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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017奈良県立医科大 推薦 数学1



第1問

  以下の文章の空欄に適切な数、式または数学記号を入れて文章を
  完成させよ。
  実数全体で定義されたxの関数
         $\small\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\end{align*}}$
  と正の実数aを含む関数
         $\small\sf{\begin{align*}\sf g\left(x\right)=x^2-\frac{1}{a}\log\left(e^{ax}-e^{-ax}\right)\end{align*}}$
  を考える。

 (1) f’(x)が取り得る値の範囲は ア  <f’(x)≦ イ  で、f(x)が
    取り得る値の範囲は ウ  <f(x)< エ  .

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf g'(x)\end{align*}}$ をfとaとxを用いて書くと $\small\sf{\begin{align*}\sf g'(x)=2-\end{align*}}$ ’(x)  オ  .
    また、0<a< カ  のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf g(x)\end{align*}}$ が極小となる点の個数は キ  .
   a> カ  のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf g(x)\end{align*}}$ が極小となる点の個数は ク  .




2017奈良県立医科大 推薦 数学2



第2問

  以下の文章の空欄に適切な数、式または数学記号を入れて文章を
  完成させよ。
  条件
        a0=p、 a1=q、 an+2=an+1+2an   (n≧0)
  によって定まる数列{an}を考える。ただし、p、qはp2+q2≠0なる実数である。
  この数列の一般項はan= ア  (n≧0)と書ける。このとき、
       2017奈良医05
  となる。




2017奈良県立医科大 推薦 数学3



第3問

  以下の問いに答えよ。ただし、答のみ記入すればよい。
  方程式
      5z4-12z3+30z2-12z+5=0
  は1+2iを解としてもつ。ただし、iは虚数単位とする。
  その他3個の解をa+bi(a、bは実数)の形で求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/09/26(水) 18:55:04|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2017(推薦)
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2017奈良県立医科大 推薦 数学4



第4問

  以下の文章の空欄に適切な数、式または数学記号を入れて文章を
  完成させよ。
  初めに黒石を4個と白石を4個用意する。次に袋を4つ用意し、それ
  ぞれの袋に黒石白石の区別なしに石を2個ずつ入れ、すべての袋を
  大きな箱に入れる。以下の操作Tを考える。
    操作T:箱の中から袋を2つ取り出し、それらの袋の中の石を一旦
         片方の袋にすべて集める。石を十分に混ぜた後、石を2
         個取り出し、他方の袋に入れる。
  操作Tによって、黒石と白石とが1個ずつ入っている袋の数Nは、変動
  しないか、2増減する可能性がある。Nは0、2、4のいずれかで、その
  変化する様子は以下の通りである。
 
  ・N=0の状態に操作Tを施したのち、N=2になる確率は ア  .
  ・N=2の状態に操作Tを施したのち、N=0になる確率は イ  で、
   N=4になる確率は ウ  .
  ・N=4の状態に操作Tを施したのち、N=2となる確率は エ  .



2017奈良県立医科大 推薦 数学5



第5問

  以下の問いに答えよ。ただし、答のみ記入すればよい。
  全体集合Uは有限個の要素からなる。また、A、B、CをUの部分集合とする。
  これら集合の要素の個数について、次のことが分かっている。
    Aに含まれない要素の個数は51
    Bに含まれない要素の個数は36
    Cに含まれない要素の個数は55
    AまたはBに含まれる要素の個数は54
    BまたはCに含まれる要素の個数は49
    Bに含まれるが、AにもCにも含まれない要素の個数は23
    AにもCにも含まれる要素の個数は0
  このとき、Uの要素の個数を求めよ。

   


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/09/26(水) 18:57:29|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2017(推薦)
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2017奈良県立医科大 推薦 数学6



第6問

  以下の文章の空欄に適切な数、式または数学記号を入れて文章を
  完成させよ。ただし、(ア)と(ソ)には数学用語を入れよ。また、(イ)と
  (ウ)には本文中にある$\small\sf{\theta}$ を使ってはならない。(サ)には2個の適切な
  式を入れよ。

  空間内に相異なる定点O、P、Qを取り、ベクトル$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ をそれぞれ
  $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$で表す。$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ は互いに平行ではないとする。$\small\sf{\theta}$ を実数全体を
  動く媒介変数として
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OR}=\cos\theta\overrightarrow{\sf p}+\sin\theta\overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$
  を考える。以下では$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$=$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ と表す。まず、この動点Rの軌跡は3点O、
  P、Qで定まる平面内の曲線である。さらに、$\small\sf{\theta}$ の値が2$\small\sf{\pi}$ だけ変化す
  ると、動点Rは元の位置に戻ってくる。したがって、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$の長さ|$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|には最
  大値と最小値が存在する。もし最大値と最小値が一致するなら、この
  曲線は ア  になる。以下では最大値と最小値が一致しない場合を
  考える。$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$の長さの平方を計算するにあたって、まず定数a、b、cを次
  のように定める。
         $\small\sf{\begin{align*}\sf a=|\overrightarrow{\sf p}|^2-|\overrightarrow{\sf q}|^2\ \ ,\ \ b=2\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}\ \ ,\ \ c=|\overrightarrow{\sf p}|^2+|\overrightarrow{\sf q}|^2\end{align*}}$
  ここで、もしa=b=0ならば、|$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|は一定となり、最大値と最小値が一致
  しないという過程に反するので、今の場合a2+b2≠0であることが分か
  る。そこで定数αを次のように定める。
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \cos\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\ \ ,\ \ \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{align*}}$
  これらの定数と媒介変数$\small\sf{\theta}$ とを用いて、|$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|2を表すと、
         |$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|2= イ  + ウ  sin( エ  ).
  したがって一般的に、|$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|が最大値をとるのは$\small\sf{\theta}$ = オ  +n$\small\sf{\pi}$ (nは整
  数)のときであり、最小値をとるのは$\small\sf{\theta}$ = カ  +n$\small\sf{\pi}$ (nは整数)のとき
  である。$\small\sf{\theta}$ が2$\small\sf{\pi}$ だけ変化するあいだに、|$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|が最大値、最小値をとる
  のは、それぞれ2度あるが、|$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|が最大となるときの$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$の一方を$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}\end{align*}}$ 、また
  |$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|が最小となるときの$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$の一方を$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$で表すと、
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}\end{align*}}$ = キ  $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$+ ク  $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ 、  $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$ = ケ  $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$+ コ  $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ 
  |$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$|が最大、最小となる他方のベクトル$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$は$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$ を用いてそれぞれ
   サ  のように表される。ここで、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$ の内積を計算すると、
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}\end{align*}}$・$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$ = シ 
  $\small\sf{\theta}$ の代わりに新たな媒介変数$\small\sf{\phi}$ を$\small\sf{\phi}$ =$\small\sf{\theta}$ k(kは定数)の形で導入して
  $\small\sf{\phi}$ =0のとき$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$=$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}\end{align*}}$ となるようにkを定めると、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$は媒介変数$\small\sf{\phi}$ を使って、
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}\end{align*}}$= ス  $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf A}\end{align*}}$+ セ  $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B}\end{align*}}$
  と表せる。曲線の形は媒介変数の取り方によらないので、この式の形
  から問題の曲線は ソ  であることが分かる。