青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の公立大学　.奈良県立医大　2017（前期）

2017奈良県立医科大　前期　数学１

第１問

　　以下の文章の空欄に適切な数、式または数学記号を入れて文章を
　　完成させよ。
　
　　放物線y=αx^２+βx+γ上に異なる2点A、Bをとり、点Aのx座標をa、
　　点Bのx座標をbとする。ただし、b＞aでα＞0とする。

　(１) 上記の放物線上の点で接線の傾きが直線ABの傾きと等しいならば、
　　　点Cのx座標は　ア　である。

　(２) 三角形ABCの面積は　イ　である。

解答はこちら↓

2017奈良県立医科大　前期　数学２

第２問

　　以下の問いに答えよ。ただし、答のみ記入すればよい。
　　関数
　　　　　　　　　 $\rm \log\left(x^3+x-16\right)-\log\left(2x-7\right)$
　　の極値とそのときのxの値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　 $\rm f(x)=\log\left(x^3+x-16\right)-\log\left(2x-7\right)$
　　　とおくと、導関数は
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm f\ '(x)&=\rm \frac{3x^2+1}{x^3+x-16}-\frac{2}{2x-7} \\ &=\rm \frac{\left(3x^2+1\right)\left(2x-7\right)-2\left(x^3+x-16\right)}{\left(x^3+x-16\right)\left(2x-7\right)}\\ &=\rm \frac{4x^3-21x^2+25}{\left(x^3+x-16\right)\left(2x-7\right)}\\ &=\rm \frac{\left(x+1\right)\left(x-5\right)\left(4x-5\right)}{\left(x^3+x-16\right)\left(2x-7\right)}\end{align*}$
　　　f’(x)=0となるxのうちで真数条件
　　　　　　　　 $\rm x^3+x-16>0\ \ ,\ \ 2x-7>9$
　　　を満たすのはx=5のみであり、この値の前後でf’(x)の符号は
　　　負から正に変わるので、f(x)はx=5で極小値をとり、その値は
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm f\left(5\right)&=\rm \log\left(5^3+5-16\right)-\log\left(10-7\right) \\ &=\rm \log 114--\log 3\\ &=\rm \underline{\log 38}\end{align*}$

　　時間との勝負です。急ぎましょう！　　

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2017/08/10(木) 23:57:00|

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2017奈良県立医科大　前期　数学３

第３問

　　以下の問いに答えよ。ただし、答のみ記入すればよい。
　　nは正の整数とする。S_nを有限和
　　　　　　　　　 $\rm S_n=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n\frac{1}{6^{2i}+6^i6^j}\right)=\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{6^{2i}+6^i6^j}\right)$
　　で定める。このとき、極限値 $\rm \lim_{n\rightarrow\infty}S_n$ を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　i=jの項　
　　　　　　　　 $\rm \frac{1}{6^{2i}+6^i6^j}=\frac{1}{6^{2i}+6^{2i}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{6^i}\right)^2$
　　　i≠jの項
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \frac{1}{6^{2i}+6^i6^j}+\frac{1}{6^{2j}+6^i6^j}&=\rm \frac{1}{6^{i}+6^j}\cdot\left(\frac{1}{6^i}+\frac{1}{6^j}\right)\\ &=\rm \frac{1}{6^{i}+6^j}\cdot\frac{6^i+6^j}{6^i6^j}\\ &=\rm \frac{1}{6^i6^j}\end{align*}$
　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm S_n&=\rm \frac{1}{2}\bigg\{\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+\cdots +\frac{1}{6^n}\right)+\left(\frac{2}{6^16^2}+\frac{2}{6^16^3}+\cdots +\frac{2}{6^{n-1}6^n}\right)\bigg\}\\ &=\rm \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+\cdots +\frac{1}{6^n}\right)^2\\ &=\rm \frac{1}{2}\left\{\frac{\frac{1}{6}\left(1-\left(\frac{1}{6}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{6}}\right\}^2\\ &=\rm \frac{1}{2}\left\{\frac{1}{5}\left(1-\left(\frac{1}{6}\right)^n\right)\right\}^2\\ &=\rm \frac{1}{50}\left(1-\left(\frac{1}{6}\right)^n\right)^2\end{align*}$
　　　なので、
　　　　　　　　 $\rm \lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\underline{\frac{1}{50}}$

