第1問
ｎは自然数とする。次の問いに答えよ。
(1) 次の不等式を示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[\sf 3]{\sf (n+1)(n+2)(n+3)}\lt n+2\end{align*}}$
(2) 次の不等式を示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf n+3< \sqrt[\sf 3]{\sf (n+1)(n+4)(n+6)}\end{align*}}$
(3) 次の不等式を示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf n+3<\sqrt[\sf 3]{\sf (n+2)(n+3)(n+5)}\end{align*}}$
(4) 次の不等式を示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf n+3<\sqrt[\sf 6]{\sf (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)}\lt n+\frac{7}{2}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(左辺)3－(右辺)3
=(ｎ+1)(ｎ+2)(ｎ+3)－(ｎ+2)3
=(ｎ+2){(ｎ+1)(ｎ+3)－(ｎ+2)2}
=(ｎ+2){(ｎ+1)(ｎ2+4ｎ+3)－(ｎ2+4ｎ+4)}
=－(ｎ+2)＜0
よって、左辺＜右辺 が成立する。
(2)
(左辺)3－(右辺)3
=(ｎ+3)3－(ｎ+1)(ｎ+4)(ｎ+6)
=(ｎ3+9ｎ2+27ｎ+27)－(ｎ3+11ｎ2+34ｎ+24)
=－2ｎ2－7ｎ+3
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\left(n+\frac{7}{4}\right)^2+\frac{73}{8}\end{align*}}$
ここで、ｎは自然数なのでｎ≧1
右図より、この範囲では常に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2\left(n+\frac{7}{4}\right)^2+\frac{73}{8}<0\end{align*}}$
となるので、左辺＜右辺 が成立する。
(3)
(左辺)3－(右辺)3
=(ｎ+3)3－(ｎ+2)(ｎ+3)(ｎ+5)
=(ｎ+3){(ｎ+3)2－(ｎ+2)(ｎ+5)}
=(ｎ+3){(ｎ2+6ｎ+9)－(ｎ2+7ｎ+10)}
=－(ｎ+3)(ｎ+1)＜0
よって、左辺＜右辺 が成立する。
(4)
【前半】
(2)と(3)を辺々かけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (n+3)^2<\sqrt[\sf 3]{\sf (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)}\end{align*}}$
両辺＞0なので、平方根をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n+3<\sqrt[\sf 6]{\sf (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)}\end{align*}}$
【後半】
(1)の不等式は任意の自然数に対して成立するので、
ｎにｎ+3を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[\sf 3]{\sf (n+4)(n+5)(n+6)}\lt n+5\end{align*}}$
これと(1)を辺々かけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[\sf 3]{\sf (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)}<(n+2)(n+5)\end{align*}}$
ここで
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(n+\frac{7}{2}\right)^2-(n+2)(n+5)=\left(n^2+7n+\frac{49}{4}\right)-(n^2+7n+10)=\frac{9}{4}>0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[\sf 3]{\sf (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)}<\left(n+\frac{7}{2}\right)^2\end{align*}}$
両辺＞0なので、平方根をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[\sf 6]{\sf (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)}\lt n+\frac{7}{2}\end{align*}}$
以上より、示された。
(1)と(4)の後半は相加・相乗平均を用いると、もう少しキレイに書くことができます。
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- 2012/01/27(金) 13:04:00|
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第2問
a、bは定数とし、0＜a＜1とする。関数ｆ(x)=x3+3ax2+bについて
次の問いに答えよ。
(1) ｆ(x)の極値を求めよ。
(2) 区間－2≦x≦1におけるｆ(x)の最大値が1、最小値が－5となるような
a、bの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ｆ(x)の導関数は、
ｆ’(x)=3x2+6ax=3x(x+2a)
0＜a＜1なので、増減表を書くと下のようになる。
よって、
x=0で極小値 b
x=－2aで極大値 4a3+b
(2)
0＜a＜1より、－2＜－2a＜0＜
(1)で求めた極値はともに区間に含まれる。
－2≦x≦1の範囲で増減表を書き直すと、
(ア)最大値
x=1、x=－2aのいずれかで最大となるが、
ｆ(－2a)－ｆ(1)=4a3－3a－1
=(a－1)(2a－1)2＜0 （∵a＜1）
なので、最大値をとるのはx=1のときである。
よって、
ｆ(1)=3a+b+1=1 ･･････①
(イ)最小値
x=0、x=－2のいずれかで最小となる。
ｆ(－2)－ｆ(0)=12a－8
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a>\frac{2}{3}\end{align*}}$ のときは、x=0で最小となるので、
ｆ(0)=b=－5
これと①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{5}{3}\end{align*}}$
となるが、これは条件0＜a＜1に反するので、不適である。
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a<\frac{2}{3}\end{align*}}$ のときは、x=－2で最小となるので、
ｆ(－2)=12a+b－8=－5
これと①を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ b=-1\end{align*}}$
これは条件を満たす。
