第５問
以下の問いに答えよ。ただし、答のみ記入すればよい。
全体集合Uは有限個の要素からなる。また、A、B、CをUの部分集合とする。
これら集合の要素の個数について、次のことが分かっている。
Aに含まれない要素の個数は51
Bに含まれない要素の個数は36
Cに含まれない要素の個数は55
AまたはBに含まれる要素の個数は54
BまたはCに含まれる要素の個数は49
Bに含まれるが、AにもCにも含まれない要素の個数は23
AにもCにも含まれる要素の個数は0
このとき、Uの要素の個数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
集合Xの要素の個数をn(X)と表すことにし、n(U)=Nとおく。
1つ目の条件より、n(A)=51なので、n(A)=N-51
同様に、n(B)=N-36、n(C)=N-55
4つ目、5つ目の条件より、n(A∪B)=54、n(B∪C)=49
6つ目の条件より、n(B∩A∩C)=23
n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(A∪B)
=(N-51)+(N-36)-54
=2N-141
n(B∩C)=n(B)+n(C)-n(B∪C)
=(N-36)+(N-55)-49
=2N-140
これらと7つ目の条件より
n(B)=n(A∩B)+n(B∩C)+n(B∩A∩C)
⇔ N-36=(2N-141)+(2N-140)+23
⇔ N=74
直接求めるのは難しいので、n(U)=Nとおいて方程式に持ち込みます。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/09/26(水) 18:57:29|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2017（推薦）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第６問
以下の文章の空欄に適切な数、式または数学記号を入れて文章を
完成させよ。ただし、(ア)と(ソ)には数学用語を入れよ。また、(イ)と
(ウ)には本文中にある$\small\sf{\theta}$ を使ってはならない。(サ)には2個の適切な
式を入れよ。
空間内に相異なる定点O、P、Qを取り、ベクトル$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ をそれぞれ
$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$で表す。$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ は互いに平行ではないとする。$\small\sf{\theta}$ を実数全体を
動く媒介変数として
$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OR}=\cos\theta\overrightarrow{\sf p}+\sin\theta\overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$
を考える。以下では$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$=$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ と表す。まず、この動点Rの軌跡は3点O、
P、Qで定まる平面内の曲線である。さらに、$\small\sf{\theta}$ の値が2$\small\sf{\pi}$ だけ変化す
ると、動点Rは元の位置に戻ってくる。したがって、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$の長さ|$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|には最
大値と最小値が存在する。もし最大値と最小値が一致するなら、この
曲線は ア になる。以下では最大値と最小値が一致しない場合を
考える。$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$の長さの平方を計算するにあたって、まず定数a、b、cを次
のように定める。
$\small\sf{\begin{align*}\sf a=|\overrightarrow{\sf p}|^2-|\overrightarrow{\sf q}|^2\ \ ,\ \ b=2\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}\ \ ,\ \ c=|\overrightarrow{\sf p}|^2+|\overrightarrow{\sf q}|^2\end{align*}}$
ここで、もしa=b=0ならば、|$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|は一定となり、最大値と最小値が一致
しないという過程に反するので、今の場合a2+b2≠0であることが分か
る。そこで定数αを次のように定める。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \cos\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\ \ ,\ \ \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{align*}}$
これらの定数と媒介変数$\small\sf{\theta}$ とを用いて、|$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|2を表すと、
|$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|2= イ + ウ sin( エ ).