　　これが一番難しいです。
　　変形に気づかずに捨てた受験生も多いのではｗｗ？　　

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2017/08/11(金) 23:57:00|

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2017奈良県立医科大　前期　数学４

第４問

　　以下の文章の空欄に適切な数、式または数学記号を入れて文章を
　　完成させよ。ただし、(ア)には適切な数を2個入れよ。
　
　　　　　　直線L：　y=x
　　　　　　曲線C：　y=2 $\rm \sqrt{x}$ -x　（x≧0）
　　を考える。

　(１) 直線Lと曲線Cは2点で交わり、それらの交点のx座標は　ア　
　　　である。

　(２) 媒介変数tを用いて直線L上の点を(t，t)で表す。このとき、
　　　点(t，t)を通り直線Lと直行する直線mは
　　　　　　直線m：　y=　イ　 x+　ウ　
　　　と表せ、x≧0のとき直線mと曲線Cの交点は(　エ　，　オ　 )
　　　である。

　(３) 直線Lと曲線Cで囲まれる部分を、直線Lのまわりに1回転して
　　　できる立体の体積は　カ　である。
　　　　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア 0，1　　　　イ -　　　　ウ 2t　　　　エ t^２　　　オ -t^２+2t

　　カ $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　　

　

【解説】

　(１)
　　　2式を連立させると、　
　　　　　　　　 $\rm x=\sqrt{x}-x\ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{x}=x\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=0\ ,\ 1}$

　(２)
　　　mは傾きが-1で点（ｔ，ｔ）を通る直線なので、
　　　　　　　　 $\rm y-t=-\left(x-t\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=-x+2t}$
　　　これとCの式を連立させると、
　　　　　　　　 $\rm -x+2t=\sqrt{x}-x\ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{x}=t\ \ \Leftrightarrow\ \ x=t^2$
　　　となるので、Cとmの交点の座標は、 $\rm \underline{\left(t^2,-t^2+2t\right)}$

　(３)　　　
　　　 $\rm OP=\sqrt2\ t$ とおくと、
　　　　　　　　 $\rm \frac{dh}{dt}=\sqrt2$
　　　CとLの交点をA(1，1)とおくと、OA= $\rm \sqrt2$
　　　また、mの傾きは-1なので、
　　　　　　　　 $\rm PQ=\sqrt2\ \left|t-t^2\right|$
　　　以上より、求める体積をVとすると、　　　
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm V&=\rm \pi\int_0^{\sqrt2}PQ^2dh\\ &=\rm \pi\int_0^1\bigg\{\sqrt2\left(t-t^2\right)\bigg\}^2\cdot\sqrt2\ dt\\ &=\rm 2\sqrt2\pi\int_0^1\left(t^4-2t^3+t^2\right)dt\\ &=\rm 2\sqrt2\pi\left[\frac{t^5}{5}-\frac{t^4}{2}+\frac{t^3}{3}\right]_0^1\\ &=\rm \underline{\frac{\sqrt2}{15}\pi}\end{align*}$ 　　　　　　　　

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2017/08/12(土) 23:57:00|

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2017奈良県立医科大　前期　数学５

第５問

　　以下の文章の空欄に適切な数・式または数学記号を入れて文章を
　　完成させよ。
　
　　4人のプレーヤーによるトーナメントを行う。プレーヤーA、B、C、Dは
　　自分の名前の書かれた玉をそれぞれa、b、c、d個持っている。ただし、
　　a、b、c、dは正の整数である。トーナメントは次のようにして行う。

　　[トーナメントルール]
　　　まず4人を2人ずつの2組に分け、それぞれの組で予選試合を1試合
　　　ずつ行う。予選2試合それぞれの勝者が決勝に進み、決勝1試合の
　　　勝者をトーナメントの優勝者とする。

　　試合は次のルールに従って行う。

　　[試合ルール]
　　　対戦する2人の持つ玉をすべて1つの袋の中に入れとくかきまぜた後、
　　　袋から1つ取り出す。取り出した玉に名前が書かれているプレーヤー
　　　をその試合の勝者とする。試合の終了後は、試合で使った玉を対戦し
　　　たプレーヤーそれぞれに返却する。

　(１) Aが予選でBと対戦する場合、Aがトーナメントで優勝する確率は
　　　　　　　　　 $\rm \frac{a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\bigg(a+$ 　ア　 $\rm \bigg)$
　　　である。同様に、Aが予選でCと対戦する場合や、Dと対戦する場合に
　　　 Aがトーナメントで優勝する確率も求まる。