以上より、求めるa、bの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ b=-1\ \ }\end{align*}}$
面倒ですが、場合分けさえしっかりすれば大丈夫です！
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- 2012/01/27(金) 13:06:00|
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第3問
次の問いに答えよ。
(1) 四角形ABCDにおいて、∠A=∠B=90°、CD=AD+BCとする。
辺AD、BCの長さをそれぞれa、bとするとき、辺ABの長さをa、bを
用いて表せ。
(2) 円Ｏ1、円Ｏ2が点Pで外接しているとき、点Pを通らない円Ｏ1、円Ｏ2の
共通接線の1つをＬとする。直線Ｌと円Ｏ1、円Ｏ2で囲まれる図形の内部
にある円で、円Ｏ1、円Ｏ2に外接し、直線Ｌと接するものをＯ3とする。
円Ｏ1、円Ｏ2の半径をそれぞれx、yとするとき、円Ｏ3の半径をx、yを用
いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(ア)a＜bのとき
DからBCに垂線DHを引くと、
四角形ABHDは長方形となるので、
AB=DH．
また、
CH=CB－BH=b－a
CD=AD+BC=a+b
なので、△CDHで三平方を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf DH=\sqrt{(a+b)^2-(b-a)^2}=2\sqrt{ab}\end{align*}}$．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=2\sqrt{a\ b}\end{align*}}$ ･････①
(イ)a＞bのときも、(ア)と同様
(ウ)a=bのとき
四角形ABCDは長方形となり、
AB=CD=2a．
このときも①式を満たす。
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\underline{\ 2\sqrt{a\ b}\ \ }\end{align*}}$
(2)
円の中心Ｏ1、Ｏ2、Ｏ3から直線Ｌにそれぞれ
垂線Ｏ1H1、Ｏ2H2、Ｏ3H3を引き、
円Ｏ3の半径をrとする。
四角形Ｏ1H1H2Ｏ2において、
∠Ｏ1H1H2=∠Ｏ2H2H1=90°
Ｏ1Ｏ2=Ｏ1H1+Ｏ2H2
で、(1)の結果を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H_1H_2=2\sqrt{x\ y}\end{align*}}$
四角形Ｏ1H1H3Ｏ3およびＯ3H3H2Ｏ2についても
同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H_1H_3=2\sqrt{r\ x}\ \ ,\ \ H_3H_2=2\sqrt{r\ y}\end{align*}}$
ここで、
H1H3+H3H2=H1H2
であり、x、y、r＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{r\ x}+2\sqrt{r\ y}=2\sqrt{x\ y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \sqrt{r}\ \left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\sqrt{x\ y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \sqrt{r}\ \left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\sqrt{x\ y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ r=\underline{\ \frac{x\ y}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}\ \ }\end{align*}}$
(2)は(1)の3連発です。
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- 2012/01/27(金) 13:07:00|
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第4問
さいころを4回続けて投げ、出た目の数をそれぞれa、b、c、dとする。xy平面に
おいて、原点Ｏ(0，0)、点A(a，b)、点B(c，d)が同一直線上にないとき、三角形
ＯABの面積をSとおく。3点Ｏ、A、Bが同一直線上にあるときは、S=0とする。
次の問いに答えよ。
(1) 3点Ｏ、A、Bが同一直線上にないとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\ |\ ad-bc\ |\end{align*}}$
を示せ。
(2) S≧15となる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
まず、2点AB間の距離は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\sqrt{(b-d)^2+(a-c)^2}\end{align*}}$
次に、
2点A、Bを通る直線をＬとすると、Ｌの方程式は、
(a－c)(y－b)=(b－d)(x－a)
⇔ (b－d)x－(a－c)y+ad－bc=0
となるので、原点ＯからＬまでの距離dは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{|\ ad-bc\ |}{\sqrt{(b-d)^2+(a-c)^2}}\end{align*}}$
となる。
△ＯABにおいて、ABを底辺としたときの高さはdになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=t\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d=\underline{\ \frac{1}{2}\ |\ ad-bc\ |}\end{align*}}$
(2）
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\ |\ ad-bc\ |\geqq 15\end{align*}}$
⇔ ad－bc≧30 または bc－ad≧30
(ア) ad－bc≧30のとき
bc≧1より、ad≧31
a、dともに1～6の整数なので、これを満たすa、dは、
a=6 、 d=6
のときのみである。
このとき、
bc≦36－30=6
となるので、これを満たすb、cの組を書きあげると、
(b，c)=(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(1，6)
(2，1)、(2，2)、(2，3)、
(3，1)、(3，2)、
(4，1)、(5，1)、(6，1)
の14通りの場合がある。
(イ) bc－ad≧30のとき
同様に考えると、b=c=6で、
aとdの組は14通り考えられる。
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{14}{6^4}\times 2=\underline{\ \frac{7}{324}\ \ }\end{align*}}$
(1)はベクトルを用いても証明することができます。
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