青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.滋賀医科大　2017

2017滋賀医科大　数学１

第１問

　　 xy平面において、楕円
　　　　　　　　 $\rm E:\ \frac{x^2}{4}+\left(y-1\right)^2=1$
　　を考える。aを定数とする。

　(１) 直線y=x-aとEがただ1つの共有点を持つようなaの値を求めよ。

　(２) 関数y=|x-a|のグラフとEが4つの共有点を持つようなaの範囲を
　　　求めよ。

　(３) 関数y=||x-a|-1|のグラフとEが共有点を持たないようなaの範囲
　　　を求めよ。

解答はこちら↓

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2017/11/04(土) 23:57:00|

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2017滋賀医科大　数学２

第２問

　　座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標を(f(t)， $\rm g$ (t))と表し、
　　点P_tを座標が(f(t)， $\rm g$ (t))である点とする。ただしf(t)、 $\rm g$ (t)は微分可能
　　で、導関数f’(t)、 $\rm g$ ’(t)について{f’(t)｝²+{ $\rm g$ ’(t)}²＞0とする。点Pの
　　時刻tにおける速度 $\rm \overrightarrow{\rm v}$ =(f’(t)， $\rm g$ ’(t))を考える。a、bを正の定数（a＜b）
　　とする。

　(１) 点P_aの座標を(0，0)として、 $\rm \overrightarrow{\rm v}$ が時刻tによらずに(1，0)に等しいとき、
　　　点P_bの座標(f(b)， $\rm g$ (b))をa、bを用いて表せ。

　(２) $\rm f\left(t\right)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$ 、 $\rm g\left(t\right)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$ のとき、 $\rm \overrightarrow{\rm v}$ が $\rm \overrightarrow{\rm P_aP_b}$ と平行になる時刻t
　　　（a＜t＜b）をa、bを用いて表せ。

　(３) P_a≠P_bのとき、ある時刻t （a＜t＜b）で $\rm \overrightarrow{\rm v}$ が $\rm \overrightarrow{\rm P_aP_b}$ と平行になることを
　　　示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　f’(t)=1より
　　　　　　　f(t)=∫f’(t)dt=t+C₁　　(C₁は積分定数）
　　　　　　　f(a)=a+C₁=0　 ⇔　 C₁=-a
　　　なので、f(t)=t-a　

　　　 $\rm g$ ’(t)=0より
　　　　　　　 $\rm g$ (t)=∫ $\rm g$ ’(t)dt=C₂　　(C₂は積分定数）
　　　　　　　 $\rm g$ (a)=C₂=0　
　　　なので、 $\rm g$ (t)=0　

　　　以上より、P_b(f(b)， $\rm g$ (b))=(b-a，0)

　(２)
　　　　　　　　 $\rm f\left(t\right)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}\ ,\ g\left(t\right)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$
　　　に対して
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \overrightarrow{\rm P_aP_b}&=\rm \left(f(b),g(b)\right)-\left(f(a),g(a)\right) \\ &=\rm \left(\frac{e^b+e^{-b}-\left(e^a+e^{-a}\right)}{2},\frac{e^b-e^{-b}-\left(e^a-e^{-a}\right)}{2}\right) \end{align*}$
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm v}=\left(f\ '(t),g\ '(t)\right)=\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2},\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)$
　　　なので、 $\rm \overrightarrow{\rm P_aP_b}//\overrightarrow{\rm v}$ のとき、
　　　　　　 $\rm \frac{e^b+e^{-b}-\left(e^a+e^{-a}\right)}{2}:\frac{e^b-e^{-b}-\left(e^a-e^{-a}\right)}{2}=\frac{e^t-e^{-t}}{2}:\frac{e^t+e^{-t}}{2}$
　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(e^b+e^{-b}-e^a-e^{-a}\right)\left(e^t+e^{-t}\right)=\left(e^b-e^{-b}-e^a+e^{-a}\right)\left(e^t-e^{-t}\right)$
　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(e^{-b}-e^{-a}\right)e^t=\left(e^a-e^{b}\right)e^{-t}$
　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{e^{a}-e^{b}}{e^ae^b}\ e^{2t}=e^a-e^b$
　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ e^{2t}=e^ae^b=e^{a+b}$
　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\underline{\frac{a+b}{2}}$