したがって一般的に、|$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|が最大値をとるのは$\small\sf{\theta}$ = オ +ｎ$\small\sf{\pi}$ （nは整
数）のときであり、最小値をとるのは$\small\sf{\theta}$ = カ +n$\small\sf{\pi}$ （nは整数）のとき
である。$\small\sf{\theta}$ が2$\small\sf{\pi}$ だけ変化するあいだに、|$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|が最大値、最小値をとる
のは、それぞれ2度あるが、|$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|が最大となるときの$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$の一方を$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}\end{align*}}$ 、また
|$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|が最小となるときの$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$の一方を$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$で表すと、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}\end{align*}}$ = キ $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$+ ク $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ 、 $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$ = ケ $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$+ コ $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$
|$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|が最大、最小となる他方のベクトル$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$は$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$ を用いてそれぞれ
サ のように表される。ここで、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$ の内積を計算すると、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}\end{align*}}$・$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$ = シ
$\small\sf{\theta}$ の代わりに新たな媒介変数$\small\sf{\phi}$ を$\small\sf{\phi}$ =$\small\sf{\theta}$ k（kは定数）の形で導入して
$\small\sf{\phi}$ =0のとき$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$=$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}\end{align*}}$ となるようにkを定めると、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$は媒介変数$\small\sf{\phi}$ を使って、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$= ス $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}\end{align*}}$+ セ $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$
と表せる。曲線の形は媒介変数の取り方によらないので、この式の形
から問題の曲線は ソ であることが分かる。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア 円 イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{c}{2}\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\end{align*}}$ エ 2$\small\sf{\theta}$ +α オ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\alpha}{2}+\frac{3}{4}\pi\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\left(-\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\left(-\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\left(-\frac{\alpha}{2}+\frac{3}{4}\pi\right)\end{align*}}$
コ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\left(-\frac{\alpha}{2}+\frac{3}{4}\pi\right)\end{align*}}$ サ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\overrightarrow{\sf A}\ ,\ -\overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$ シ 0 ス cos$\small\sf{\phi}$ セ sin$\small\sf{\phi}$
ソ 楕円
【解説】
(イ)(ウ)(エ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=|\overrightarrow{\sf p}|^2-|\overrightarrow{\sf q}|^2\ \ ,\ \ c=|\overrightarrow{\sf p}|^2+|\overrightarrow{\sf q}|^2\ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf p}|^2=\frac{a+c}{2}\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf q}|^2=\frac{c-a}{2}\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅰ)
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf r}|^2&=\sf \left|\cos\theta\overrightarrow{\sf p}+\sin\theta\overrightarrow{\sf q}\right|^2 \\ &=\sf \cos^2\theta|\overrightarrow{\sf p}|^2+2\sin\theta\cos\theta\ \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+\sin^2\theta |\overrightarrow{\sf q}|^2\\ &=\sf \frac{a+c}{2}\cdot\cos^2\theta+b\sin\theta\cos\theta+\frac{c-a}{2}\cdot\sin^2\theta\ \ \ \ \ \left(\because\ (i)\right)\\ &=\sf \frac{a}{2}\left(\cos^2\theta-\sin^2\theta\right)+b\sin\theta\cos\theta+\frac{c}{2}\ \ \ \ \ \left(\because\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\right)\end{align*}}$
倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf r}|^2&=\sf \frac{a}{2}\cos2\theta+\frac{b}{2}\sin 2\theta+\frac{c}{2}\\ &=\sf \frac{c}{2}+\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin 2\theta+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos 2\theta\right)\\ &=\sf \frac{c}{2}+\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\left(\sin 2\theta\cos\alpha+\cos 2\theta\sin\alpha\right)\\ &=\sf \underline{\frac{c}{2}+\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\sin\left(2\theta+\alpha\right)}\end{align*}}$
(オ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf r}|\end{align*}}$ が最大になるとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\left(2\theta+\alpha\right)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\theta+\alpha=\frac{\pi}{2}+2n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\underline{-\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}+n\pi}\end{align*}}$
(カ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf r}|\end{align*}}$ が最小になるとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\left(2\theta+\alpha\right)=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\theta+\alpha=\frac{3}{2}\pi+2n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\underline{-\frac{\alpha}{2}+\frac{3}{4}\pi+n\pi}\end{align*}}$
(キ)(ク)
(オ)において、n=0に対応する$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$ を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}\end{align*}}$ とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}=\underline{\cos\left(-\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\overrightarrow{\sf p}+\sin\left(-\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\overrightarrow{\sf q}}\end{align*}}$
(ケ)(コ)