　(２) 次に、予選でのAの対戦相手を次のように決めることとする。B、C、D
　　　の持つ玉をすべて1つの袋に入れよくかきまぜた後に、袋から玉を1つ
　　　取り出す。袋から取り出した玉に名前が書かれたプレーヤーとAが予選
　　　で対戦する。なお対戦相手決定後は、対戦相手決定のために使った玉
　　　をB、C、Dそれぞれに返却する。予選でAがBと対戦する確率は　イ　
　　　である。同様に、予選でAがCと対戦する確率や、Dと対戦する確率も求
　　　まる。よって、Aがこのトーナメントで優勝する確率は
　　　　　　　　　 $\rm \frac{a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\bigg(a+$ 　ウ　 $\rm \left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+d}+\frac{1}{d+b}\right)\bigg)$

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　　イ $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　　ウ $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　　　

【解答】

　(ア)
　　　まず、予選でAがBに勝つ確率は、 $\rm \frac{a}{a+b}$ であり、このとき、　　　
　　　予選でCがDに勝ち、決勝でAがCに勝つ確率は、
　　　　　　　　　 $\rm\frac{c}{c+d} \cdot\frac{a}{a+c}$
　　　同様に、予選でDがCに勝ち、決勝でAがDに勝つ確率は、
　　　　　　　　　 $\rm\frac{d}{c+d} \cdot\frac{a}{a+d}$
　　　以上より、Aが予選でBと対戦して、トーナメントで優勝する確率は
　　　　　　　　 $\rm \frac{a}{a+b}\left(\frac{c}{c+d} \cdot\frac{a}{a+c}+\frac{d}{c+d} \cdot\frac{a}{a+d}\right)$
　　　　　　　 $\rm =\frac{a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot\frac{c\left(a+d\right)+d\left(a+c\right)}{c+d}$
　　　　　　　 $\rm =\frac{a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot\frac{a\left(c+d\right)+2cd}{c+d}$
　　　　　　　 $\rm =\underline{\frac{a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\left(a+\frac{2cd}{c+d}\right)}$
　　　同様に、AがCおよびDと予選で対戦する場合にAがトーナメントで
　　　優勝する確率はそれぞれ
　　　　　　　　 $\rm \frac{a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\left(a+\frac{2db}{d+b}\right)$
　　　　　　　　 $\rm \frac{a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\left(a+\frac{2bc}{b+c}\right)$

　(イ)
　　　合計b+c+d個あるB、C、Dの玉の中から、Bの玉を取り出せばよいので、
　　　　　　　　 $\rm \underline{\frac{b}{b+c+d}}$
　　　同様に、Aが予選でCおよびDと対戦する確率はそれぞれ
　　　　　　　　 $\rm \frac{c}{b+c+d}\ \ ,\ \ \frac{d}{b+c+d}$

　(ウ)
　　　(ア)、(イ)より、Aがトーナメントで優勝する確率は、
　　　　　 $\rm \frac{b}{b+c+d}\cdot\frac{a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\left(a+\frac{2cd}{c+d}\right)$
　　　　　　　 $\rm +\frac{c}{b+c+d}\cdot\frac{a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\left(a+\frac{2db}{d+b}\right)$
　　　　　　　　　 $\rm +\frac{d}{b+c+d}\cdot\frac{a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\left(a+\frac{2bc}{b+c}\right)$
　　　ここで、
　　　　　　　　 $\rm ＝\frac{1}{b+c+d}\bigg\{b\left(a+\frac{2cd}{c+d}\right)+c\left(a+\frac{2db}{d+b}\right)+d\left(a+\frac{2bc}{b+c}\right)\bigg\}$
　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{b+c+d}\bigg\{a\left(b+c+d\right)+\frac{2bcd}{c+d}+\frac{2bcd}{d+b}+\frac{2bcd}{b+c}\bigg\}$
　　　　　　　 $\rm =a+\frac{2bcd}{b+c+d}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+d}+\frac{1}{d+b}\right)$
　　　なので、求める確率は、
　　　　　　　 $\rm \underline{\frac{a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\bigg(a+\frac{2bcd}{b+c+d}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+d}+\frac{1}{d+b}\right)\bigg)}$

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2017/08/13(日) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の公立大学　.奈良県立医大　2017（前期）