　(３)
　　　時刻をt=c　(a＜c＜b)において、 $\rm \overrightarrow{\rm P_aP_b}//\overrightarrow{\rm v}$ になるとすると、
　　　　　　　　 $\rm \bigg\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\bigg\}:\bigg\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\bigg\}=f\ '\left(c\right):g\ '\left(c\right)$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \bigg\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\bigg\}f\ '\left(c\right)-\bigg\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\bigg\}g\ '\left(c\right)=0$
　　　これを満たすc　(a＜c＜b)が存在することを証明すればよい。

　　　ここで、関数h(t)を
　　　　　　　　 $\rm h\left(t\right)=\bigg\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\bigg\}f\left(t\right)-\bigg\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\bigg\}g\left(t\right)$
　　　とおくと、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm h\left(a\right)&=\rm \bigg\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\bigg\}f\left(a\right)-\bigg\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\bigg\}g\left(a\right) \\ &=\rm f\left(a\right)g\left(b\right)-f\left(b\right)g\left(a\right)\end{align*}$
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm h\left(b\right)&=\rm \bigg\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\bigg\}f\left(b\right)-\bigg\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\bigg\}g\left(b\right) \\ &=\rm f\left(a\right)g\left(b\right)-f\left(b\right)g\left(a\right)\end{align*}$
　　　なので、 $\rm h\left(b\right)-h\left(a\right)=0$

　　　また、f(t)、 $\rm g$ (t)は微分可能な関数なので、h(t)も微分可能であり、
　　　　　　　　 $\rm h\ '\left(t\right)=\bigg\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\bigg\}f\ '\left(t\right)-\bigg\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\bigg\}g\ '\left(t\right)$ .
　　　よって、平均値の定理より　　　
　　　　　　　　 $\rm h\ '\left(c\right)=\frac{h\left(b\right)-h\left(a\right)}{b-a}$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \bigg\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\bigg\}f\ '\left(c\right)-\bigg\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\bigg\}g\ '\left(c\right)=0$
　　　を満たすc　(a＜c＜b)が存在するので、題意は示された。

　　(３)は捨て問題ですかねｗｗｗ　　

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2017/11/05(日) 23:57:00|

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2017滋賀医科大　数学３

第３問

　　AB=3、BC=4、CA=5である△ABCについて、∠C=θとする。
　　次を示せ。

　(１) 30°＜θ

　(２) θ＜40°

　(３) 36°＜θ

　(４) nθ=30°+m×360°となる整数n、mは存在しない。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　3²+4²=5²より、△ABCは∠B=90°の直角三角形である。
　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm \cos\theta=\frac{4}{5}\ ,\ \sin\theta=\frac{3}{5}$
　　　なので、
　　　　　　　　 $\rm \cos\theta-\cos30^{\circ}=\rm \frac{4}{5}-\frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt{64}-\sqrt{75}}{10}<0$ .
　　　よって、cosθ＜cos30°であり、θは鋭角なので、
　　　θ＞30°である。

　(２)
　　　3倍角の公式より
　　　　　　　　 $\rm \cos3\theta=4\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^3-3\cdot\frac{4}{5}=-\frac{44}{125}$
　　　なので、
　　　　　　　　 $\rm \cos3\theta-\cos120^{\circ}=\rm -\frac{44}{125}-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{37}{250}>0$ .
　　　よって、cos3θ＞cos120°であり、θは鋭角なので、
　　　3θ＜120°すなわちθ＜40°である。

　(３)
　　　倍角の公式より
　　　　　　　　 $\rm \cos2\theta=2\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^2-1=\frac{7}{25}$
　　　　　　　　 $\rm \sin2\theta=2\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{24}{25}$
　　　３倍角の公式より
　　　　　　　　 $\rm \sin3\theta=3\cdot\frac{3}{5}-4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3=\frac{117}{125}$
　　　加法定理より
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \sin5\theta&=\rm \sin\left(3\theta+2\theta\right) \\ &=\rm \frac{117}{125}\cdot\frac{7}{25}+\left(-\frac{44}{125}\right)\cdot\frac{24}{25}\\ &=\rm -\frac{237}{3125}<0=\sin180^{\circ}\end{align*}$
　　　θは鋭角なので、
　　　5θ＞180°すなわちθ＞36°である。

　(４)
　　　任意の自然数nに対してcosnθとは有理数であることを
　　　数学的帰納法で示す。
　　　(ⅰ) n=1のときは自明
　　　(ⅱ) n=kのとき
　　　　　　coskθ、sinkθがともに有理数であると仮定すると、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \cos\left(k+1\right)\theta&=\rm \cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta \\ &=\rm \frac{4}{5}\cos k\theta-\frac{3}{5}\sin k\theta\end{align*}$
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \sin\left(k+1\right)\theta&=\rm \sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta \\ &=\rm \frac{4}{5}\sin k\theta+\frac{3}{5}\cos k\theta\end{align*}$
　　　　　より、cos(k+1)θ、sin(k+1)θはともに有理数となる。
　　　以上より、任意の自然数nに対して、cosnθとsinnθは有理数である。

