$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜40°である。
(３)
倍角の公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos2\theta=2\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^2-1=\frac{7}{25}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin2\theta=2\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{24}{25}\end{align*}}$
３倍角の公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin3\theta=3\cdot\frac{3}{5}-4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3=\frac{117}{125}\end{align*}}$
加法定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin5\theta&=\sf \sin\left(3\theta+2\theta\right) \\ &=\sf \frac{117}{125}\cdot\frac{7}{25}+\left(-\frac{44}{125}\right)\cdot\frac{24}{25}\\ &=\sf -\frac{237}{3125}<0=\sin180^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\theta}$ は鋭角なので、
5$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞180°すなわち$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞36°である。
(４)
任意の自然数nに対してcosn$\scriptsize\sf{\theta}$ とは有理数であることを
数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のときは自明
(ⅱ) n=kのとき
cosk$\scriptsize\sf{\theta}$ 、sink$\scriptsize\sf{\theta}$ がともに有理数であると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\left(k+1\right)\theta&=\sf \cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta \\ &=\sf \frac{4}{5}\cos k\theta-\frac{3}{5}\sin k\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\left(k+1\right)\theta&=\sf \sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta \\ &=\sf \frac{4}{5}\sin k\theta+\frac{3}{5}\cos k\theta\end{align*}}$
より、cos(k+1)$\scriptsize\sf{\theta}$ 、sin(k+1)$\scriptsize\sf{\theta}$ はともに有理数となる。
以上より、任意の自然数nに対して、cosn$\scriptsize\sf{\theta}$ とsinn$\scriptsize\sf{\theta}$ は有理数である。
ここで、n$\scriptsize\sf{\theta}$ =30°+m×360°となる整数n、mが存在すると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos n\theta&=\sf \cos\left(30^{\circ}+m\times 360^{\circ}\right) \\ &=\sf \cos 30^{\circ}\\ &=\sf \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
となり、cosn$\scriptsize\sf{\theta}$ が有理数であることに矛盾する。
（$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$ が無理数であることは既知とした。）
よって、n$\scriptsize\sf{\theta}$ =30°+m×360°となる整数n、mは存在しない。
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第４問
さいころをn回投げるとき、1の目が続けてm回以上出る確率を
P(n，m)とする。さいころをn+1回投げるとき、同じ目が続けて
m+1回以上出る確率をQ(n，m)とする。
(１) P(3，2)とQ(3，2)を求めよ。
(２) P(n，1)をnを用いて表せ。
(３) P(n+2，2)をP(n+1，2)とP(n，2)を用いて表せ。
(４) P(n，m)とQ(n，m)の大小を比較せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
さいころを3回投げるとき、1の目が続けて2回以上出るのは
・1→1→1
・1以外の目→1→1
・1→1→1以外の目
の3つの場合があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(3,2\right)=\left(\frac{1}{6}\right)^3+\frac{5}{6}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot 2=\underline{\frac{11}{216}}\end{align*}}$
さいころを4回投げるとき、1の目が続けて3回以上出るのは
・1→1→1→1
・1以外の目→1→1→1
・1→1→1→1以外の目
の3つの場合があり、ほかの目が連続する場合も同じように
考えることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\left(3,2\right)=\left\{\left(\frac{1}{6}\right)^4+\frac{5}{6}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot 2\right\}\cdot 6=\underline{\frac{11}{216}}\end{align*}}$
(２)
さいころをn回投げるとき、1の目が1回も出ない確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-P\left(n,1\right)=\left(\frac{5}{6}\right)^n\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(n,1\right)=\underline{1-\left(\frac{5}{6}\right)^n}\end{align*}}$
(３)
さいころをn+2回投げて、1の目が連続しないのは、
次の2つの場合がある。
・1回目に1以外の目が出て、残りのn+1回で1の目が
連続しない
・1回目に1の目、2回目に1以外の目が出て、
残りのn回で1の目が連続しない
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-P\left(n+2,2\right)=\frac{5}{6}\bigg\{1-P\left(n+1,2\right)\bigg\}+\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\bigg\{1-P\left(n,2\right)\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ P\left(n+2,2\right)=\underline{\frac{5}{6}P\left(n+1,2\right)+\frac{5}{36}P\left(n,2\right)+\frac{1}{36}}\end{align*}}$
(４)
さいころをｎ+1回投げたとき、出た目を順にa1，a2，･･･，an+1とし、
bk=|ak+1-bk|+1 （k=1，2，･･･，n）
とおく。
あるkに対して、bk=1となるのは、ak=ak+1となる、すなわち同じ目が
続けて出るときであり、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{6}{6^2}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
である。
これは、さいころを1回投げたときに、1の目が出る確率に等しい。
さいころをn+1回投げて、同じ目が続けてm+1回以上出るとき、
n個の数b1，b2，･･･，bnにおいて、1がm回以上連続するので、
その確率は、さいころをn回投げて、1の目が続けてm回以上出る
確率に等しい。
よって、Q(n，m)=P(n，m)である。
(３)までは頑張って解きたいものです。
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