(カ)において、n=0に対応する$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$ を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$ とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B}=\underline{\cos\left(-\frac{\alpha}{2}+\frac{3}{4}\pi\right)\overrightarrow{\sf p}+\sin\left(-\frac{\alpha}{2}+\frac{3}{4}\pi\right)\overrightarrow{\sf q}}\end{align*}}$
(サ)
(オ)において、n=1に対応する$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$ を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A\ '}\end{align*}}$ とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A\ '}&=\sf \cos\left(-\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}+\pi\right)\overrightarrow{\sf p}+\sin\left(-\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}+\pi\right)\overrightarrow{\sf q}\\ &=\sf -\cos\left(-\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\overrightarrow{\sf p}-\sin\left(-\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\overrightarrow{\sf q}\\ &=\sf \underline{-\overrightarrow{\sf A}}\end{align*}}$
(カ)において、n=1に対応する$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$ を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B\ '}\end{align*}}$ とすると、同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B\ '}=\underline{-\overrightarrow{\sf B}}\end{align*}}$
(シ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta_1=-\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\ \ ,\ \ \beta_2=-\frac{\alpha}{2}+\frac{3}{4}\pi\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta_1+\beta_2=-\alpha+\pi\ \ ,\ \ \beta_2-\beta_1=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅱ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}=\cos\beta_1\overrightarrow{\sf p}+\sin\beta_1\overrightarrow{\sf q}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf B}=\cos\beta_2\overrightarrow{\sf p}+\sin\beta_2\overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅲ)
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf A}\cdot\overrightarrow{\sf B}&=\sf\left(\cos\beta_1\overrightarrow{\sf p}+\sin\beta_1\overrightarrow{\sf q}\right)\cdot\left(\cos\beta_2\overrightarrow{\sf p}+\sin\beta_2\overrightarrow{\sf q}\right) \\ &=\sf \cos\beta_1\cos\beta_2|\overrightarrow{\sf p}|^2+\left(\sin\beta_1\cos\beta_2+\cos\beta_1\sin\beta_2\right)\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+\sin\beta_1\sin\beta_2|\overrightarrow{\sf q}|^2\end{align*}}$
積→和の公式と(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\cos\beta_1\cos\beta_2&=\sf\frac{1}{2}\bigg\{\cos\left(\beta_1+\beta_2\right)+\cos\left(\beta_2-\beta_1\right)\bigg\} \\ &=\sf \frac{1}{2}\bigg\{\cos\left(-\alpha+\pi\right)+\cos\frac{\pi}{2}\bigg\}\\ &=\sf -\frac{1}{2}\cos\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\beta_1\sin\beta_2&=\sf -\frac{1}{2}\bigg\{\cos\left(\beta_1+\beta_2\right)-\cos\left(\beta_2-\beta_1\right)\bigg\} \\ &=\sf -\frac{1}{2}\bigg\{\cos\left(-\alpha+\pi\right)-\cos\frac{\pi}{2}\bigg\}\\ &=\sf \frac{1}{2}\cos\alpha\end{align*}}$
また、加法定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sin\beta_1\cos\beta_2+\cos\beta_1\sin\beta_2&=\sf \sin\left(\beta_2+\beta_1\right)\\ &=\sf\sin\left(-\alpha+\pi\right) \\ &=\sf\sin\alpha\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf A}\cdot\overrightarrow{\sf B}&=\sf -\frac{1}{2}\cos\alpha|\overrightarrow{\sf p}|^2+\sin\alpha\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+\frac{1}{2}\cos\alpha|\overrightarrow{\sf q}|^2 \\ &=\sf -\frac{1}{2}\cos\alpha\left(|\overrightarrow{\sf p}|^2-|\overrightarrow{\sf q}|^2\right)+\sin\alpha\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}\\ &=\sf -\frac{a}{2}\cos\alpha+\frac{b}{2}\sin\alpha\\ &=\sf -\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{2}\cdot\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ &=\sf \underline{0}\end{align*}}$
(ス)(セ)
(ⅲ)の2式を連立させて$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ 、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ について解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}=\frac{\sin\beta_2\overrightarrow{\sf A}-\sin\beta_1\overrightarrow{\sf B}}{\cos\beta_1\sin\beta_2-\sin\beta_1\cos\beta_2}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf q}=-\frac{\cos\beta_2\overrightarrow{\sf A}-\cos\beta_1\overrightarrow{\sf B}}{\cos\beta_1\sin\beta_2-\sin\beta_1\cos\beta_2}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\cos\beta_1\sin\beta_2-\sin\beta_1\cos\beta_2&=\sf \sin\left(\beta_2-\beta_1\right)\\ &=\sf \sin\frac{\pi}{2}\\ &=\sf 1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}=\sin\beta_2\overrightarrow{\sf A}-\sin\beta_1\overrightarrow{\sf B}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf q}=-\cos\beta_2\overrightarrow{\sf A}+\cos\beta_1\overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf r}&=\sf \cos\theta\overrightarrow{\sf p}+\sin\theta\overrightarrow{\sf q} \\ &=\sf \cos\theta\left(\sin\beta_2\overrightarrow{\sf A}-\sin\beta_1\overrightarrow{\sf B}\right)+\sin\theta\left(-\cos\beta_2\overrightarrow{\sf A}+\cos\beta_1\overrightarrow{\sf B}\right)\\ &=\sf\left( \cos\theta\sin\beta_2-\sin\theta\cos\beta_2\right)\overrightarrow{\sf A}+\left(-\cos\theta\sin\beta_1+\sin\theta\cos\beta_1\right)\overrightarrow{\sf B}\\ &=\sf -\sin\left( \theta -\beta_2\right)\overrightarrow{\sf A}+\sin\left(\theta-\beta_1\right)\overrightarrow{\sf B}\\ &=\sf -\sin\left( \theta -\beta_1-\frac{\pi}{2}\right)\overrightarrow{\sf A}+\sin\left(\theta-\beta_1\right)\overrightarrow{\sf B}\\ &=\sf \cos\left( \theta -\beta_1\right)\overrightarrow{\sf A}+\sin\left(\theta-\beta_1\right)\overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$
ここで、$\small\sf{\phi}$ =$\small\sf{\theta}$ -β1とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}=\underline{\cos\phi\overrightarrow{\sf A}+\sin\phi\overrightarrow{\sf B}}\end{align*}}$
(サ)以降は、直感で書いて当たった人も多いのではｗｗｗ
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/09/26(水) 19:13:18|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2017（推薦）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