　　　ここで、nθ=30°+m×360°となる整数n、mが存在すると仮定すると、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \cos n\theta&=\rm \cos\left(30^{\circ}+m\times 360^{\circ}\right) \\ &=\rm \cos 30^{\circ}\\ &=\rm \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}$
　　　となり、cosnθが有理数であることに矛盾する。
　　　（ $\rm \sqrt3$ が無理数であることは既知とした。）
　　　よって、nθ=30°+m×360°となる整数n、mは存在しない。

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2017/11/06(月) 23:57:00|

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2017滋賀医科大　数学４

第４問

　　さいころをn回投げるとき、1の目が続けてm回以上出る確率を
　　P(n，m)とする。さいころをn+1回投げるとき、同じ目が続けて
　　m+1回以上出る確率をQ(n，m)とする。

　(１) P(3，2)とQ(3，2)を求めよ。

　(２) P(n，1)をnを用いて表せ。

　(３) P(n+2，2)をP(n+1，2)とP(n，2)を用いて表せ。

　(４) P(n，m)とQ(n，m)の大小を比較せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　さいころを3回投げるとき、1の目が続けて2回以上出るのは
　　　　　　・1→1→1　
　　　　　　・1以外の目→1→1
　　　　　　・1→1→1以外の目
　　　の3つの場合があるので、
　　　　　　　　 $\rm P\left(3,2\right)=\left(\frac{1}{6}\right)^3+\frac{5}{6}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot 2=\underline{\frac{11}{216}}$

　　　さいころを4回投げるとき、1の目が続けて3回以上出るのは
　　　　　　・1→1→1→1　
　　　　　　・1以外の目→1→1→1
　　　　　　・1→1→1→1以外の目
　　　の3つの場合があり、ほかの目が連続する場合も同じように
　　　考えることができるので、
　　　　　　　　 $\rm Q\left(3,2\right)=\left\{\left(\frac{1}{6}\right)^4+\frac{5}{6}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot 2\right\}\cdot 6=\underline{\frac{11}{216}}$

　(２)
　　　さいころをn回投げるとき、1の目が1回も出ない確率は　　　
　　　　　　　　 $\rm 1-P\left(n,1\right)=\left(\frac{5}{6}\right)^n$
　　　なので、
　　　　　　　　 $\rm P\left(n,1\right)=\underline{1-\left(\frac{5}{6}\right)^n}$

　(３)
　　　さいころをn+2回投げて、1の目が連続しないのは、
　　　次の2つの場合がある。
　　　　　・1回目に1以外の目が出て、残りのn+1回で1の目が
　　　　　　連続しない
　　　　　・1回目に1の目、2回目に1以外の目が出て、
　　　　　　残りのn回で1の目が連続しない
　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm 1-P\left(n+2,2\right)=\frac{5}{6}\bigg\{1-P\left(n+1,2\right)\bigg\}+\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\bigg\{1-P\left(n,2\right)\bigg\}$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ P\left(n+2,2\right)=\underline{\frac{5}{6}P\left(n+1,2\right)+\frac{5}{36}P\left(n,2\right)+\frac{1}{36}}$

　(４)
　　　さいころをｎ+1回投げたとき、出た目を順にa₁，a₂，･･･，a_n+1とし、
　　　　　　　　b_k=|a_k+1-b_k|+1　　（k=1，2，･･･，n）
　　　とおく。
　　　あるkに対して、b_k=1となるのは、a_k=a_k+1となる、すなわち同じ目が
　　　続けて出るときであり、その確率は
　　　　　　　　 $\rm \frac{6}{6^2}=\frac{1}{6}$
　　　である。
　　　これは、さいころを1回投げたときに、1の目が出る確率に等しい。

　　　さいころをn+1回投げて、同じ目が続けてm+1回以上出るとき、
　　　n個の数b₁，b₂，･･･，b_nにおいて、1がm回以上連続するので、
　　　その確率は、さいころをn回投げて、1の目が続けてm回以上出る
　　　確率に等しい。
　　　よって、Q(n，m)=P(n，m)である。

　　(３)までは頑張って解きたいものです。　　

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2017/11/07(火) 23:57:00|

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