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2017奈良県立医科大　前期　数学６

第６問

　　以下の問いに答えよ。ただし、答えだけでなく途中経過も記述せよ。

　　xy平面の右半平面（x＞0）で、自然対数関数y=logｘのグラフを考える。
　　このグラフ上に相異なる2点P、Qをとり、それぞれの点を通る法線を引き
　　、その交点をRで表す。点Rは点P、Qに依存して決まる。以下の問いに
　　答えよ。

　(１) 最初は点Pを固定したまま、点Qを点Pに近づける。つまり、点P、Qを
　　　 P(x_１，logx_１)、Q(x_２，logx_２)で表したとき、x_２→x_１とする。このとき
　　　交点Rはある点Sに近づく。点Sの座標を(X，Y)とおくとき、X、Yをx_１
　　　を用いて表示せよ。

　(２) (１)で求めた点Sは点Pのみに依存して決まる。次に点Pがグラフ上を
　　　動くとき、点Pと点Sとの距離が最短となるような点Pに対して点Sの座
　　　標を求めよ。
　　　　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　 $\rm f\left(x\right)=\log x$ とおくと、導関数は、
　　　　　　　　 $\rm f\ '\left(x\right)=\frac{1}{x}$
　　　なので、点Pにおける曲線y=f(x)の法線をL_１とすると、
　　　　　 $\rm y-\log x_1=-x_1\left(x-x_1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-x_1x+x_1^{\ 2}+\log x_1$
　　　同様に、点Qにおける法線をL₂とすると、
　　　　　　　　 $\rm y=-x_2x+x_2^{\ 2}+\log x_2$
　　　なので、L_１、L₂の交点のx座標は、
　　　　　　　　 $\rm -x_1x+x_1^{\ 2}+\log x_1=-x_2x+x_2^{\ 2}+\log x_2$
　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ x&=\rm \frac{x_2^{\ 2}-x_1^{\ 2}}{x_2-x_1}+\frac{\log_x_2-\log x_1}{x_2-x_1}\\ &=\rm x_2+x_1+\frac{\log_x_2-\log x_1}{x_2-x_1}\end{align*}$
　　　x_２→x_１としたときの極限を考えると、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm X&=\rm \lim_{x_2\rightarrow x_1}\left(x_2+x_1+\frac{\log_x_2-\log x_1}{x_2-x_1}\right)\\ &=\rm 2x_1+f\ '\left(x_1\right)\\ &=\rm \underline{2x_1+\frac{1}{x_1}}\end{align*}$
　　　点Sは直線L_１上にあるので、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm Y&=\rm -x_1\left(2x_1+\frac{1}{x_1}\right)+x_1^{\ 2}+\log x_1\\ &=\rm \underline{-x_1^{\ 2}+\log x_1-1}\end{align*}$

　(３)
　　　x₁ （＞0）についての関数h(x₁)を
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm h\left(x_1\right)&=\rm PS^2 \\ &=\rm \left(X-x_1\right)^2+\left(Y-\log x_1\right)^2\\ &=\rm \left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)^2+\left(-x_1^{\ 2}-1\right)^2\\ &=\rm x_1^{\ 4}+3x_1^{\ 2}+\frac{1}{x_1^{\ 2}}+3\end{align*}$
　　　とおくと、導関数は
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm h\ '\left(x_1\right)&=\rm 4x_1^{\ 3}+6x_1-\frac{2}{x_1^{\ 3}}\\ &=\rm \frac{4x_1^{\ 6}+6x_1^{\ 4}-2}{x_1^{\ 3}}\\ &=\rm \frac{2\left(x_1^{\ 2}+1\right)^2\left(2x_1^{\ 2}-1\right)}{x_1^{\ 3}}\end{align*}$
　　　となるので、h(x₁)の増減は次のようになる。
　　　　　　　　　　

　　　よって、PSが最小になるのは、x₁= $\rm \frac{1}{\sqrt2}$ のときであり、
　　　このとき
　　　　　　　　 $\rm X=\frac{2}{\sqrt2}+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt2}}=\underline{2\sqrt2}$
　　　　　　　　 $\rm Y=-\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2-1+\log\frac{1}{\sqrt2}=\underline{-\frac{1}{2}\left(3+\log 2\right)}$

　　今年度から出題方式が変わったようです。　　

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2017/08/14(月) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の公立大学　.奈良県立医大　2017（前期）

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